Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 4
Текст из файла (страница 4)
!г! Отсюда следует, что а, = — а,. Соответственно аппроксимирующая функция, удовлетворяющая граничным условиям, равна и = ах — ахз = ах (1 — х), (д) где а =- а,. Если взять четыре слагаемых, то получим и= — а, 1+а, х+а, хо+а,.х'+ ....
(е) Граничные условия приводят к следующему выражению для и: и == х (1 — х) (сс, + а,х). (ж) В общем случае произвольного числа членов ряда (е) граничные условия дают и:=- х (! — х) (а, + азх + сс,хз —, „. ), (з) Точным решением уравнения (а), удовлетворяющим указанным выше граничным условиям, является функция 51П Х (и) !Отметим, что в этом случае выражение (з) удовлетворяет условию допустимости, поскольку оно соответствует граничным условиям и имеет необходимую степень непрерывности. Условие полноты также выполняется, поскольку норма разности и — и — ио будет уменьшаться при увеличении числа слагаемых, входящих в выражение (з).
1.4. Метод взвешенных невязок (1.14) (1.16) У, ) == ?(,(а=О. При этом си будем называть весовой функцией. Поскольку коэффициенты (11 являются произвольными, то из неравенства (1.16) следует, что ~ Яфее(П = О, ! = 1, 2. .. й. (1.1?) В следующих разделах будет рассмотрен ряд хорошо известных приближенных методов с позиций введенных !выше определений. 1 4 1 Метод коллокаций Так же как и в примере 1.4, вместо удовлетворения уравнений «в среднем», попытаемся удовлетворить им лишь в отдельных точках, называемых точками коллокаций.
Эти точки обычно (но не обязательно) располагают равномерно по всей области. Для случая однородных граничных условий можно использовать аппроксимирующую функцию и и = 2л азер„ в=1 (1.18) Если принять, что функциями невязок являются ес в области П, !«1 на участке Г, границы Г, Ьз на участке Г, границы Г, Г=Г,+Г„ то можно предложить такой способ их минимизации, когда обра- щаются в нуль их усредненные значения. Зададим еще одну систему линейно независимых функций Ч;: Ч11 (х), ф, (х), Ч15 (х), ..., ф„(х).
Иногда используют функции зри (х), удовлетворяющие одно- родным граничным условиям, хотя, как будет показано ниже, это не всегда обязательно. Теперь можно ввести систему произ- вольных коэффициентов !11, которые определяют некую функцию и с помощью системы функций фе: са = ()1Ч11 + р Ч' + (з»Ч15 + " (1.15) Предположим теперь, что аппроксимирующая функция и удовле- творяет всем граничным условиям задачи. В этом случае )с1 = = ?сз =- О и только Я ~ О. Используя функцию пе, можно рас- смотреть усредненное по области П значение функции невязок Я 23 Лрнближеннь>в лев>ода 22 Глава т' где ~)т'ц>с(П = О, и (1.21) где ера — функции, удовлетворяющие однородным граничным условиям.
Условие обращения в нуль функции невязок Л = т 0«> >в Ь = О (1.19) должно выполняться в п точках области ь!. Отметим, что в принципе число коэффициентов аа должно совпадать с числом выбранных точек коллокаций. Это условие можно выразить в форме метода взвешенных невязок, если в качестве т(>«использовать л>, ы! дельта-функцию Дирака. Дельта- функция Дирака Л; (х) является обобщенной функцией, которую можно рассматривать как предел обычных функций (рис. 1.3). Дельта-функция Л, (х) равна нулю во всех точкахобласти, за исключением точки, в которой нулюравенееаргумент,афункция .х х обра!цается в бесконечность (т. е.
