Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов, страница 5

1.6. точная и аппроксицирусосцие функции, функции невязок (пример 1.8). свой знак в рассматриваемой области, в результате чего возникают довольно большие ошибки. Пример 1.9. Очень интересным применением метода коллокаций к подобластям является случай, когда весовая функция имеет ступенчатый вид (рис. 1.7).

Отметим, что здесь рассматривается элемент, аналогичный конечному элементу с системой функций: рс = Ч (Ч 1) (Г .. (1 Ч) (1+ Ч) срз = слЧ (1+ Ч) (а) Тогда имеем 0 и =- и! 1срс --,'- ссс(рз.—, и;,1(рз, (б) ~ -1 где и,. „ис, и;„— значения функции соответственно в узлах с — 1, 1, с'+ 1. Рассмотрим конечно-разностный аналог для уравнения с)зи!((хз = Ь, (в) Рис.

1.7. Коллокации с подобластями в виде конечио-разностных илн конечно-элементных сеток, Лрибвиженные методы 29 Т,вава ? 4 — (и;, — 2и;+ и;„) = Ь!. (г) н соответственно ) ( —., — Ь) аде(х = О (д) (ж) Ьв! 2 2 = — (и, д — 2ид, и!ы] (3) (!!дш ьвав)'(„)=(из!' или 4 — [и!, — 2ид , 'ив,д) — Ьд =- О. (и) Таблица ?.б — 0,020231 — 0,004869 +0,008089 0,018443 0 035500 0,050!54 0,061386 0,068181 0,069522 0,06439! 0,051771 0 030647 0,01864! О, 036097 0,051194 0,062?82 0,069746 0,071018 0,065585 0,052502 0,030901 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 +О О! 7627 -!0,022727 +О 022372 +О 01 5546 +0,001232 — 0,021 587 который имеет вид (см.

пример 1.7) Рассмотрим сначала соотношение для метода взвешенных невязок и потребуем выполнения этого равенства в области — 144 ~ х ( 1,'4. Интегрируя по частям, получим !?! 4,'4 )! ( —, — ) 4(х — -- — ~ Ьди Дд -'" Ф ив ! „,. (е) — 4/4 — 1?4 Поскольку ш является ступенчатой функцией, в левой части останется только одно слагаемое Если Ь вЂ” постоянная величина, то для узла ! получаем следующее соотношение: Отметим, что это соотношение в точности совпадает с полученным в примере 1.7, но здесь оно было найдено с использованием описывающего граничные условия оператора и интегрирования по подобласти.

С помощью этого же примера легко показать возможности метода коллокаций, который широко применяется при формулировании метода граничных элементов, как это будет видно из последующего изложения. Пример 1.10. Уравнение (1.16) удобно использовать для демонстрации широких возможностей подходов с использованием взвешенных невязок, таких, как метод моментов, метод Бубнова (см. разд. 1.5), а также уже обсуждавшийся выше метод коллокаций. Метод моментов состоит в том, что записываются моменты от функции ошибок аналогично тому, как это делается в теории вероятностей.

Например, для одномерных задач в качестве весовых функций для функции невязок Й используется система 1 х ха ха (а) ш = йд'1+ рах+ йаха+ .... (б) Проиллюстрируем этот случай на примере уже рассмотренного ранее уравнен ! —,, +и+х = О. (в) В качестве приближенного решения возьмем функцию и == а!до! + авера + ... = а,х (1 — х) + аах'(1 — х) + .... (г) Функция невязок при удержании лишь двух первых членов имеет вид Я =х+( — 2+х — х')а,+(2 — бх+ха — хо)аа. (д) Эта функция должна быть ортогональна как вр, = 1, так и 4!! = х, т. е.

можно записать следующие два условия для функции 14: ! ! ) )д' 14(х = О, ) )д' хе(х = О. (е) о о Выполнив интегрирование, получим систему двух уравнений Решая эту систему, найдем а, = 122/649, а, = 110/649, и аппроксимирующая функция принимает вид )( 9+ 649 )' 122 110 Глава 1 зо Приближенные л!етоды ,08 ,ОБ ,05 что дает функцию невязок )т = 2'(и) — ЬФО, (1.25) которая, согласно методу Бубнова, должна быть ортогональна аппроксимирующим функциям О,ов 008 0.08 (1.27) 0.02 0,02 с однородными граничными условиями в качестве аппроксимирующей функции, удовлетворяющей этим граничным условиям, можно взять и=~;а„рю (1.25) а=! о,о! 0,0! 0.0! -0,0 О 0,2 00 О,Б 0,8 1,0 Рис.

