Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов, страница 8

Отметим, что в этом случае вся граница принадлежит к типу Г,. При этом равенство (1.60) принимает форму г, г, С учетом симметрии это равенство представляется в виде ! Подставляя выражение (г) в равенство (е), получим уравнение 1 ) ['74Ь(! ',- д') (4 -- 12д') ба,'- а(4 — 12д') (1 — бд' -[- д') ба[ йд =- О, о (ж) из которого следует 1 ~ [47 Ь(1-'-до) + а(1 --бд' [- дв)) (4 — 12уо)е(д = О.

о После интегрирования имеем 1 144 — — Ь+а — = 0 б ' Зо Гйи бхо.а окиси* методы Гиии ! I ~ (й - о с) о/у -- 0 'о (м) или — ьи !-х= — 0 доио дхо о (а) что дает с — (53/180) Ь. (о) дби и) — о(Г = 0 ди (б) г, (и — й) — йу =- О, дби дх о (в) (д) (г) При этом йш/йх = — р, з! п х + р, соз х. (е) ! 1 О бо89 1 (о~ ) (0 оббб) ! --2,0586 ! ! хо ! ) 0,3906 ( Гд) Таким образом, для функции о находим и .= (х' — бх'у' + у') со — — '/ьмЬ (х4 — бх'д' + у'), (л) а функция и определяется выражением (б).

Отметим, что для функций и и а вместо точного решения можно взять некоторую постоянную величину. Для того чтобы определить эту величины, требуется проинтегрировать по линии х = 1, 0 < д < 1 выра- жение ) (1/4Ь (1 ., у ) -)- оо (1 — буо -- у1),— с) иу = О, (и) о Пример 1.16. Задачу, рассмотренную в примере 1.!(и решим теперь с помощью метода граничной коллокации, взяв за исходное уравнение (1.58), а пе (1.60).

В качестве приближенного решения можно взять ту же функцию, что и в предыдущем примере: и = "/,Ь (х' + у') + а„-! ао (х' — бхоу' + у'), (а) и потребовать, чтобы она удовлетворяла граничным условиям только в отдельных точках границы х == 1, 0 < у < 1. Начнем с равенства которое для двух точек коллокаций сводится к виду 1 !(и- й)Л;йд=-О, /=-1, 2. о Возьмем на линии х == 1 две точки у = 0,25 и у = 0,75. Это приводит к следующей системе уравнений: откуда получаем ао = — 0,2949Ь, ао == 0,0465Ь. (е) Тогда для искомого решения имеем и =- 1/,Ь (хо + уо) — 0,2949Ь + 0,0465Ь (х' — бх'у' + у').

(ж) Решение (ж) дает значения, близкие к тем, что были получены в примере 1.!5. Например, если для обоих примеров сравнить значения и в центре области (прп х = у = 0), то имеем предыдущий пример -- и„=- — 0,2944Ь, данный пример - — и„= --0,2949Ь. (з) Пример 1.17 (метод решения граничных задач с использованием решения уравнения !7ош == 0). Вновь рассмотрим в области Я уравнение и граничные условия и, — — 0 при х =- 0 и х = 1. Из интегрального соотношения (1.57) можно записать (учитывая, что все границы здесь относятся к типу Г,): 1 ~ ( —, м- и '; х) шо/х+ ~(и — й) — ~ =.— О.

(6) о Интегрируя дважды по частям, получим 1 1 ~ ( — „,, рш) ийх ', ~ хшс(х , '(уш)„":=о' - '(й — ~ =-- О. (в) о о Отметим, что здесь требуется найти решение уравнения (в), которое бы удовлетворяло соотношению дом — -1- ш ="- О. (г) Общее решение уравнения (г) имеет вид ш -= р1 соз х ',- ро 51п х. Отметим, что решения для и и ш могут иметь произвольную форму и что эти функции определены только иа границе. В данном примере границы сводятся к двум точкам, поэтому в качестве пе.

известных получаем уо и с/, (т. е. значения с/и/йх в точках О и !). Приближенные меглоды Глана ! 50 (г) (д) где г == [х — х! [. ! хгцп хе[х = — д!гнп 1, о (з) !/о где при О~х~ —, 1 2 ' 1 прн —,сх «1, Окончательно наидем (з) Рассмотрим теперь уравнение (в), подставив в него весовую функцию (е), что дает ! ~ хга е(х+ [дси)! — [!/и!]о = О, о ! ~ х([)лсозх+ [)омпх) е[х+ !/!([)!сов 1+ [)оз1п 1) — !/о~! = О.

