Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов, страница 7

Пример 1.13. Рассмотрим случай балки, лежащей на упругом основании (рис. 1.14), поперечное смещение которой описывается уравнением сна Е1 —, ! Яе=!д где и — поперечное перемещение, Е1 — жесткость балки при изгибе, й — коэффициент упругости основания, б — приложен- (~Н!? Рис. 1.!4. Балка, лежащая на упругом основании. ное к балке поперечное давление; при этом о = о (х), а жесткость балки Е! предполагается постоянной по ее длине. В соответствии с методом взвешенных невязок можно записать ) (Е! —,"„+ йи — б) оных = О. (б) о Интегрируя это равенство по частям, получим ! ~ (Е1 —,, — „„-,'- Йисв-- Ъ)е(х -,'-~ Е! — „и!~ = О. (в) о Вновь интегрируя по частям, найдем ~(Е! ~,, ~, +Аш — Ьщ)е(х+ ~ — 41п! — М х ~ = О, (г) о где (1 = — — ЕИаиЯха и М = Е/ с)виЯхв.

Отметим, что полученное соотношение является отправным для конечно-элементных аналогов уравнений балок. Интегрируя еще один раз, найдем К вЂ” Е1 — й,,'- Аиоо - Ы) Дх ~- о + ~ — фв — М вЂ” +ОЕ! — в~ = О, (д) ~ (Е!и —,, -( Апов (лв) е!х —- о — ~1коо' !г- М вЂ” — ОЕ1 —, '- иЕ1 —,и! = О. (е) йо д'в, двж за=! Ы длв дхз ) Отметим, что интегрированием по частям можно снизить порядок функций, необходимых для представления и, но при этом требуется повышать порядок аналогичных функций для ю, Концевые или граничные условия для балки можно классифицировать следующим образом: естественные условия для М и !1, существенные условия для и и О.

(ж) Пример 1.!4. Рассмотрим балку, показанную на рис. !.15. Разрешающее уравнение (а) ,м. (и) Е1 е(аиЯха .= О, где и — поперечное перемещение, Е1 — жесткость балки при изгибе. Граничными условиями для балки, изображенной на рис. 1.15, будут и = с(и/Их = О при х = О, ) существенные и=О прп х -- 1 ) условия, М вЂ”. ЕИопЯха --- М, ( естественные !З =. — ЕИ'те!Нхп -- О при х =- 21 1 условия. (б) и ! Рпс.

1.15, Балка, нагрр,кеннан па свободном коппс нагиба~оно и моментом сил, где 0 = е(и1пх — угол наклона касательной к средней линии балки. Четвертое и последнее интегрирование дает Приблиа<енные методы 43 Глава 1 42 Теперь можно найти значения угла поворота, изгибающего мо- мента М и поперечной силы Я при х = 2 (з) р4ожно видеть, что найденные значения М и Я существенно отличаются от значения приложенного изгибающего момента М н равного нулю значения поперечной силы Д =- О). Однако угол наклона касательной к средней линии не столь уж сильно отличается от точного значения (г) (и) Эти результаты теперь можно улучшить„взяв второе приближе- ние для функции и в виде и = а( <р(+аг <рг, 2 (2) (2) (к) и"' = а~"(р( =- а("х'(х -- !). (д) где <р, — -- х' (х — !), <рг = хв (х — !). (л) Это выражение можно подставить в равенство (г), что дает Е! )' — „, (а( )<р( (- аг(')<рг) —, ((1) )<р) + !)2 )<рг) <(х = о (и) гс Е! ) а(п'(бх — 2!)'((х = 8!2М.

о 5б Ера(("!' = 8!2М откуда откуда имеем сс(с ' =- 0,30315 —, !аг(~) = — 0,05905 †. (о) ЕСС ' <)) ! М а( 7 ЕУС <ж) Начнем со следующей формы реализации метода взвешенных невязок (см. пример 1.13) 2( ((ссв / ( длв Р ~) ( (Слз ) о (в) В принципе функции и должны быть интегрируемыми с квадратом их четвертых производных. Интегрируя равенство (в) дважды по частям, можно понизить порядок используемых для представления и функций, если взять ) Е! — „", —, <1х = ~(',)ш+ М вЂ” ~ о Это выражение позволяет приближенно удовлетворять естественным граничным условиям и использовать для этих приближенных представлений функции, интегрируемые с квадратом вторых производных.

