Лепендин Л.Ф. - Акустика, страница 11

Числа ы„о„..., ы.,„го являются корнями уравнения 2=0. При совпадении частоты с одним из них наступает резонанс напряжений, Числа ы„гам ..., ыэ„— корни уравнения для комплексной проводи! мости — = О. При совпадении частоты с одним из этих чисел в системе г наблюдается резонанс токов. Формула (11.2.30) показывает, что у двухполюсника с внешними нулямн число резонансов на единицу больше числа антирезонансов.

На рис. П.2,13 приведены графики частотных характеристик четырех типов двухполюсников, На этих графиках видно, что нули и полюса чередуются и что производная д7/ды)0, т. е. положительна. При каждом переходе через нуль в каком-либо полюсе знак импеданса изменяется.

Если частота га больше частоты антирезонанса (т. е. расположена справа от какого-нибудь полюса) и меньше частоты соседнего резонанса (т. е. лежит слева от соседнего нуля), то импеданс, соответствующий этой частоте, отрицателен. Для частоты, лежащей левее полюса и правее следующего нуля, импеданс положителен. Число нулей и полюсов сложного двухполюсника обычно определяют по числу независимых уравнений двухполюсников, но иногда можно воспользоваться следующим правилом. В каждой ячейке цепи поочередно вычеркивают одну емкость и одну индуктивность. Число пар вычеркнутых элементов равно числу нулей входного импеданса двухполюсника.

Выражение (П.2.30) широко используют при анализе цепей. С помощью этой формулы легко построить частотную характеристику, не проводя подробных расчетов. С этой целью необходимо найти вид зависимости Еа от /гэ. Затем определить каким-нибудь способом свойство двухполюсника при бесконечно больших частотах и численное значение модуля функции Л (!та). Кроме того, необходимо знать сопротивление двухполюсника при какой-либо промежуточной частоте, не совпадающей с нулем или полюсом.

$ Н.З. МЕТОД ЭЛЕКТРОМЕХАННЧЕСКНХ АНАЛОГИИ В современной акустике широко применяются методы решения задач, заимствованные из электротехники. Это стало возможным благодаря тому, что во многих областях физики, в том числе в акустике и электротехнике, многие задачи описывают одинаковыми дифференциальными уравнениями. С другой стороны, бурное развитие электро-и радиотехники привело к более полному исследованию электрических систем. Кроме того, построение электрических моделей механических систем сопряжено с меньшими трудностями, чем создание механических; они более компактны, и, что особенно важно, измерения в них более точны и удобны.

Поэтому в некоторых случаях для решения акустических и механических задач полезно пользоваться методами теоретических и экспериментальных исследований электрических цепей. Сходные математические законы, описывающие различные физические явления, не означают их тождества, а отражают только то, что математические модели этих явлений соответствуют одной и той же степени приближения. Математические модели первого приближения, подчиняются закону аддитивности, а следовательно, описываются линейными дифференциальными уравнениями.

Так, например, ток и напряжение в одноэлементном двухполюснике, содержащем индуктивность, удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению (П.3.1) если принять, что в первом приближении индуктивность! не зависит от силы тока. Указанному соотношению можно сопоставить связь между силой и ускорением (П.3.2) если считать, что масса и не зависит от скорости. Отсюда следует прямая аналогия между напряжением (У и силой Р, индуктивностью 1.

и массой и, силой тока 1 и скоростью о. Эти аналогии сохраняются и в энергетических соотношениях, а именно: работа, затрачиваемая внешним источником при увеличении силы тока от О до 1, равна энергии магнитного поля тока проводника с индуктивностью 1 и может быть вычислена по формуле А =Ы'/2. Аналогично, для случая поступательного движения работа внешних сил, вызывающих увеличение скорости от О до и, равна кинетической энергии тела: А = гло'12. Если электрическая цепь состоит из одной емкости, то при изменении заряда от д до д + Лд на клеммах цепи возникает разность ! !ад потенциалов Л(/=- ---Лд =-- — — -М. Если процесс происходит непрес сл! рывно, то за время от О до !разность потенциалов на клеммах двухполюсника увеличивается от О до 0: (П.З.З) где I — сила тока смещения.

Таким образом, разность потенциалов (У и сила тока 1 в двухполюснике, имеющем только один реактивный элемент — емкость С, связаны простейшим линейным интегральным уравнением (П.З.З). 56 Работа внешних источников, идущая на преодоление сил электри! ческого поля, при увеличении заряда на йд равна г(А= --дну. =с Полную работу при изменении заряда от О до д можно записать в виде ! 1 ф 4 1(' с Ч!(!) э С 2 о (П.3.4) Эта работа равна энергии электрического поля данного двухполюсника. Аналогичные соотношения имеются и в механике.