(ж) о Отсюда следуют уравнения ! хсоз хс[х = — (!/! со51 !/о) о решениями которых являются соа 1 1 (и) Таким образом, получим точные значения производной ди/е[х в точках х = 1 н х = О. Пример 1.18 (использованне фундаментального решения). Вновь рассмотрим уравнение из примера 1.17, взяв в качестве исходного следующее соотношение: ! ! ~ ( —,, +и!) и!(х+ ~хсасХх+ [!/ию[л=о-- ![и — ~ = О. (а) о о Обычно, хотя и не обязательно, в методе граничных элементов в качестве весовой функции са выбирается фундаментальное решение. Это решение обозначается звездочкой (са'), с тем чтобы подчеркнуть его специальный характер, и удовлетворяет урав- нению (б) где Л! — дельта-функция Дирака, отличная от нуля только в точке ! с координатой х! (см.

рис. 1.3). Интегрируя уравнение (б), получаем ! ! ~ ( —, + и!*) и е[х = ~ А !и е/х = и,. (в) о о Отсюда следует, что в уравнении (а) первый интеграл можно заменить па значение функции в точке 1, где локализована дельта- функция Дирака. Приняв во внимание граничное условие й = = О, сведем уравнение (а) к виду ! и! =- )(.хи! !/х — [!/и! 1",=о. о Функция !а*, удовлетворяющая уравнению (б), равна ш' — '/о з[п г, Теперь найденное значение со* можно подставить в равенство (г) и получить в результате систему уравнений (одно для точки х -= О, другое для х = 1), откуда можно найти два значения !/ в точках х — 0 и х -- 1. Как и ранее, найденные решения 1 соо 1 ми 1 ' е/! о1п! (е) оказываются точными. Отметим, что равенство (г) можно использовать для вычисления значений функции и в произвольной внутренней точке.

Если в качестве х; выбирается центральная точка рассматриваемой внутренней области, то получим значение функции и при х = 1/2: !!2 и ~ — ) = — — ~ хмп( — — х) !/х— о ! 1 Г ! 1 Х . 1 1 — — [~ х мп [х — — )с[х — (/! гнп — -1- !/ з1п— 2 1 [, 2) 2 ' о 2' и ('/,) = — 1/2 [(соз 1 — 1)/з[п 1) гнп ('/,) — '/, ('/, — э|п ('/,))— -- 1/2 ['/ -[ гни(!/о) — соз('/о)) =- 0,069746964, что совпадает с точным решением 53 11рпблпженна~е ле(поды Глава 1 1.8.

Классификация приближенных методов Заметим, что для методов взвешенных невязок, записанных для случая уравнения Пуассона, можно применить следующую классификацию: !. Исходная формулировка: (11«и — д) ш «(й — — ) (с) д) ти с(à — ) (и — и) — „с(Г. (1.62) деа Ге г1 11. Слабая формулировка: — е(й+ ~ дсис(й = ~ дть'е!Г-:,,- ~ с)тие(Г+ ~ (и — и) с(Г. и и г, г, г, !1.63) 11!. Обратная формулировка: ~ (1'си) и е(й 1 ~ (нийа =.. — ~ дшс(à — ~(двес(Г+ ~ и — е(Г (- и и г, г, г, 1 дп (1.64) г, Эта классификация может быть обобщена и на другие самосопряженные и даже несамосопряженные операторы, что позволяет делать различие между разными приближенными методами. Другое существенное различие между подходами связано с типом базисных функций, используемых для приближенного задания функции и и для описания весовой функции си. Численные методы различаются тем, используются ли одни и те же или разные базисные функции для представления и и ти, Попытка привести рациональную классификацию представлена на рис.

1.16, где можно видеть, что основные инженерные методы разбиваются на следующие группы: 1. Метод конечных разностей. Здесь обычно имеются различные базисные функции для и и си, причем последние берутся в форме дельта-функций Дирака (пример 1.7). Большинство конечно-разностных схем основано на формулировке 1, хотя для некоторых (подобных энергетическим) подходов используется формулировка 11. 2.

Метод конечных элементов. Здесь обычным является использование одних и тех же базисных функций и и си, что приводит к симметричным матрицам. Схемы с конечными элементами основаны на ослабленных формулировках (типа 11), 3. Метод граничных элементов.

Схемы с граничными элементамн обычно основываются на обратной формулировке 1!1, как это показано н примерах 1.17 и 1.!8. Дпя весовой функции ва Рнс. 1.!6. Класснфнкання раалнчных приближенных методов. здесь используется система базисных функций, которые обращают в нуль интегралы по области и сводят тем самым задачу к определению только граничных функций. Эти функции могут быть сингулярными, т. е.

задаваемыми в отдельных точках с помощью дельта-функций Дирака, или регулярными, как это имеет место в тех случаях, которым соответствует решение однородных уравнений. Место других численных подходов, подобных методу моментов, методу Бубнова в исходной формулировке (т.

е, без ослабленных формулировок), методу Трефца (обсуждавшемуся в примере 1.16), легко устанавливается из диаграммы на рис. 1.16. Подобную классификацию можно ввести также и для других методов типа конечно-разностных «энергетнческих» подходов, метода «встречных» конечных элементов, подобных тем, которые используются в задачах конвенции, метода смешанных конечных элементов и т, п.