Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов, страница 6

1.10), т. е, ее норма удовлетворяет следующему условию: ~ 12 йх ( оо. (1.32) Такие функции Г будем называть интегрируемыми с квадратом. Если ввести аналогичное условие для первой производной функции (рис. 1.11), то функция будет называться интегрируемой с квадратом первой производнаи и ее норма будет ограничена неравенством Рнс.

1.1О. Функция, инте- ~1 ',", ( — "' )') йх ~ оо. (1.33) грнруемая с квадратом. Подобные требования можно накладывать и с использованием производных более высокого порядка. Например, для нормы функций, интегрируемых с квадратом второй производной (рис. 1.12), имеем ~ ~)я+( ~ ) -т-( — „„, ) )йх(оо. (1,34) Приведенные выше определения можно распространить на двухи трехмерные задачи путем замены скалярных величин на векторные. Из сказанного становится очевидным, что аппроксимирующая функция и в соотношении (1.31) должна быть интегрируемой с квадратом второй производной (рис.

1.12), а для весовой функции ги достаточно быть лишь интегрируемой с квадратом. Это было показано выше на ряде примеров, в том числе в примере 1.9, где функция и была представлена полиномом второго порядка, а функция ьу — постоянной. Во многих случаях предпочтительней снизить степень непрерывности функции и, что можно сделать путем интегрирования по частям.

Интегрируя первое слагаемое левой части равенства (1.31) по частявл, получим 1 ! ~ ( — „, + и + х) гв йх = — ~ — — „йх + о о 1 + ~ (и + х) ш йх + [дти)в' = О, о Рнс. 1 11. Функцая, интегрируемая с квадратом первой производной. где д =- йи!йх. Отметим, что теперь обе функции и и иг должны быть непрерывными (или кусочно-непрерывными) вместе с их первыми производными, т, е. в качестве системы базисных функций и и и1, интегрируемых с первой производной, можно взять функции и1Ч11 + и2Ч12 + и!= би =ба,1р, +би,гр,+ .. (1.35) (Если граничные условия для функции и неоднородные, то для удовлетворения этих условий обычно в функцию и вводят дополнительные слагаемые,) Слагаемое с функцией а в соотношении (1.35) связано с граничными условиями вида существенные: и = й, естественные: д = д, (1.

37) где черточками обозначены заданные значения и и д, Если используются существенные граничные условия и аппроксимирующие функции им удовлетворяют, то функция ы! также будет тождественно удовлетворять их однородному варианту. Для того чтобы показать это, предположим, что граничные условия (1.35) имеют вид и = 0 при х =- 0 (существенные условия), (1.33) а =-- д при х = 1 (естественные условия). 411 421 Р!к. 1.12.

Функция, интегрируемая с квадратом второй производной, 2' Прабли кованые ае~позл зт 36 Глава / Представляется естественным подставить в равенство (1.35) вместо д значение д, что дает 1 1 — — е/х '. ~ (и; х)ше/х ', ,(е/пв)„=1 -=- О. (1.39) о о Здесь, однако, имеется тонкое обстоятельство, связанное с тем, какая именно делается аппроксимация, когда вместо е/ подставляется д. Сказанное лучше объяснить, попытавшись получить равенство (1.31) из соотношения (1.39). Если проинтегрировать по частям первое слагаемое в левой части соотношения (1.39), получим ~ ( — „,, + и —,' х) еп е/х —,-'- Я - е/) оп),=, == О. ~ (!/ои) ш е/П = ~ (д — е/) пв аГ. й г, (Существенные граничные условия удовлетворяются тождест- венно.) Интегрируя по частям оператор Лапласа, найдем 1 ( — „— ) е(и =- 1 4?пв е/Г.

(1.43) й и, Здесь используются индексные обозначения и правнло суммиро- вания по повторяющимся индексам. Равенство (1.43) является отправным выражением для конечно-элементного аналога урав- нения Лапласа, (!.42) о Отметим, что пропорциональное д — д слагаемое, связанное с граничными условиями, не должно обязательно обращаться в нуль, поскольку точно удовлетворяются лишь существенные граничные условия, а естественные условия выполняются приближенно. Поэтому равенство (1 40) является корректным исходным соотношением для случая, когда приближенно удовлетворяются как разрешающее уравнение, так и естественное граничное условие, Для того чтобы еще лучше проиллюстрировать сказанное, рассмотрим уравнение Лапласа в области Й )/по=О (1.41) с граничными условиями существенные; и, = — й на участке Г, границы Г, естественные: 4о = д на Участке Г, гРаницы Г.

Здесь Г = Г, + Г, — граница области й. Если аппроксимировать функции ио и до с помощью функций и и д (е/ = ди/дп), то для корректности следует начать с записи равенства (1.44) взять по частям с учетом соотношения (1.49) и г и заменить производную ди/дп на е/ участке Г, границы (на участке Г, имеем ш: — 0) й г.

