Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1.8, этот прием можно интерпретировать как частный случай более общего метода взвешенных невязок. Метод конечных элементов привлек к себе внимание исследователей главным образом тем свойством, что сплошная среда разбивается на ряд элементов, которые можно рассматривать как конкретные ее части. При этом данный метод может основываться как на вариационных принципах, так и на более общих выражениях метода взвешенных невязок.
Имеющаяся в настоящее время литература по конечным элементам весьма обширна и включает в себя вопросы расчета конструкций [11, течения жидкости [21 и другие виды задач. Большой интерес, который был проявлен к этому методу в начале 1960-х гг., имел два важных следствия: во-первых, он породил впечатляющее количество работ по численным методам и эффективным инженерным подходам к решению задач и, вовторых, привел к углубленному исследованию < сновных физикоматематических принципов, таких как вариационные подходы и методы взвешенных невязок. Первое из указанных следствий непосредственно связано с появлением мощных вычислительных машин,т. е.
Я>М второго поколения, которые могли решать инженерные задачи, требующие хранения большого числового материала и проведения значительного объема вычислений. На некоторое время непрерывный прогресс в вычислительной технике, включающий в себя создание ЭВМ третьего поколения, отвлек ученых от развития математических методов (и их физических основ), т.
е. от указанного выше второго следствия. Эти методы, применение которых восходит ко времени, когда еще не было вычислительной' техники [3, 41, Глава ! !о Прабли»еенн»ее .ненеоди описывали различные пути решения уравнений задачи; к ним относятся методы Бубнова, коллокаций, наименьших квадратов, графические приемы решений, матричные разложения и метод передаточных матриц, комбинации различных приемов и т. д. К счастью, они не были забыты и вновь появились в литературе, иногда под другими названиями, подобными методам конечных элементов, Бубнова, конечно-элементных полос, неким схемам интегрирования по времени и т.
д. Другим важным направлением приближенного анализа было развитие смешанных принципов, когда физические задачи можно выражать и решать самыми разными способами в соответствии с видом используемых аппроксимаций уравнений. Эти аппроксимации имеют основополагающее значение при машинной реализации различных численных методов. Использование смешанных методов восходит к Рейсснеру [5 [ и в более специфическом виде к Пиану [6) в методе конечных элементов. Прекрасное описание применения смешанных методов в строительной механике можно найти в книге Вашицу [7!. Методы интегральных уравнений рассматривались до последнего времени как некий тип аналитического метода, не связанный непосредственно с приближенными методами. Они стали известны благодаря работам советских ученых Н. И.
Мусхелишвили [8), С. Г. Михлина [9), В. Д. Купрадзе [10 [ и В. И. Смирнова [11), но они были не очень популярны среди инженеров. Предшественником некоторых из этих исследователей был Келлог [12), который применял интегральные уравнения для решения уравнений типа уравнения Лапласа. Метод интегральных уравнений использовался главным образом в механике жидкости и задачах общей теории потенциала и известен как метод источника, который относится к «непрямым» методам исследования, т. е.
неизвестные в этих задачах не являются физическими переменными. Работа по развитию этого метода продолжалась в 1960 — !970-х гг. в трудах Джесуона [13[, Симма [14), Массоне [15), Гесса [16! и многих других. Трудно точно установить, кто первым предложил «прямой» метод исследования. В виде одного из вариантов он использован в книге В. Д. Купрадзе [1О[. Однако с точки зрения инженера следует, по-видимому, считать, что метод был впервые предложен в работе Крузе и Риццо [17!. Именно прямой метод будет главным образом использоваться в этой книге, поскольку он наиболее приемлем для инженеров и ученых-механиков.
Еще в начале !960-х гг. небольшая исследовательская группа Саутхемптонского университета уже работала над приложением интегральных уравнений к решению задач о напряженном состоянии. К сожалению, характер представления задачи, трудности определения соответствующих функций Грина и одновременное появление метода конечных элементов — все это привело к снн- жению значимости этой работы. В начале 1970-х гг. последние достижения в формулировке конечных элементов начали обнаруживать их связь с формулировкой граничных интегральных уравнений и привели к появлению обобщенных криволинейныхэлементов. Вопрос о том, насколько эффективно последние связывают граничные интегральные уравнения с другими приближенными подходами, в то время не был решен.
Это было сделано Бреббия, который в 1970-х гг. исследовал связь различных приближенных методов. Результатом этих исследований была вышедшая в 1978 г. книга [18), где впервые использован заголовок <Граничные элементы». Немного позже эта работа была расширена за счет включения временных и нелинейных задач [19 [.
По этой теме состоялись представительные международные конференции в Саутхемптонском университете (!978, 1980 и 1982 гг.) и в Калифорнии (1981 г.). На труды этих конференций [20 — 23 [, касающиеся рассматриваемой здесь темы, теперь постоянно ссылаются в научных публикациях. В этой главе будут описаны общие основы всех фундаментальных методов со специальным упором на связь с граничными элементами. При использовании различных методов важно понимать смысл аппроксимаций и уметь комбинировать метод граничных элементов с другими численными методами.