Известно, что при малых деформациях почти все тела подчиняются закону Гука, который в простейшем случае выражают формулой ! 1 г = — ах= — — х= — — ! ппг, с с о (П.3.5) 57 где з и с — коэффициенты упругости и гибкости; х — смещение точки приложения внешней силы. Знак минус показывает, что направления смещения х и силы упругости противоположны. Интегральные уравнения для тока (П.З.З) и скорости деформации упругого элемента (П.3,5) подобны, причем существуют прямые аналогии между электрическим напряжением (/ и силой Р, емкостью С и гибкостью с, силой тока 1 и скоростью о. Эта аналогия сохраняется и дальше. Например, потенциальную энергию упругого элемента вычисляют по формуле Ю'=-х')(2с), подобной формуле (П.3.4) для энергии заряженного конденсатора.

Рассмотрим одноэлементный двухполюсник в виде сопротивления потерь. Напряжение на его зажимах прямо пропорционально силе тока, если )т не зависит от А Эта независимость является первым приближением, обеспечивающим линейную связь между силой тока и напряжением. Активное сопротивление как элемент электрической цепи имеет важную особенность по сравнению с реактивными элементами — индуктивностью и емкостью. Она состоит в том, что на сопротивлении потерь происходит необратимое рассеяние энергии. Обычно эти потери равны количеству теплоты, выделяющемуся в цепи при прохождении тока.

Согласно закону Джоуля — Ленца, эти потери пропорциональны квадрату силы тока. В механических системах всегда существует рассеяние энергии движения. Обычно его связывают с силами трения, зависящими от многих факторов и подчиняющимися различным законам. В меха нических колебательных системах существенное значение имеет вязкое жидкостное трение, внутреннее трение и сопротивление излучения.

Вязкое трение возникает при относительном перемещении поверхности тела и жидкости. При этом, если выполняются определенные условия, то со стороны жидкости на тело действует сила сопротив- ления, пропорциональная скорости перемещения ш (П.3.6) где г — механическое сопротивление. В первом приближении, как показывает опыт, при малых скоростях о коэффициент г не зависит от скорости и уравнение (П.3.6) линейно. Коэффициент сопротивления вязких потерь в некоторых случаях может быть рассчитан по точным формулам, ио обычно в большинстве прикладных задач его находят на основе эксперимента. Другой причиной необратимых потерь энергии при механических колебаниях является внутреннее трение, возникающее в результате действия различных факторов, приводящих к отклонению свойств материала от закона Гука, а также возникновению градиентов.

температуры в местах, где деформация материала, возникающая нри колебаниях, неоднородна. Силы внутреннего трения также пропорс циональны скорости и могут быть вычислены по формуле (П.3.6), при этом о — скорость деформации, а г— л механическое сопротивление, обусрое при малых скоростях также не ю~ зывает опыт, является функцией часРис. !!.3.! тоты. Наконец, потери энергии в механической колебательной системе происходят за счет излучения упругих волн. Этот вид потерь характеризуется сопротивлением излучения, которое также пропорционально скорости, Иногда это сопротивление излучения называют трением излучения. Оно характеризует полную мощность акустического излучения, выделяемую колебательной системой в окружающее пространство. Сравнение линейных законов, которым подчиняются одноэлементные электрические двухполюсники (1., С, )с), с линейными законами механики для механических элементов (щ, с, г) и сопоставление интегрально-дифференциальных уравнений для описания процессов в простых электричесиих и механических системах показывает, что одноэлементный двухполюсннк сходен с соответствующим механическим элементом.

В частности, индуктивности аналогична масса, емкости — гибкость, электрическому сопротивлению потерь— механическое сопротивление, На рис. П.З.! представлены схематические изображения электрических одноэлементных двухполюсников и подобных им механических элементов. Подобно тому, как сложную электрическую цепь можно представить в виде многоэлементного двухполюсника или многополюсника, реальную механическую систему можно заменить некоторой идеализированной системой, состоящей из большого числа соединенных между собой механических элементов. Способ соединения элементов 58 определяется характером распределения сил и перемещений. Из многообразия возможных типов соединейия элементов полезно выделить три типа: а) соединение элементов, в котором скорость каждого элемента равна скорости всей системы, а сила, действующая на всю систему, равна сумме сил, приложенных к каждому элементу, — соединение в узел (рис.