Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов, страница 9

Глава 2 Задачи теории потенциала 2.1. Введение К настоящему времени твердо установлено, что метод граничных элементов является важным, альтернативным по отношению к существующим численным методам подходом к исследованию в механике сплошных сред. Одной нз наиболее важных областей его применения является решение задач диффузии, некоторых типов движения жидкости, течения в пористой среде, электростатики н многих других задач, в которых используется функция потенциала и чьи разрешающие уравнения представляют собой классические уравнения Лапласа или Пуассона. Все эти задачи для потенциала в общем случае можно эффективно и экономично исследовать с помощью метода граничных элементов.

Суть метода состоит в преобразовании дифференциального уравнения в частных производных, описывающего поведение неизвестной функции внутри и на границе области, в интегральное уравнение, определяющее только граничные значения, и затем отыскании численного решения этого уравнения. Если требуется найти значения потенциала во внутренних точках области, то их можно вычислить, используя известные решения на границе. Поскольку все обусловленные численными расчетами приближения связаны только с границей, размерность задачи уменьшается на единицу и получаемая система уравнений оказывается меньшей по сравнению с исходной системой дифференциальных уравнений.

Данная глава посвящена применению метода граничных элементов к решению задач об установившемся потенциальном течении, опнсывающихся уравнениями Лапласа или Пуассона. Будут рассмотрены двумерные осесимметричные и трехмерные задачи общего вида. Впервые интегральные уравнения были использованы для формулировки фундаментальных краевых задач теории потенциала в 1903 г.

Фредгольмом 111, доказавшим существование решений таких уравнений с помощью процедуры дискретного представления. Из-за трудностей нахождения аналитических решений применение интегральных уравнений ограничивалось большей частью теоретическим исследованием вопросов существования и единственности решения задач математической физики.

Однако появление быстродействующих ЭВМ сделало возможным применять Задачи теории аоотнцаала процедуру дискретного представления аналитически, а затем без особого труда получать численные решения. Интегральные уравнения Фредгольма вытекают из представления гармонических потенциалов в виде потенциалов простого и двойного слоев и служат основой так называемого непрямого метода граничных элементов.

Векторные интегральные уравнения, аналогичные интегральным уравнениям Фредгольма в теории потенциалов, были введены Купрадзе 121 применительно к задачам теории упругости. Интегральные уравнения для линейных задач могут быть получены и другим способом, а именно с помощью третьей формулы Грина, согласно которой гармоническая функция может быть представлена как сумма потенциалов простого и двойного слоев.

Если рассматривать только точки, принадлежащие границе области, то получим интегральное уравнение, связывающее значения гармонической функции на границе и ее нормальных производных. В теории упругости этому соответствует формула Сомильяны 141, использование которой позволяет перейти к методу граничных элементов. В последнее время было показано, что некоторые интегральные соотношения можно получить путем рассмотрения взвешенных невязок 151.

как это было показано в гл. 1. Поступая так, можно наиболее просто связывать и комбинировать метод граничных элементов с другими численными подходами, например методом конечных элементов, а также распространить его на случаи исследования задач, описываемых более сложными дифференциальными уравнениями в частных производных, включающими различные нелинейности.

Отсюда следует, что метод взвешенных невязок будет использоваться чаще других методов, поскольку он более общий и лучше соответствует приближенным подходам, известным инженерам и другим исследователям. Хотя интегральные уравнения широко использовались для формулировки граничных задач теории потенциала, аналитические решения таких уравнений были получены только для очень простой геометрии, в частности с использованием функции Грина для такой геометрии, которая удовлетворяет граничным условиям задачи 16 — 61.

Метод решения граничных задач с использованием функции Грина самым непосредственным образом связан с дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа. На самом же деле концепция функций Грина выходит далеко за пределы подобных граничных задач, и сам метод можно также распространить и на решение уравнений с частными производными параболического и гиперболического типов, что показано в гл. 4 и 10. Однако для задач общего вида со сложными геометрией и граничными условиями можно считать, что не существует нн точного выражения для функции Грина, нн какого- либо другого общего аналитического способа .исследования. Гоаои 2 В 1963 г. Джесуон [9] и Симм [!О! предложили численный подход к решению граничных интегральных уравнений Фредгольма. Использованный ими подход состоял в разбиении границы на ряд малых участков (элементов) и предположении, что плотность источников постоянна на каждом участке.

