Норри Д. - Введение в метод конечных элементов

оаа реаакпиер и Г И РУАРгуУКА Изиательстоо «Мнр» Москва 1981 Ап 1п1горпе11оп Ьз Р1пИе Еуензеп1 Апа1уаи П. Н. Негггс аоа б. Ве У гее Н ра опеп! М МееЬапгеа! Впипееппп ти гзпгуег1пу ! О !вагу Пеаагу, а!ее!!а, Ва Еа Ьоаоамгс раааа иви гоик ааи гпаасгзко озьоои А зппиаегу ! Н «оип Вгасе Уегпгюгггк, РппмЬегз муа Д. Норри, Ж.де Фриз Введение в метод конечных элементов Перепав с ангаийского кани. физ.-иат. наук Г.

В. ДЕМИДОВА и А. Л. УРВАНЦЕВА БББ взята Бвз здк взел Академик С И.Марчук Норрн Д«де Фриз Ж. Нйй Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ.— Мд Мир, 1981. — 304 с., ил Н с на пжа«иас«пиа атеие «зиа вви е Зи З хтр ю д свшеи эы итш, с дсрж щ З эам«спа«осю и тода а Заза . ебрюнм прап«р э ремеза«, зад ч «Г Г Г м«э ««О Эры 1Ъ.

Ки га зэеха вачсвз хаа ат иа ииоз.арак ада«кое и кажен эсер«с е иков в раз ыих области шинка. Б Мжы ХЕЕ ты.зв, ч. 1 11ШЫМИМ Бвк аз.етв Р ба«ч ы жг«регур с с ых «« серу иьг Ф 1зть. ьу д б«пгс ргем, гпс. Бб перевез «русских эик, мер», 1вю ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Книга Д. ИоРРи и Ж. де Фриза «Введение в метод конечнмх элементов» представит существенный интерес для советских специалистов, поскольку рассматриваемые в ней вопросм не нашли достаточиога освеШення в отечественной литературе по при.

кладной математике. Авторы с большны педагогическим мастер. ством излагают основные понятия в прницяпы метода коиечнык элементов, знакомят с важнымн особенностями использования метода при решении'разного рпла прикладных задач. Болыцое внимание уделенп основам выбора метода длн решения разреженных систем линейных алгебраических уравнений, аозникаюШих при использовании метода конечных элементов. В отечественной литературе имеется мало работ, посвяшеиных технике разреженных матриц.. Дополнитечьно к цитнруеммы авторами работам в зтай области, малодоступным дли советского читателя, можно рекомендовать книгу Р. Тьюарсоиа «Разреженные матрицы», выпушенную в 1977 г. нздатальством «Мнр».

Книга «Введение в метод конечных элементов» представляет особый интерес для математиков-прикладников н инженеров. расчетчиков в различных областях техники. Изложенный в ней материал доступен также студентам старших курсов университетов и технических вузов оютветствующих специальностей. Нашим родителям Гер рду у д Фразу, жэлв дэ Фр э, Глад Пррр ПаМятИ Ге рэ Лерри ПРЕДИСЛОВИЕ В сваей прелмдущей монографии ') па методу конечных элементов авторы попользовали принцип «ат общего к частному». Вна. чапе были даны формулировхн физических задач, их нлассифи. кацня в метод приблнженноуо решения с прямснением пробнь)х функций.

Затем было показано. что метод конечных эаемснтов является частным случаем метода пробных функций, и разветы его основные !шлиман«я. В последующих главах более летально рассматривались различные аспекты метода конечных элсментов и демонстрировалнсь приложения к широкому «ругу фнзн.

ческнх залая. Описанный выше подход хорош для аспирантских курсов по. ' вышенной сложности, а также ллн исследователей, желающих расширить свои знания в изучаемом предмете Нри гамом подходе важна, «тобы была продемонстрирована общность метода «анечных злемегпов, обеспечиваемая единым толкованием ос. ионных положений и и!ироким охватом приложений.

В курсе по методу коне гиых элементов, предназначенном для инженеров, иаучаых работников или ори«ладных математиков, желающих оанакомвться с прелметаьэ, ботев эффекшввым оказывается педагогический принцип от частяага к общему». Настоящая книга построена в соответствии с этим принднпом; це. лью ее является детальное изложение основных положений метода конечных элементов, з не и|прап«я ахает многих прнло. жений. Обе «анги дополняют друг друга, но данная болыпе подходит, как показывает ее название, длв ознакомлены» читателя с методом конечных элементов. Эа двидпать с небольшич лет метод конечных элементов пре.

