Лепендин Л.Ф. - Акустика, страница 12

П.3.2, б); б) соединение элементов, в котором скорость системы равна сумме скоростей отдельных элементов, а сила, приложенная ко всей системе, равна силе, приложенной к каждому из них, †соединен в иеаочку (рис. П.3.2, а); Рис. 1!.3.2 в) смешанное соединение элементов имеет такая механическая система, в которой встречаются как соединение в цепочку, так и соеди- нения в узел (рис. П.3.2, в). Примером устройства, где механические элементы соединены в узел, является простая колебательная система, состоящая из массы и пру- жины (рис.

П.3.3, а). Она может быть условно изображена в виде механической цепи, представленной на рис. П.3,3, б, где е механические элементы соединены в узел. Уравнение этой с С системы (!.4.1) запишем в виде Г Г г т „—" + го + — ~ ид! = г" (!), (П.3.7) а) где и = с($/с(! — скорость; ~ ос(! = $ — смещение. Сходное интегрально-дифференциальное уравнение получается для электрической цепи с последовательным соединением электрических элементов: б) б) Рис.

11.3.3 ). и. + КТ+ С /с((=В(!) (П.3.8) Сравнение этих уравнений приводит к заключению, что если придерживаться аналогии сила — электрическое напряжение, то соедн- 59 нению механических элементов в узел соответствует последовательное соединение элементов электрической цепи (рис. 11.3.3, в). Для выяснения вопроса, какой электрической схеме можно сопоставить механическую систему, элементы которой соединены в цепочку, выведем уравнение для простой колебательной системы, схематично изображенной на рис. 11.3.4, б, Эта механическая система состоит из пружины с, сосуда Б, наполненного вязкой жидкостью, и устройства, состоящего из штока В, проходящего через горловину сосуда, и перфорированного поршня Г. Гибкость с пружины, механическое сопротивление г вязкой жидкости и масса и сосуда являются механическими элементами данной колебательной системы, соединенными а) Рис.

11.3Л в цепочку (рис. 11.3.4, в). Трением сосуда о поверхность подставки пренебрегаем. Допустим, что под действием силы Г система совершает вынужденные колебания. Вследствие того, что элементы соединены в цепочку, внешняя сила в каждый момент времени равна силам, возникающим на каждом из перечисленных элементов, а скорость о равна сумме скоростей движения соответствующих элементов: (11.3.9) па+ сг+ оа где о„ о„, с — скорости элементов упругости (с), массы (ш).

1!а основании зависимостей (П.3.5), (11.3.б) скорости с„с, и с„как функции силы Г и в (11.3.9) получим интегрально-дифференциальное тельно этой силы: сопротивления (г), и (!1.3.2) найдем после подстановки уравнение относи- с —,+ — Г+ 1-1 га!'= (1). о (11.3.10) Аналогичное уравнение получается для напряжения Еl, приложенного к схеме с параллельным соединением электрических элементов: (11.3.1!) Сравнение (!1.3,10) и (!1.3.11) показывает, что при сохранении прямых аналогий между напряжением и силой соединению механи- Т а б л и ц а Н.3.1. Система обратных аналогий прямых аналогия елентричесная Скорость о Сила р Гибкг сть с Величина, обратная коэф- фициенту сопротивления Масса гн Сила г" Скорость о Масса гн Сопротивление г Напряжение гг' Сила сока ! Индуктивность !.

Активное сопротивление т! Гибкость с Емкость С Наряду с системой электромеханнческих аналогий широкое применение нашла система электроакустических аналогий, где в прямое соответствие электрическому напряжению на участке электрической цепи ставится разность давлений на участке механического устройства, содержащего элементы вязкого трения, инерции и объемной упругости. Указанная система аналогий может быть названа системой электрическое напряжение в акустическое давление. Для построения ее найдем акустические уравнения для механических систем, аналогичные уравнениям для простых электрических 61 ческих элементов в цепочку соответствует параллельное соединение электрических элементов (рис. ! 1.3.4,а).

