Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов, страница 3

(д) (б) (ж) (з) (г) (и) ~ 2'(и)ше(х = ~ — „", ие(х. (б) Следовательно, оператор Я является самосопряженным, а операторы, описывающие граничные условия, имеют вид 5( ) =-( ), 6( ) =е(( )и(х. Отметим, что оператор 2' является отрицательно определенным, т. е. если положить и = ш и взять однородные граничные условия, то после первого интегрирования выражение (а) примет вид ! ! ~ Я (и) и е(х = — ~ ( ~ — [ ', Уи' ) е(х.

о1 о Отрицательно определенные операторы можно легко превратить в положительно определенные умножением их на — 1. Пример 1.2. Рассмотрим теперь оператор, содержащий наряду со второй и первую производную: 2' (и) = —, + — „[- и; О ( х ( 1. Уи е1и (а) Напишем далее внутреннее произведение, дважды интегрируя по частям ! ! о о +[и( — „+и) — и — „ Заметим, что в данном случае сопряженный оператор имеет вид ох! ох + Уое !ин (в) а операторы граничных условий равны 6(и) -= — „" + и, 5 (и) = и, 6*(ш) = д, 5(ш) = и!.

Пример 1.3. Другим важным для инженерных приложений оператором является оператор четвертого порядка (описывающий статический изгиб балки) 2' (и) = — ее!и.1йх'. (а) В этом случае внутреннее произведение имеет вид ! ! Прибеиженные мен!оены Дважды интегрируя по частям, найдем Вновь интегрируя дважды по частям, получаем Отметим, что в данном случае имеются два типа операторов граничных условий ! ~ Я(и)ше(х = ~ 2'*(ы) и е(х+ [5!(и!)6! (и) — 5о(ш) 6о(и)),'+ Здесь операторы существенных граничных условий равны 5, (и) =- и, 5, (и) = е(и1е(х, (е) а операторы естественных граничных условий имеют вид 6, (и) =- гРи,'е(хо, 6, (и) = е('и'е(х'.

Оператор 2' является самосопряженным: 2е( ) УФ ( ) ин( )Ых! Если в уравнении (в) с однородными граничными условиями положить и! =- и, то получим ! ! ) 2'(и)и!(х = — ~ ( — "., ) йх=--О. о о Отметим, что этот интеграл является положительно определенным и обращается в нуль лишь при и = !хх + б; поэтому, для того чтобы интеграл (и) был больше нуля для любых функций и, следует задать по крайней мере два значения функции и пли одно значение для и и другое для е(иЫх. Для задачи изгиба балки это означает, что следует запретить все ее перемещения как целого.

17 Лриближвнаие мвюой~ 16 Глава ! 1.3. Приближенные решения с граничными условиями 5 (и,) =-- з на участке Г, границы, гл (и ) = д на участке Г, границы. (1.8) Здесь и, — точное решение задачи, которое, как правило, не- возможно найти. Функцию и, можно представить в виде ряда по функциям ф„(х): =Е и+' (1,9) в=1 Здесь слагаемое яв в правой части введено для того, чтобы удовлетворить неоднородной части граничных условий; аь — неизвестные параметры; ф~ — полная система линейно независимых функ- ций ф, (х), ф, (х), ..., ф„(х), где х — координаты в пространстве П.

Эти функции обычно выбираются таким образом, побы онн удовлетворяли некоторым заданным условиям, так называемым условиям допустимости, связывающим граничные условия со степенью дискретизации сплошной среды. Большинство инженерных задач, которые описываются сложными дифференциальными уравнениями, могут быть решены лишь приближенными методами. К наиболее хорошо известным методам относятся метод конечных разностей и метод конечных элементов. Оба этих метода, несмотря на очевидное различие между ними, позволяют свести уравнения для сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы к уравнениям для системы с конечным числом степеней свободы, после чего задача может быть решена численно с применением ЭВМ. В методе конечных разностей задается набор узловых точек, в которых связь между функциями и их производными определяется исходными дифференциальными уравнениями.

В методе конечных элементов дифференциальное уравнение или его интегральный эквивалент удовлетворяются в среднем по области каждого элемента. В обоих этих методах используется дискретное представление как самой области, так и ее границы, в то время как метод граничных элементов основывается на дискретном представлении лишь внешней границы. Все эти методы имеют много общего, что особенно ясно видно пз характера используемых в них аппроксимаций. Чтобы показать это, запишем сначала следующую систему уравнений: Ы (и,) =- Ь в области П (1.7) Линейная независимость системы функции (1.10) означает, что равенство игфл + илфв + " + иафа = О (1.11) возможно для всех значений х только при аь равных нулю, Система линейно независимых функций называется полной, если можно выбрать число ее членов п и соответствующую систему постоянных ид таким образом, чтобы для произвольной функ- ции и, удовлетворяющей условиям допустимости, неравенство 1 С ( — )Чх1'" В выполнялось для сколь угодно малых значений !1.