При использовании этого равенства также следует иметь в виду, что прн его получении использовалась определенная аппроксимация, обусловленная заменой е/ = ди/дп на д участке Г, границы области. Пример 1.!2. Снова рассмотрим уравнение второго порядка (а) (1.50) и граничное условие и, = 0 при х = 0; при х == 1 введем условие Ч =- ейло/е(х =- Ч (б) где д — заданная функция. Обобщая изложенное выше, введем две функции невязок: И, = У (и) — Ь в области й, /го = 6 (и) — й на участке Г, границы Г. Для обеих функций невязок и весовой функции пвможно записать ~(Я(и) — Ь)шеИ = ~(6(и) — д)оппГ.

(1.45) й г, Теперь можно выполнить интегрирование по частям в левой части этого равенства, Если оператор,У самосопряженный, то в результате получим два одинаковых оператора меньшего по- рядка, которые обозначим через Я: ~ Я(и)Я(пв)е(Пл+ ~ Ьше(Р. = ~двдГ. (1.46) й й г, В случае двумерного уравнения Лапласа имеем Я( )= ! —, — ~!, д=д. (147) г д( ) д( ) дке ' дкв Отметим, что равенство (1.43) можно получить, если интеграл в правой части уравнения ) (Tи) шо(П = 0 (1.48) Прссблссхсеннесе метода 39 38 Глава ! Приближенное решение и уравнения (а) будем искать в виде и =- а, + аех + аохе (в) и попытаемся удовлетворить обоим граничным условиям а= — -а,=-О, х=-0; с) = с(и/с/х = 2ао + аи =- с/, х = 1.

(г) В результате находим (д) а, =- с/ — 2ао. Обозначая а, = а, выражение (в) можно написать в виде и =- ах' + (с/ — 2х) х == с/х — 2ах + ах'. (е) Функция невязок в этом случае равна деа /с = — „, -1- и )- х =- 2а-р с/х -2ах+ах' 5-х. (ж) При составлении уравнения невязок можно использовать условие ортогональности /с лишь с полиномом х' — 2х, т.

е. положить ис =- би = ба (х' — 2х). (Пропорциональное с/ слагаемое в выражении (е) необходимо для удовлетворения неоднородных граничных условий и поэтому оно не должно присутствовать в выражении для ш.) В результате метод взвешенных невязок дает с (2а Ч с/х -- 2ах --, 'ах'-с- х) (хи — 2х) с(х = О, о 'с/,я + о/е(7 Р 5/2 =- 0 и я = — 0,5208 (с) + 1). (и) Функция и при этом принимает вид и, =- с/х — 0,5208 (с) + 1) (х' — 2х).

(к) Этот результат получен при удовлетворении обоих граничных условий. Рассмотрим теперь случай, когда одно граничное условие (и =- 0) удовлетворяется точно, а второе (с/ =- с/) — приближенно, и можно написать с ) ( —, + и+ х) бис(х = ~( — „„— (7~ ° (л) о Интегрируя первое слагаемое в правой части по частям, получим ! ~ — — — (сс 1-х)би с/х = (с/би)„=с. Г да дба ! дх дх (м) о Здесь можно воспользоваться следующей аппроксимацией: сс, = а,х' + а,х, (н) что дает возможность тождественно удовлетворить условию и = 0 при х == О, но не позволяет выполнить условие с/ = с/ при х = 1. Тогда равенство (м) принимает вид с ~ 1(2асл с- а,)(2бя,х+ ба,) — (а,х' + а,х '; х) (ба,х' —, балх)) с(х = о = с/(бас -, 'ба,).

(о) Проинтегрировав, придем к следующей системе уравнений: 1?/5 3/4 1 (а, ) 3/4 2/3 ) (ас ) (с/ , '1/4( 10 - 1/3!' 0,6 0,5 ( п) и, 1 х 0,094271 (' 0,6 0,179904 с 0,7 0,256899 1 0,8 0,325256 ~ 0.9 0,384975 / 1,0 0,436056 0,478499 0,512304 0,537471 0,554000 0,437500 0,473958 0,5()0000 0,515625 0,520833 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,098958 0,187500 0,265625 0,333333 0,390625 решая которую, получим 0,5 ас = — 0,4319 — 0,4322(/, сс, == 0,9859 + 1,9864(7. (р) 02 Найдем теперь значение с/ при х=1: с) = с)и/с(х ~ =с = 2а, '- а, = 0 02 ол 0,0 0,0 ,0 =-0,1221 + 1,122().

(с) х Отсюда следует, что при х= 1 Рис.!.13. Аиироксиссссруюисисфуикиии и, ВЕЛ На Ч разиадНЕТО О, иа-(ири ер112) а лишь приближенно. В середине области (х =- 1/2) имеем и,и = с/ва, + '/,а, = 0,3850 + 0,8852(7. Отметим, что первое решение (к) при х = 1,'2 равно иси --- 0,3906 1- 0,8906(). Значения функций и, и и, приведены в табл. 1.7 и показаны на рис. 1.13 для случая с/ = — О. Читателю предоставляется возмож- Тссблаца 7.7 Прпблпженнме амтодм 4! 40 Глава ! ность подсчитать значения невязок, с тем чтобы увидеть, как из пх распределение влияет наложение естественных граничных условий.