Рассмотрим простейшее представление для функции и: Отметим, что это выражение тождественно удовлетворяет лишь существенным граничным условиям задачи, а не естественным. Подставляя выражение (д) в равенство (г) и полагая Я =- О, получим 2( Е! ) —, (а',"<р() —., (р() "<р()((х -= ( М вЂ” (р(("<р()~, (е) о Выполнив интегрирование, имеем где (1((~) и рг(~) — произвольные циенты при этих величинах, два не связанных уравнения 5ба((') + 152!аг"' =— величины. Приравняв коэффиполучаем после интегрирования 152сс,' )+ 441,Яа(г ) = ., (н) Г!рибвиженнеее меенады Глава 1 44 (1.53) Интегрируя по частям, найдем ~(-~ - д -~ (ейв)Е(а —.

~~ Д' (1.52) Далее можно определить значения угла наклона касательной к средней линии, изгибающий момент и поперечную силу при х =-21: М (,,=-м = 0,9055М, Я!в.=м = — 0,6614 —. (п) Отметим, что второе приближение для искомого решения даст прекрасный результат для угла наклона касательной к средней линии; что же касается естественных (силовых) граничных условий, то для них сходимость к точному решению не столь быстрая. 1.7. Обратная задача и решение граничных задач До сих нор рассматривались функнни, которые точно удовлетворяли только условиям на границе (или на части их) и лишь приближенно -- внутри области, т.

е, разрешающие уравнения удовлетворялись не точно. В противоположность сказанному можно использовать функции, которые будут точно удовлетворять разрешающим уравнениям и приближенно — граничным условиям. Это будет служить начальным этапом формулировки граничных методов, и в частности метода сингулярных граничных интегралов. Здесь можно выделить два случая; 1.

Аппроксимирующие функции и выбираются так, чтобы они тождественно удовлетворяли разрешающему уравнению, т. е. выполнялось условие Ю(и) гй О. Отметим, что если одни и те же функции используются для представления как и, так и ей, то это означает, что весовая функция удовлетворяет разрешающему уравнению, т. е.

Йа(ю) ==. О. 2. Весовая функция удовлетворяет либо разрешающему уравнению Ы(ей) = 0 (самосопряженная задача), либо его сопряженному аналогу Ы* (ю) =- 0 (несамосопряженная задача). Для того чтобы пояснить различие между этими случаями, рассмотрим самосопряженный оператор ре и оператор д ( )/дй, описывающий граничные условия на участках Г, и Г, границы, Прежде всего напишем следующее равенство, соответствующее методу взвешенных невязок: ~ (7 и - - ") ей е(!е '= О. (1.51) где 4 -= ди1дй. Интегрируя еще раз, получаем ~ (~аш) и е(а =- ) и — е(г — ) «(ей дГ + ) бей Ю.

й г г й Если теперь задать граничные условия и = й на участке Г, границы, д -- д на участке Ге границы, то равенство (1.53) нриобретаег вид ~ (ч'ш) ййа =- ~ й — „йГ )- ~ и —, е(Г— й г, г, - ~ е1ейе(г ) дейдГ Р ~ дйве(а. (1.54) г, г. й Задавая таким способом граничные условия, мы вводим некую аппроксимацию, что можно показать, проинтегрировав дважды по частям равенство (1.54) для того, чтобы привести де' и к функ- ции и, в результате чего получаем ~ (у'и - д)ше(а =- ) (4 — е))йедг — ) (и — й) — е(г.

