Лепендин Л.Ф. - Акустика, страница 7

По условию минимума функции, первые частные производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам при ~)22, о22 равны нулю: Отсюда следует: если отбросить в (1!.1.21) слагаемые выше второй степени, то получим выражение для потенциальной энергии системы в виде квадратичной функции обобщенных координат: (' (Ч1 Ч2) Х 2 (зпЧ)+ 22242Ч2+ з22Ч2). (П .1.22) В~ (02 Точно так же энергию дисси- ! пации 1Р' (2)„д2) можно предста- ! вить в виде степенного ряда и, ограничиваясь вторыми степенями, получить с точностью до постоян- х, гп ной: хг щ ( И1 ')2) 1 = 2 (Ьггг)1+ 2Ь22ПА2+ Ь222)2).

(П.1.23) Рис. 11.1.2 Квадратичные формы (П.!.22) и (П.1.23) положительны, а потому их коэффициенты удовлетворяют неравенствам типа (П,1.20): 222)0, 222=-0, з,2222 — з(2)0, Ь„=О, Ь,э=О, Ь„Ь22 — Ь-;,=-О. Собственные колебания системы с двумя степенями свободы. Подставляя (11.!.19) и (П.!.22) в уравнения Лагранжа второго рода (П.!.18) и положив %'(2),) и г" (1, д;) равными нулю, а я= 1, 2, получим систему дифференциальных уравнений: а„Ц + а222)2+ з„д, + з22д2 = О, а222)2+ а222)2+ з22д„+ 222дг = О.

В качестве типичных примеров систем с двумя степенями свободы приведем механическую систему, представляющую два физических маятника, связанных упругой пружиной (рис. П,!.2), и электрическую, состоящую из двух Т.С-контуров, связанных общей электрической емкостью С22 (рис. П.1.3). В качестве обобщенных координат механической системы можно взять углы отклонения 62 и а2 маятников от положения равновесия, а в электрической схеме — электрические заряды на любых двух конденсаторах.

35 Парииальной системой однои степени свободы называют такую, которая получается из системы с двумя степенями свободы при закреплении одной из обобщенных координат. В электрической системе — это колебательный контур, который получается из всей схемы, когда осуществлен разрыв цепи одного из контуров. Уравнение первой парциальной механической системы получится из (П.!.!8) при а,=О: а,+ — "' о,=о. ан Видно, что собственная частота первой парциальной системы равна п,=Р'зм)ам.

Точно так же можно Установить, что паРциальнаЯ частота второй парциальной системы равна с, й по р зо2/ам' Допустим, что решения (П.!.18) имеют вид Ч, = А соз (в(+ а), о, = В соз (в(+ а), (П.1.25) Рис. 11.1.3 где А, В, в, а — постоянные, определяемые из начальных условий. Решение типа (П .1.25) называют нормальным колебанием, а в— частотой нормальных колебаний. Подставляя (П.1.25) в (11.1,24), получим — а„в'А — а„в'В + з,„А + з„,В = О, ) — ао,в' — амвоА+ зооВ+ змА = О, / или (з„— аыво) А+(з„— а„в') В =О, (з„— а,,в') А + (з„— а,,в') В = О. (П.! .26,' Условие совместимости однородных уравнений (П.1.26) позволяет записать характеристическое уравнение частот: зм — аэ,оз зм — а„в о 2 , =О.

з„— а„в' з„— а„в' (П.1.27) Раскрывая определитель (П,1.27) и обозначая в' = ь, найдем характеристическое уравнение в виде ЛД'+ ЛД + Л, = О, (П .1.28) где Л,=ама„— а'„, Л,=2а,з„— а„з„— а„зем Лз=з„зм — з,', Обозначим левую часть уравнения (П.!.28) в виде функции Р (Ь) = Л,Ь'+ Л,1, + Л„представляющей собой уравнение параболы. Корни (П.1.28) являются координатами точек пересечения этой параболы с осью ь.

Согласно (П.1.20) и (П.!.20'), Л,> 0 и Л,>0, поэтому функция Р(с) при низких и при высоких частотах положительна. Таким образом, парабола с (ь) имеет свои ветви, направленные вверх (рис. П,1.4). Если ь равно квадрату собственной частоты первой парциальной системы, т.

е. Ь = з„гагг = и,', то г" (гг',) = — !а,гзгг!агг — згг)г ( О. Точно так же получим г" (п,") = — [агг —" — вг.] <О. Отсюда следует, что собственные частоты парциальных систем расположены между частотами нормальных колебаний: ы-", ~ и-', ( и, ( ы . Определив значения ыг и ые из уравнения частот, находим два значения В!А =К: г(лг) в Г(п Рис. Ил.4 г — а гьг ггг — агггь1 Кг— гы — а„ы1 ггг — оггм1 (П.1.29) гп — аг,о1 ггг — аггее! пг — а,гы! ггг — агггь1 ' где К, и К,— отношение амплитуд в каждом из нормальных нолебаний, характеризующее формы этих колебаний. Из (11.!.29) следует, что форма колеба.