Прямая система электромеханических аналогий не является единственно возможной. Можно составить и другие системы аналогий, основанные на сходстве дифференциальных уравнений. Среди них в электроакустике используют обратную (инверсную) систему аналогий. Она основана на сходстве уравнений (П.3.10) для простой механической системы с соединением механических элементов в цепочку с (П.3.8) для электрической цепи с последовательным соединением электрических элементов. Эти уравнения подобны, и можно построить систему аналогий, в которой механическим аналогом иидуктивности является гибкость, аналогом сопротивления потерь — величина, обратная механическому сопротивлению, аналогом напряжения — скорость. Такую систему называют инверсной. При этом параллельному соединению электрических элементов соответствует в механических системах соединение в узел, последовательному — в цепочку. Срав нивая элекромеханические схемы одного и того же механического устройства, составленные по прямой и инверсной системам аналогий, видно, что они дуальны: одна из них импедансная, а другая представляет собой схему обратных сопротивлений.

Пользуясь правилом перехода от одной дуальной цепи к другой, легко перейти от схемы, составленной согласно прямой системе электромеханических аналогий, к соответвующей инверсной схеме. В табл. П.З.! дана сводка основных величин-аналогов. двухполюсников. (П.3.12а) (П.3.12б) (П.3.12в) Рассмотрим поток жидкости через короткую трубку с узким каналом, для которой выполняется закон Пуазейля Лр= — „. Х, Зз11к (11.3.!3) или 1 йРО (П.3.! 4) где и,= — — ( — ) — коэффициент адиабатической сжимаемости. 1 РдУ1 рэ (дп)~ Сравнивая (П.З.!2б) с (П.3.14), находим, что акустическим аналогом электрической емкости должна быть величина с,= рзГ„, называемая акустической податливостью объема. Наконец, акустическим аналогом производной тока по времени в этой системе аналогий должно быть полное объемное ускорение потока жидкости или газа йХ/с(й В соответствии с этим простейшим акустическим устройством, в котором можно выделить это ускорение, является небольшой отрезок трубки, в которой под действием звукового давления образуется ускоренный поток жидкости.

Согласно второму закону Ньютона, обьемное ускорение этого потока определяется формулой, вполне сходной с формулой, выражающей закон где и — вязкость жидкости; 1 — длина трубки; 5 — площадь поперечного сечения; Х вЂ” объемная скорость жидкости. Очевидно, формула (1!.3.13) подобна формуле ЬУ = И, выражающей закон Ома для участка электрической цепи. Поэтому электрическим аналогом объемной скорости Х является ток 1 на участке цепи, а электрическим аналогом 8т1Ыу5' =- г, — сопротивление И участка цепи.

Величина г„может быть названа акустическим сокро. тивлекием трубки. Таким образом, данной акустической системе соответствует одно- элементный электрический двухполюсник с сопротивлением Я. В качестве примера акустического устройства, аналогичного электрическому двухполюснику, содержащему только одну емкость, исследуем замкнутый объем газа или жидкости. При изменении внешнего давления в интервале р, р+Лр объем газа изменится от г' до 1' — ЛР. Если сжатие без теплообмена (адиабатическое), то в линейном приближении можно записать Фарадея !см. (11.3.!2в)1, р!З ЛХ Ар= сг г(г (1! .3.! 5) В связи с этим величина р!о!ог =- гп, является акустическим аналогом индуктивности и называется акустической массой. Таким образом, система электроакустических аналогий содержит следующие соответствия: давление — электрическое напряжение; объемная скорость в электрический ток; электрическое сопротивление в акустическое сопротивление; электрическая емкость в полная акустическая сжимаемость объема; индуктивность — акустическая масса.

Многие задачи расчета низкочастотных акустических устройств успешно могут быть решены с помощью электроакустических аналогий. $ П.4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА НЕКОТОРЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Звуковой гриб представляет собой устройство для создания звукового поля звуковых и инфразвуковых частот в жидкости. Он состоит из магнитострикционного стержня, на концах которого прикреплены тг и тг.

Одна из масс (например, т!) колеблется в воздухе, а другая (тг) действует на диафрагму находящуюся в П) г воде. Механическая модель этого устройства представлена на рис. П.4.1, а. В обмотку магнитостриктора подают ток Ш! подмагничивания и переменный ток, воз. буждающий работу магнитострикциоиного стержия. Масса лгг испытывает небольшое сопротивление излучения, которым г можно пренебречь, а масса т, — волно. шг вое сопротивление воды. с Зададим следующие конструктивные данные: длина стержня 1=0,2м; его ! поперечное сечение 5 = 10 смг= 10 г мг; добротность устройства (1= 500; частота ! ! излучателя ! = 30 Гц. Определим отноше- ! г! ! ! ние тйщг и значения масс.