вратился в весьма распространенный способ решения широкого ') М п!с О Н, Э Ч Мэ О. ТЬ Р ! Е)э и! Ме)воб — Ро Еэюев)эв Пред лш э круга научных н инженерных задач. Его развитее стимулиро валось как ионы«и математическими исследованиями, тан и проектированием новых плотин, мостов, зданий, летательных аппаратов, автомобилей, станков н других инженерных объектов. Шярокое раснространеиие метода «онечиык элементов обънсиэется простотой понятий этого «стола, присущей еыу лагвчностью н эффективностью применении Если эта книга помажет читателю овлвлеть мстолом '), то авторы будут считать свого цель достигнутая.

Так как материал для книги собирался из многих источников в течение рядз лет, нелегка назвать всех тех, чьи труды н содействие нашли здесь отражение. Всем нм мм искрение бла. годарны. Рукопись была прачитанз д.ром Б. Айронсом с ннжснернострантельного факультета университета в Калгбри' Мы учли его многочисленные замечания и прелложениа по улучшении кинг«. Специаль«ого упоминания заслуживает полдержка Нидерландской национальной аэрокосмической лабарзтории в течение того периода, когда одни нз авторов сотрудничал гам в качестве приглашенного научного работника. Мы благодарны многа« работнииач этой лаборатории, в особенности Т. Лабрюйеру н А Се«дерсу Особо мы признательны г-жс Б. Мей.!ар за высокое качества перепечатки рукописи, терпение н хладнокровие при многочисленных переделках Д.

Нор ц ж. Пз ф„ ') Ирешо эю тсэ, чт чэтэгель и«юг э *втер е нани ярогрэввн. р э э «э энне Форгр )у Июээьзулвия н эс вг и еэвт рамзи юев паре« у ебвнхо в ру о оэстз эо рогра «роээияп Копер сна, эле ь Р «еээе ерове, эээесгв эод вээ а ве ОЗА РОКТАМ )Ч )Озч э, б! ввэ б РОКТКАМ, ЗЗ вЂ” )Збб Овыб б)эы о! А пса Ьэ«ЬЫ о! Ш о. Ш, М тэж, )Эбб) П эх у эээ, коле э э «! отвыв нэ о юа вер ээ.

н ие ыу э сэн ахю раэюирв!воэ лрс Фортран ш. 1 оснопные понятия методА конечных . ЭЛЕМЕНТОВ Метод конечнмх элементов первоначально появился в строительной механике, на в последующее десятилетие было установлено )П 2), что основные понятии метода могут иметь более широкое прнменение и анк начали использоваться в ряде других областей. В дальнейшем метод конечных элементов развнвалс» весьма интенсивно, к сейчас он широко применяется ва многих научных и инженерных приложениях. Хотя существует большое разнообрззие в формулировках, метод конечных элементов может быть ахвраитернзован следующими свойствами; 1) Фнзнчесизя область задачи делится иа подобласти, или Конечные злеменгм.

2) Зависимая переменная )одна нлн несколько) аппрокснмпруется функцией специального вада на каждом конечном элементе к, следовательно, во всей области. Параметры этих аппро. кспмаций в последующем стаиовятса иензвестнымн параметра. мн задачи. 3) Подстановка аппроксимаций в онределшощке уравнеик» (нли эквнвалектнме им) дает систему множества уравнений с неизвестными параметрами Решая эти уравнения, можно определить значения этпх параметров и, следовательно, получить приближенное решение задачи Вместо определяющих уравнений часто «спользуют варнациовный ггодход Иногда ставится условие обеспечении малости )а некотором смысле) разницы ысх ду истинным и приближецныч решениями, т.

е. нееягко метода конечных элеыегнов. Так как число неизвестных в окончательной сношке уравнений чэ. его весьма велика, то общепринято попользовать матричные обозначения кэк для сокращении записи, так и тля облегчения программнрованни. ГЗ. КСН)СТРУКЦИИ И СЕТИ !дд днскРетные и непРеРыпныт: системы Термин метод кояечвых элементов в данном контексте предло. лагаст процедуру решения для нелрерьюной системы, т.

е. системы, охватывающей явление в непрерывной области. Многие Ог е еею . м тода кш ш х и леегое 1О эадачн, олнако, относятся к днскрегиым системам,'состоящим нз нонечногп чнсла связанных элементов. Впоследствнн будет показано, что существует большое сходство мегкду анализа» дискретных снстем я методом конечных элементов. Это естественно, так «ак метод конечных элементов возннк из попышк днскретнзнровать непрерывные тадачн в стронтельной механике я использовать для полученных Лнскретных снстем метаднкн, ко.