прп ! — — л,— х — - х;, где х; — координата точки >', Рис. 1.3, Г««тата-4>ункция ди- в которой «локализована» дельта- рака, аппроксиинруеиая функ- функция Дирака). фуньци>о Л; (х) риь> можно представ площадь поасрхности которой Г>2Х = 1 при >е — ь О и В -~- со. Л, (х) = Л (х — х;). Дельта-функция Дирака имеет очень полезное с точки зрения инженера свойство: лгее Л(х — л.;)с(х == ~ Л(х — х;)с(х = 1, л.— е > где е — произвольное малое положительное число.
Кроме того, для произвольной функции ! (х), непрерывной в точке х;, можно написать следующее соотношение: + л,. +е ~ ~(х)Л(х — х;)«(х = ~ ~(х)Л(х — х>)с(х = 7'(х;) =- ~ь (1.20) л ° — с где ); — значение функции Г в точке !. В дальнейшем, когда не будет необходимости представлять в явном виде аргументы функции, для простоты используются краткие обозначения Г; и Л,. Метод коллокаций на множестве точек «(или метод точечных коллокаций) теперь можно определить соотношением (см. формулу (1.!6)): и> == Р,Л, -, '(),Л, —; (),Л, —, ... —; !)„Л„. (1,22) Здесь Л; — дельта-функция Дирака, заданная в точках 1 = 1, 2,...,й. Пример 1.6.
Рассмотрим следующее уравнение, заданное вобласти О~х~!: .кт (и) -- Ь =- — „, --, 'и + х =- 0 Й»н (а) с однородными граничными условиями вида и:-- 0 при х = — О, х = 1. Возьмем (см. пример 1.5) аппроксимирующую функцию, содержащую только два неизвестных параметра: и = х (1 — х) (а> -~ стех). (б) Подставляя это приближенное выражение для и в уравнение (а), получим функцию невязок т>«и тс =- —., ) и -'- х =- ( — 2 1- х бх» ха) и> + (2 — бх -'; хе — ха) оса + х.
(в) Далее можно ввести весовую функцию в форме дельта-функции Дирака, заданной в точках х, = 1,'4 и ха = 1.'2: ш !) Л (х «) нп«Л (х, ). (г) Это означает, что условие 1 ~ тсц> с(х =- 0 (д) е (ж) (з) сводится к равенству !7 -- 0 при х =- 1'4 и х == 1'2. Отсюда получаем два уравнения, которые можно записать в матричной форме 29,'16 — 35>'64 1 ! а> ) ( 1,'4 ) 7/4 7>6 ) (с»а ) ) 1у2 ( (е) Решая эту систему, получим значения с«, с«, = 6'31, а« == 40.'217 и соответствующее выражения для пробной функции и = (42; — 40х).
24 Глава ! Приближенные методы 25 Таб.гияа !.3 иь я!ь 0.019078 О, 036866 0,052258 0,064! 47 0,071428 0,072995 0,065806 0,054562 0,032350 0,01864! 0,036097 0,051194 0,062782 0,069746 0,071018 0,065585 0,052502 0,030901 — 0,009953 — 0,002764 +О 002027 +0,003317 +0,000000 — 0,009032 — 0,024884 — 0,048663 — 0,081474 О,! 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 »чей«а ,07 г-1 г г! ,05 Оь -0,08 ,05 -О,ОБ -сг --ОО т 0,02 0,0! Рнс. 1.5, Ячейка колао- кацнн н функции Чга. Отметим, что функция невязок имеет вид К == —, ( — 4 т 19х — 2хз — 4х').
(и) Результаты вычислений представлены в табл. 1.3 и на рис. 1А. Пример 1.7. Интересно отметить, что специальная форма метода коллокацпй приводит к методу конечных разностей. 0,08 0,02 0 0,2 ОЗ О,Б 0,8 ! 0 Р нс . 1 4 . Точная н аппроксимирующая функции, н функция нее явок ( и рн ме р 1 . 6) . Рассмотрим для примера область или «ячейку» (рис. 1.5), расположенную в окрестности узла !. Можно выбрать следующего вида «локальную» аппроксимирующую функцию в области ячейки: и = и; ггрг —,' игсрз+ и!,ггрз, (а) где ин и; „инм — значения функции в узлах конечно-разностной сетки.