Далее с помощью метода коллокаций для отдельных точек, принадлежащих каждому из участков, записывалось уравнение н с использованием формулы Симпсона приближенно подсчитывались коэффициенты влияния. Исключение делается для сингулярных (обусловленных собственным влиянием каждого из участков) коэффициентов, которые находят либо аналитически (для задачи Дирихле или задач, в которых все условия являются существенными), либо путем сложения всех недиагональных коэффициентов и свободного члена (для задач Неймана или задач, в которых все условия естественные). В результате получается система линейных алгебраических уравнений, которую можно решить численно методом исключения Гаусса. Применяя такой подход, Джесуон и Симм получили решения для простых двумерных задач Неймана и Дирихле.

Ими была предложена общего вида численная методика решения граничных задач Коши (называемых также смешанными, поскольку на одной части границы задаются существенные условия, на другой — естественные), основанная на применении третьей формулы Грина, которая приводит к гармоническому интегральному уравнению, где значения функции на границе и нормальные производные физических величин играют роль плотности фиктивных источников.

Результаты, полученные по этой методике, были опубликованы Снммом [1О], а также Джесуоном и Понтером [11]. Хесс н Смит, [12] разработали метод решения граничных задач типа Неймана, или, более конкретно, задачи о потенциальном течении вокруг тел произвольной формы. Используя по существу тот же (непрямой) подход, онн вычисляли неизвестные величины (потенциал и скорость течения) при заданной плотности распределения источников, используя прямое интегрирование соответствующих уравнений.

Этот метод был ими распространен на различные формы двумерных, осесимметричных и трехмерных тел. Для двух- и трехмерных случаев все коэффициенты влияния были найдены аналитически, хотя впоследствии, для того чтобы улучшить эффективность алгоритма, было предложено при вычислении коэффициенгов влияния для расположенных далеко от рассматриваемого узла элементов применять многомерное разложение в ряды, после чего результирующую систему уравнений решали итерационно методом Гаусса — Зайделя. Для осесимметричных задач коэффициенты влияния определялнсь численно по правилу Симпсона, но при этом число подэлементов выбиралось таким образом, чтобы для более удаленного от рассматриваемого узла Задачи теории потенциала элемента задавалось меньшее число подэлементов. Сингулярные коэффициенты (описывающие собственное влияние) находились аналитически с помощью разложения в ряды.

Харрннгтон с соавторами [13] применили данный метод для решения некоторых двумерных задач электротехники, где имеется более общее нмпедансного типа граничное условие, т. е. условие типа Робина, когда задается линейная комбинация потенциала и его нормальной производной.

Ими была также предложена кусочно-линейная аппроксимация функции плотности источника. Мауц и Харрингтон [141 рассмотрели осесимметричные задачи электротехники с граничными условиями типа Дирихле, где также использовали непрямую формулировку и предположение о том, что плотность источников остается постоянной для каждого элемента. Некоторые из проведенных ими численных исследований впоследствии обсуждались Джесуоном и Симмом [15!. В следующем разделе будет показано, как задачу, описываемую уравнением Лапласа, можно представить в форме интегрального уравнения, которое путем предельного перехода приводит к граничному интегральному уравнению относительно лишь неизвестной функции на границе.

Обсуждаются как прямая, так и непрямая формулировки метода граничных элементов. Затем для получения интегральных уравнений будет применен метод взвешенных невязок. Показывается, каким образом здесь можно учесть такие свойства, как наличие внутренних источников, неоднородность, ортотропию и анизотропию. Рассматриваются двумерные, осесимметричные и трехмерные задачи общего вида, представлены результаты их решений, 2.2. Элементы теории потенциала Вновь кратко рассмотрим некоторые основные элементы классической теории потенциала. Введем лишь представление о том, что является важным с точки зрения рассматриваемого предмета, и будем следовать при этом Крузе [!6], а также Джесуону и Симму [15!. С более формальной математической стороной дела, включая все строгие доказательства необходимости н достаточности, можно познакомиться в монографиях Келлога [3], Курапта и Гильберта [17], Штернберга и Смита [18].

Если частица с единичной массой, на которую действует сила со стороны некоторого специфического поля Р, движется от точки $ к точке х пространства, то работа, совершаемая этим полем при движении частицы, равна (2.1) ][[е = Ыг, 59 Задачи теории пслпенциала Глпли д где Г -- сила, об)словлен!шя действием век!орного поля, Г— радиус-векгор точки на траектории, по которой движется частица В общем случае работа зависит не только от расстояния между точ. ками х и с, но также и от пути, по которому движется частща.