!.2. Основные определения В этой книге будет в основном рассматриваться решение дифференциальных уравнений, представляющих отдельную физическую задачу. Эти уравнения могут быть эллиптического, параболического или гиперболического типа. В данный момент будем рассматривать только эллиптические уравнения. Предположим, что последние можно представить с помощью оператора 9~в виде .9~ (и) =- Ь в области»!. (1.1) Оператор 2' по определению представляет собой перечень операций над функцией и, в результате которых получается другая функция Ь. Область !е представляет собой пространственную область, обычно описываемую координатами хе (е = 1, 2, 3) или просто координатой х в одномерных задачах.
Оператор .У в дальнейшем будет рассматриваться как дифференциальный оператор вида 2'( ) = еР( ),'дх» или (1. 2) Глана ! а в случае двумерного уравнения Лапласа У( ) =- —. де( 1 д( ) дх' дх.[ Когда оператор применяется к функции и, эту функцию следует подставлять вместо скобок. Хотя в данном случае функция и считается скалярной, важно учитывать то обстоятельство, что она может быть и вектором, как, скажем, в механике сплошной среды, где функция и может быть заменена вектором и, компонентами которого являются перемещения в трех взаимно перпендикулярных направлениях.
Рассмотрим однородное уравнение (1.1) вида 'Г (и) = 0 в области й. (1.3) Внутренним произведением будем называть левую часть соотношения (! .4) 2 („)ше(й = О, которая зачастую обозначается как (2'(и), ес). Возможны и иные, ; тличные от соответствующих выражений (1.4) определения внутренних произведений, но в данной книге в основном будет использоваться именно приведенное выражение. Внутреннее произведение (1.4) можно интегрировать по частям до тех пор, пома под интегралом не останется производных функций и. Это приводит к преобразованной форме внутреннего произведения, и в результате интегрирования по частям получаются слагаемые, содержащие интегралы по поверхности, охватывающей область й. В общем случае внутреннее произведение можно представить в виде 2'(и)нее(й = ) и2.*(пе)е(й — , ') [5*(и)6(и) — 6*(ес) 5(и)[е(Г, и г (1.5) где à — внешняя граница области й; 5 и б — дифференциальные операторы, обусловленные интегрированием по частям.
Через 5м (п1) обозначены слагаемые, содержащие функцию ш и получающиеся на начальном этапе интегрирования; 5 (и) содержит соответствующие слагаемые с функцией и. Оператор 2™ называется сопряженным оператору 2'. Если 2'" = 2', то У называется самосопряженным оператором. В данном случае имеем б =- 6* и 5 =- 5е. Самосопряженность оператора аналогична симметричности матрицы, элементы которой являются действительными числами. Оператор 5 (и) называется оператором существенных граничных условий, а оператор б (и)— оператором несущественных или естественных граничных условий.
На границе области можно задать любой тип граничных Преблаженные мееноды условий. Однако, для того чтобы решение было единственным, в некоторых точках следует задать существенные граничные условия. Пусть Г, и Го обозначают участки полной поверхности Г, тогда граничные условия для самосопряженной задачи (2™ - Ы) можно записать в виде: 5 (и) задано на участке Г, границы; 6 (и) задано на участке Г, границы. Самосопряженный оператор является также положительно определенным, если условие ) иЫ (и) е(й ~ 0 (1.6) (б) (ц)н11(х = ~ (ц, Лонц1) е(х+ ~ ш~ — ~н ее ~, (г) Замечая, что первое слагаемое в правой части этого равенства может быть написано с помощью оператора, получаем )' 2" (и)ше(х = ) 2'(ш)ие(х+[5(ц1)6(и)[,' — [5(и)6(п1))о.
(д) выполняется для всех функций и, и равен нулю только для тривиального случая и = О. Для того чтобы определить, является ли оператор 2' положительно определенным, можно интегрировать внутреннее произведение по частям до тех пор, пока в ием останутся производные одинакового порядма. Этот оператор является промежуточным при преобразовании оператора 2'в 2'*.
Положительная определенность является исключительно важным свойством, влияющим на выбор схемы решения, а также на запись вариационных формулировок. Пример 1.1. Рассмотрим уравнение 2.(и) = —,— Лен = 0; 0(х(1. еееа Внутреннее произведение имеет вид 1 1 Я (и) ев е(х = ) 1 — — Л и ( ес е(х = О. 1 дои дхе о о Интегрируя далее это соотношение по частям, получаем 1 1 ~ 2'(и) п1 1(х = ~ ( — — „— — Лоиш) е(х+ ~ —, п1~ . (в) о о Снова интегрируя, найдем !"м!ва 1 14 о о (г) + [6о (и!) 5о (и) — 6! (ш) 5! (и))о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