Функции Чгь являются квадратичными функциями безразмерной координаты Ч =- 2х11: «рг = 'зЧ (Ч !) 'рз = (! Ч) (! + Ч) срз = 'зЧ (! + Ч) (б) Вид этих функций представлен на рис. 1.8. Если продифференцировать функцию (а), учитывая выражения (б) для функций грь, то для точки г' функцию невязок можно записать в виде дзи,, 4 = — — и-'-х = —., (и,, — 2иг — , ,'иеег) — 'ие-';х, = О. (в) Это выражение совпадает с тем, что было получено с использованием центральных конечных разностей.
Описанный выше подход, детали которо~о обсуждаются в статье [24), позволяет найти множество различных конечно разностных представлений и облегчает использование криволинейных координат в этом методе. !.4.2. Метод коллокацнй с подобластями 3 Этот метод аналогичен методу коллокаций, только вместо треГювания равенства нулю функции невязок в отдельных точках используется условие обращения в нуль интеграла по различным областям от функции невязок ~ Я (а = О. и! Пример !.8.
Вновь рассмотрим уравнение лги —,, — ' и .! х .=- О (а) с граничными условиями и =- О при х =- О и х = 1. Возьмем для искомого решения следующее приближенное представление: и = х(1 — х) (сег+ и,х+ ...). (б) Для первого приближения (т. е. для случая, когда имеется только слагаемое аг) в качестве подобласти можно взять всю область. Подставляя выражение )« =- ( — 2 + х — хе) пег + х в формулу (1.23) и полагая ь)г =- П, получаем 1 — — -- + !1, 1 [( — 2+ х — хз) сег ',— х) г(х —.- — —, аг + — =- О, (г) о П рссбли тсснныс 11епсоды 26 Глааа ! ,ОБ ,О( ~ сс с(х -- О, ) )(с с1х =- О, О,ч (ж) 00! -О, -О, (к) Таблица !.4 а(О и (21 и (21 а(и 0,018641 0,036097 0,05!194 0,062782 0,069746 0,0710!8 0,065585 0,052502 0,03090! 0.024545 0,043636 0,057272 0,065454 0,068!8! 0 065454 0,057272 0,043636 0 024545 — 0,018526 — 0,003605 -'.'-0.008924 +0.018042 +0,022727 -1-0,02!957 тО ОИ71! — 0,000030 — 0,023292 — 0.420909 — 0,301818 — 0,188!81 — 0,080000 +0.022727 -'- О.
120000 +0,2!1818 -!-0,298!8! +0,379090 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0.0!84!7 0,036466 0,050123 0,061369 0,068181 0,069539 0,064421 0,051806 0.030673 откуда имеем а, -= 3 11. Следовательно, в первом приближении ип! .= зс х (1 х) (д) Для получения второго приближения можно взять две подобласти: О «х «112 и О «х «1. Отметим, что одна из них включает в себя другую. Функция невязок имеет тот же вид, что и в примере 1.6: Я = ( — 2 + х — хз) а, + (2 — бх + хз — хз) а, + л. (е) Проинтегрировав выражения 112 1 получим 1 11 53 ! 11 1! — — — ат г — аз = О, — — — а —.— а. =-О, (з) 8 12 ' ' 192 '"' ' 2 6 1 12 откуда найдем ат = 97,'517, аз =- 24!141. (и) Таким образом, второе приближение имеет вид 291 + 264х !551 Функцкя и„ обе аппроксимации для функции и и функции невязок представлены в табл. 1.4 и на рис.
1.6. Отметим, что результаты заметно улучшаются для второго приближения. Хотя на первый взгляд метод коллокаций с подобластями должен иметь преимущество по сравнению с методом коллокаций в точках, на практике преимущество, получаемое за счет использования интегральных соотношений, зачастую исчезает из-за того, по-впдимому, что фуш(ция ошибок несколько раз изменяет 0 ОД 03 О,Б О,Б ' О к Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