(1,55) й г, г, Как видно из уравнения (!.55), теперь имеем три функции невязок. Уравнение (!.55) можно представить в виде ~ я да = ~ к, дг — ~ я, фдг. (1.56) й г, г, Полученное выражение является обобщением интегрального выражения (1.42), используемого в методе конечных элементов и иных методах. В уравнении (1.42) приближенно удовлетворяются как разрешающее уравнение, так и граничные условия задачи. В уравнении (1.56) существенные граничные условия удовлетво- ряются с достаточно хорошим приближением, поэтому уравнение (1.56) можно рассматривать как обобщение ранее введенных соотношений. В статических задачах теории упругости уравне- ния, аналогичные (1.42), можно рассматривать как приложения принципа возможных перемещений к нахождению приближенного решения (виртуальные перемещения являются такими, что они удовлетворяют однородным существенным или кинематическим граничным условиям и не удовлетворяют естественным или си- ловым условиям).

Уравнение (1.56) можно рассматривать как приложение принципа возможных работ, согласно которому виртуальные перемещения рассматриваются как обобщенные, когда от них не требуется удовлетворять какому-либо граничному условию. Разумеется, при таких определениях многое еще остается Глава 7 47 Приближенные методы (б) 16 д" йГ= 1 д бое[Г. (д) ) (в — — — бо) йд — О.

о (е) — бие(Г .= [ и — е(Г. ди е дби дн .[ дн (!.60) г, г, (з) (и) или (к) а — (7!144) Ь. неясным, но они являются основополагающе важнымн не только для понимания метода граничных элементов, но также для пони- мания гибридных равновесных или смешанных конечно-элемент- ных моделей и возможностей применения различных вариацнон- ных подходов в инженерных задачах. Рассмотрим теперь несколько примеров, для того чтобы пока- зать, как можно граничным методом получить решение с помощью аппроксимирующих или весовых функций, удовлетворяющих разрешающим уравнениям.

Сначала обратимся к случаю, когда каждая из функций, вхо- дящая в и, удовлетворяет разрешающему уравнению, т. е. в дан- ном случае 47ои = О. Задача, таким образом, сводится к инте- гральному уравнению (1.55) с неоднородностью Ь =- О, а именно: ) (Ри) ше(Р =- ~(д — д) ше(à — ~ (и — й) — „е(Г. 11.57) и г, г, Поскольку Кои = О, требуется удовлетворить равенству 1(д-Ф)шйг=- 1(и — й) д„йГ. (1.58) г, г, Если для представления и и ю выбраны одни и те же функции, то приходим к методу Трефца [25). Отметим, что в соответствии с теоремой Грина ) (и11 ш — ш17 и)е[ов = ) ( д ш иф) йг. (1.59) и г Когда для представления и и ш выбирают одни и те же функции, имеем тГи = уош: — 0 и в этом случае можно положить ш -= би.

Тогда равенство (1.59) сводится к виду С учетом граничных условий из этого выражения следует равен- ство ~дбийГ-+ ~ дбийГ = ~ й — йГ+ ~ и — „йГ. (1.61) Применение полученного интегрального соотношения будет продемонстрировано в примерах 1.!5 и 1.16, а случай, когда функции и (но не и) удовлетворяют уравнению Лапласа, — в примерах 1.17 и 1.18. Важно отметить, что в методе Трефца для получения решений граничных задач не обязательно использовать обратное соотношение, а из интегрального соотношения (1.55) следует красивый путь перехода к методу граничных элементов. Пример 1.15 (метод Трефца).

Рассмотрим уравнение Пуассона т'ои — Ь = 0 (а) с однородными граничными условиями и = 0 при х = ~! и д == ~1. Сначала приведем уравнение (а) к виду уравнения Лапласа, воспользовавшись новой функцией ш и =- Ч~Ь (х' + д') + о. Подставляя выражение (б) в уравнение (а), получим 7'и — Ь == 17'у = О, (в) где и =- --'(,Ь (х' + до) на границе х = ~! и д =- ~1. Теперь функцию и можно приближенно описать с помощью некоторой пробной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа, на- пример и — — (х' — бх'д' + д') а. (г) В силу симметрии задачи требуется рассмотреть лишь часть границы, скажем х = 1, 0 ( д < 1.