1.8. Результаты расчетов по методу моментов. Функция невязок равна 122 3 т 11О )т' = х+( — 2 Гх — ха) — —, (2 — бх-';ха — хз) —. 649 649 Полученные результаты иллюстрируются табл. 1.5 и рис. 1.8. 1.5. Метод Бубнова ') Метод Бубнова является частным случаем метода взвешенных невязок, где в качестве весовых функций берется та же самая система аппроксимирующих или пробных функций. Для заданной системы в области 1в Ы (и,) == Ь (1.24) ') В оригинале — метод Галеркина. В связи сатин см. предисловие редактора перевода.

— Прил, ред. Здесь (1.28) Отметим, что здесь, как и ранее, ат и а, являются не узловыми значениями функции и, а обобщенными неизвестными коэффициентами. В соответствии с методом взвешенных невязок имеем ! ~ Ягнг(х = О, в (б) = 5рр + евра+ ()арв+" В случае линейного оператора 2' условие (1.27) приводит к системе линейных алгебраических уравнений, решив которую, можно найти коэффициенты Р!. Поскольку одни н те же функции используются для представления и и пт, а коэффициенты ()! являются произвольными, то можно представить функцию гр как вариацию функции и: и! = би = батгр! + бавгрв + баагрв + .„, (1.29) где ба, = р!. Эти вариации можно рассматривать как виртуальные (возможные) величины, подобные возможным перемещениям или скоростям. То, что одни и те же функции используются в качестве как весовых, так и аппроксимирующих функций, является очень важным свойством с точки зрения инженерной практики, поскольку во многих случаях это порождает симметричную форму коэффициентов.

Большинство вариантов метода конечных элементов основаны на процедуре типа метода Бубнова. Пример 1.11. Вновь вернемся к уже рассматривавшемуся уравнению и попробуем решить его методом Бубнова. При этом можно взять уже использовавшиеся аппроксимирующие функции и =. ат!р! + а,гр, = а,х (1 — х) + аахв (1 — х).

(а) Глава 1 32 11раблатееноые .аеа!одь! 33 0,08 О,О1 (в) 0,00 0,00 о,оь, 000 0,0 о,ог о,о! 3/20 137106 аз 1/20 ) (д) 0.0 -оо 7! 7 и == х(1 — х) ~ — + — х) ~ 369 41 (ж) л,ь и,!а 0,018853 0,036249 0,05!!62 0,062569 О, 069444 0,070764 0,065504 0,052639 0,03!146 0,01864! 0,036097 0,051194 0,062782 0,069746 0,071018 0,065582 0,052502 0,030901 — 0,026945 — 0,01 1989 +0,000485 -+0,009452 +0,0!3888 +0,0!2769 +0,005070 — 0,010233 — 0,034165 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 2 Н ребаан К. и ар. откуда получаем следующие два уравнения: 1 1 ~ тттрт!(х .=- О, ~ )т!рте(х = О.

о о Здесь функция Я совпадает с использованной в примере 1.10, что дает 1 ) (х + ( — 2 1- х — хз) ат + (2 — бх + х' — х') аа) х (1 — х) т(х = О, о 1 ~ (х-,'- ( — 2 -'- х — х ) ат + (2 — бх + х' — х ) аз) хо(1 — х) !(х = О. 5 (г) Выполняя интегрирование, получаем Отметим, что в этом уравнении матрица симметрична, поскольку в качестве весовой и аппроксимирующей функций взята одна и та же функция. Из уравнения (д) для коэффициентов ее имеем еет — — - 717369, из = 7/41.

(е) Таким образом, приближенное решение равно и хорошо соответствует точному решению (см. табл. !.6 и рис. 1.9), Таблица 1.б О 02 0,4 0,0 0,0 1,0 Рне. 1.9. Результаты расчетов по методу Бубнова. 1.6. Ослабленные формулировки Во всех рассмотренных в предыдущем разделе примерах аппроксимирующие функции точно удовлетворяли граничным условиям задачи. Взвешенные невязки можно также использовать и для аппроксимации граничных условий, которые, таким образом, удовлетворяются лишь приближенно н, что еще более существенно, соответствуют ослабленным требованиям.

Вновь рассмотрим уравнение второго порядка, использовавшееся ранее в некоторых примерах: баи .У(и) -Ь= — „, -'и х=О; 0<х <1. (1.30) Применение метода взвешенных невязок для решения уравнения (1.30), т. е. условия ! 1(~ — '.' ! !! ,'.) 10--0, (1.31) ', сИ~ 33 Приблиягеииьи методы Глава ! 34 накладывает различные требования непрерывности функций и их производных для и и а1. Для того чтобы установить эти условия непрерывности, необходимо ввести классификацию степени непрерывности функции. Предположим, что функция 1 разрывна в отдельных точках, но конечна в области определения (см. рис.