горке с успехом прнменялнсь н рас'ыту сооруженпй, Из тех же соображений матркчная фармулнровка днскретной зада'ш должна бить рассмотрена до конечноэлементного анализа непрерывных систем. В последующнх раэлслах будут исследованы два тяпа днскретных снстем: сгроителэные коисгрукЛми к грелгчодгнэы сети 1.1.а.

стрпнтельньгп кошструкггпм Рас 1.1. Плаекэ нюре»р э-сэ*х еян ф рм, Хата соедннення строительных шеыентов обычна могут передавать как снлы, так н моментм, здесь мм рассмотрим талька плоскую шаринрно-соеднненяую ферму )рнс. 1.1). Прелполагается, что ферма собрана без предварительного напряженна, а нагрузкн приложены в узлах, кан это указано на рисунке. Снлм Гз э Гэ, дейстпующне в шррннрах на типовой элемент ее, пред. ставлены нз рнс 1.2 в впхе нх проекпнй Г е, Г„т н Г э, Гтэ на асн х, у соответственна Смещении узлов элемента от нх исход. нага паложеннн (ло прнложення уснлнй к ферме) обовнзчнм бз я бз с компонентами б з.

б„, и бм, бг, соответственно В мэтрнчной форме снлы н смещеннн описываются соответственпа вы- раженнямн бн- ~,-' ~о— (1,2) Р с 1.Х Ш рч рно.сеехи е иэ шееенг м. где наастрочный нндекс ее обозначает элемент, к которому от. носятся чассматрнваемые велнчивы. Там, Тде нз «онтскста ясно, о какое .1емеате идет- речь, этот индекс будет опускаться Растяженне нлн сжатые стержня ненагруженной длннм Е Ог эр ь . » шшэр рррв л рр риша 19 Г г опрелелнется аелнчииоя (Ь р — 6.

)соьо+(Ьр,— Ьр )МпВ'), и деформация получается в результате деления этой величинм иа 1.. Так как напряжение равно модулю Юнга Е, умноженному на деформацвю, то продольнн» сила, приложенная к стержню (рис. 1.2), описываетси выражением Р = (ЕА)5) [(Ьм — Ьм) сов В+(Ьр, — Ью) з(ПВ[, (!.5) где А — плошадь попере шаго сечения стержня. Компогленты продольной силы Р могут быть приравнены компонентам шарнирных сцл, и, таким образом, уравнение (1.1) может быть записано в виде Пожтановка Р из уравнения (1.3) в вмражение для Р,р в уравнении (1.4) дает Рм= (ЕА)7) [ — (Ь„з — Ь,р) соз'Π— (Ьрз — 6 р) вп О сов В), (!.5а) нлн, после перегруппировки, Рв (ЕА/5) [созл 0 Ь„р-1- Мп Осоя 06,— — совр 06~ — з(п О соз ОЬрз). (1 56) В матричной форме уравнение (!.56) имеет внд (1Лв) Рю (ЕА/5) [саз'О, Ып О сов В, — соз'В, — з)п Всазо) Четыре уравневия типа (!.5в) для Рьо Ррр, Р*р, Ррз в матричной форме записыааются так Р ' (ЕАгб) Х соззВ Б(пВсоз — сов В з!посоаВ Б1п  — Б)посозо — ссал  — Бра 6 соз О соз Π— в(п В сов 0 — вп'О вп О сов 0 (1.6в) '1 оамлио олр а , чтч вродольвар сила Р пюожитюьиь нр растаже.

инн з отрниэтыь а рри сма ив. С множителем ЕА75, внесенным в квадратную матрицу, уран. пенне (1.ба) приобретает вид Ь*р,*р й р.рр$6 з.*з й*р,рз Ьрр, з йрр. рр Ьрр. *р йрр, эз Ь,р Ь,л 5„'р Ерз Р Рл (1.65) Ь*р. р Ь.р.рр1'6 р. з Ь*л.ш — Ьрр. *р Ьэз, ш Ьар. з Ьэа, рл- Еслрг матрицы справа Разбиты, как показано цлтриховымн лнппямп, то уравневпе (1.66) можно аанисать следующим образом: Р'==~ ь, ]~- ] (1.6в) Уравнение (1.Вв) нвляетси магри«ньир уравнением для элемента еь и его квалратная матрица коэффициентов й называется магрицед жесткости элемента Подобные уравнения чогут быть получены и двя других элементов.