Возвращаясь к уравнению (1.7), потребуем сначала, чтобы аппроксимирующие функции удовлетворяли всем граничным условиям задачи и имели необходимую степень непрерывности, с тем чтобы сделать левую часть уравнения (1.?) отличной от нуля (У (и) ~ 0). Подстановка приближенного выражения для и, в уравне- ние (1.7) дает функцию иевязок Я = Я(и) — ЬФО. (1.12) Точность аппроксимации определяется при этом осредненными, интегральными характеристиками функции невязок, выбор ко- торых зависит от конкретного метода, Если функция и не удовлетворяет всем граничным условиям, то можно получить еще два типа функций невязок: 1) связанные с существенными граничными условиями )7, = Я (и) — з -ь 0 на участке Г, границы, (1.13) 2) связанные с естественными граничными условиями И, = 6 (и) — й Ф 0 на участке Г, границы. Наша цель состоит в том, чтобы сделать отличия пробной функции и от и„определяемые осредненными значениями )х, )т„йв, сколь угодно малыми как внутри области !1, так и на границе Г.

Различные подходы к выполнению этой задачи и по- рождают разные типы приближенных методов. Пример 1.4. Рассмотрим следующее уравнение: Ы(и)= —,, =Ь, О~х~1, ава (а) где Ь вЂ” некоторая постоянная, значения которой могут изменяться от 0 до 1; граничные условия считаются однородными, т. е. и = 0 при х = 0 и х = 1. Точное решение можно легко получить, интегрируя уравнение (а), что дает и, = '(, Ьх (х — 1). (б) Глава 1 19 Г(рабеаженные методы Рнс, 1.2. Точная н аппрокснмнрую- щая функцнн н функцня невязок (первое приближение). 0,14 О,!2 010 О,ОВ 0,05 м 0,04 212 0,10 0,02 -О,В о,оа 005 ОЯ4 Рнс. !.1, Графики точной (а,). апнрокснь>ирующей (а) 4>ункцнй н функции невязок (!2).

Значкамн от. мечены значения функций, праве. денные в табл. 1.!. 0,02 0,2 й>>>в = [ — азлзяплх— Ь[ =->>4 О, 0,4 05 0,04 О,ОВ 0,4 0,5 -0,2 0,02 ек = — Ь )> 2!лз (и) и функции невязок Я = Ь у'2 з!и лх — Ь (к) (ж) ТаГ>лш(а Д! Таблица Д2 «Гв> ЙМ апь а;*Ь апа и,,'Ь О,! 0,2 0,3 0,4 0,5 — 0,045000 — 0,080000 — 0,105000 — 0,120000 — 0,125000 — 0,031309 — 0,059555 — 0,081970 — 0,096362 — 0,10132! — 0,690983 — 0,412214 — 0,190983 — 0 048943 0,000000 — 0,562983 — 0,168746 +0,144122 +О 344997 +0,414213 — 0,440278 — 0,084223 — 0,115923 — О,!36276 — 0,143289 — 0,45000 — 0,080000 — О,!05000 — 0,120000 — 0,125000 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 В качестве аппроксимирующих используем синусопдальные функции, причем в нулевом приближении и == сстер, == а яп лх.

(в) Отметим, что эта функция удовлетворяет граничным (однородным) условиям нашей задачи. Функция невязок равна аеа )т = —, — Ь = — алз5(плх — Ь. >Ь'з 0 О,! 0,2 О,а 0,4 0,5 0 Параметр а в этом случае найдем из условия Я: — О в середине области, т, е, при х =- 1,'2 (это будет простейшим случаем применения метода коллокаций): — -сслз = Ь или сс =- — Ь.'л'. (д) Таким образом, приближенное решение имеет вид и == — (Ь,'лз) яп лх. (е) Результаты для точного и приближенного решения, а также функции невязок )т' = — Ь яп лх — Ь приводятся в табл.

1.1 и на рис. 1.1. Как видно из данных, приведенных на рис. 1.1, разность между точной п аппроксимирующей функциями и функция невязок имеют весьма несходные зависимости от координат. Можно было бы выбрать и иное локальное условие для функции невязок, например 02 положить И = О при х — -1>4 вместо х = 1,'2. В этом случае имеем (3) 0 0,1 0,2 О,а к Новые значения для аппроксимаций функции и = — (Ь 2'2/лз)з)плх приведены в табл.

1.2, а их графики показаны на рис. 1.2. Отметим, что аппроксимация функцией (и) несколько точнее, чем функцией (е). 2О Глава ! Приближенные метода 21 Пример 1.5. Рассмотрим следующее уравнение, заданное в области О <. Х( 1 азиз Ы(ио) — Ь = —,, +ио+х = О (а) с граничными условиями и =- О при х = О и х = 1. В качестве полной системы функций возьмем ряд степенных функций 111= 1 ЕРЗ Хе ЕЕ'З == Х, (б) Аппроксимирующая функция принимает вид и = а1«Р» + азсР, + азсР, + а«сг«+ ... = а, 1 + аз х + а,.х- 1- +а,х'+.... (в) Рассмотрим сначала три первых слагаемых и попытаемся подчинить функцию и граничным условиям задачи: и =- а, =- О при х = О, и =- а, + аз + а, = — О при х = 1.