ний не зависит от начальных условий и от частоты колебаний, а определяется только г(в)-Л, параметрами системы. Запишем выражения для колебаний с частотами гог и гог: дго = А г" соз (гогг+ а,), г п, л,' вг" = А '," сов (ыг(+ а,), 1! д,"' = КгА'г" соз (гог(+ аг), г) в г)г" = КгА ';-"' соз (го,1+ сгг). Подчеркнем следующие важные свойства системы с двумя степенями свободы: если система совершает одно из нормальных колебаний, то обе обобщенньге координаты дг и дг совершают колебания по гармоническому закону; в каждом из нормальных колебаний амплитуды находятся в посто- нном отношении К, или К„которое не зависит от нача ьных условий.

Общее решение системы уравнений получим путем суммирования частных решений. ог = ог" + д'," = А'г" соз (ыг(+ аг) + А г' соз (гог(+ сгг), (П.1.30) дг = г)г" + дгь' = К А '," соз (гьг) + аг) + КА '," соз (ы1+ аг), где А',", Аг", а, и а, определяют из начальных условий: чг=г)го г)г=г)га Чг=Чгы г)г=Чгь ПРи 1=0 (11 1 31) Из общего решения (1!.!.30) следует, что результирующее колебание системы с двумя степенями свободы не является гармоническим. П р и м е р. Два маятника одинаковой длины связаны пружиной, упругость которой в. Пружина прикреплена к маятникам в точках на расстоянии с( от точек подвеса (см.

рис,П.).2). Массы ллаятников равны. Определить собственные частоты лгалых колебаний и запои движения системы. Решен ив. Обозначим физические координаты маятников хл, у, и хв, ув. Тогда кинетическая энергия системы равна 1 „,, 1 — т (х, + у,') + — т (х, + у,), а потенциальная туу, + туу,.

Выберем в качестве обобщенных координат углы 6, и 6,. Тогда уравнения системы имеют вид: х,=!5)п81=!61, у, =1 — 1 в!п 6, = 21 Х2=! 510 62 162, 81 1 яп' — — — 10'-', 2 2 1 япл -'- ~ — !62. 2 2 уз=1 — 1 яп 0,=21 38 Кроме того, координаты концов пружины: хш=д 510 6, = 6,11, х„,=1( яп 6 В~г(. Тогда кинетическая энергия в обобщенных координатах 6, и В, с точностью др членов 2-го порядка выражается формулой 1, 1 „, 1 — (1282+1*0;8!)+ — (128;+1~8(еф) = — т!2 (8;-'+8(), а потенциальная †формул 1! — гпу 2 (01+01)+ 2 в (8 — В ) 2(' =( ту 2 + 2 ) 81+ 2 (ту!+511~) 6' ,— Ы~В~Вм Подставляя эти формулы в уравнения Лагранжа второго рода, находим сле- дующие уравнения движения связанных маятников: гпРВ, +(ту!+в 1!') В,— 5 с(202 —— О, 128',+(та!+ада) 6,— вб В,=о.

Полагая решение уравнений в форме' нормальных колебаний 8,=8м сов(ы1+й1), 62=8„2сов(101+и,), найдем характеристическое уравнение (ту!+ 5 бв — тжго')' — 52112 = О, откуда получаем выражения для нормальных частот связанных маятников; ыл2= у 251(2 д 112— + 1+ т!2 1 Зная ют и ы„накодим: 6 — 0' ' С05 (10 1+и )+61 ' С05 (О 1+й ), Вв= ВОД)' сов (о1,1+и,) +ВД' осе (ш21+ив).

Или, введя коэффициенты распределения Кл=ВД'(В,",', Кв=ВД )ВД', запишелл решение в виде ВД сов(1011+й1)+Волг с05(о12!+ив) 82 = К16Д со' ( 011+ 1хд+ К282Д' с05 (олл1+ йв). Подставляя найденные выражения для частот нормальных колебаний в (П.1.26) или (П.!.29), получим: К, = -1- 1, Кв = — 1, 01=821у сов (ы11+и,)+ВД' сов (о1,1+ив), 01.=- ВД' сов (юлг+ йл) — ВД сов (102!+ ив). Лля нахождения ОД' и 0(1' воспользуемся начальными условиями.

Пусть ири г=о вг =:грз, в, = о, в, = о, в, = о. Тогда грд=В,', сова,+В„'!,' сова, 0=8,'!' сова, — 8(гз' сока„ О= — В.Укн за,— ОДы,сова„ О= — О,",'ю, совах+ОД'ы, сова,. Решая систему уравнений, находим 8,', ОДЧ а„аз.

В результате получим: аз=аз=п)2, В(У =0„", =Вч,,'2, Вз = Оз 51п Г соз шг+шз <ог — ыг кн + газ, юг — азз в=в,сы '' '"'п '2 2 (П.1,32) . Явление биений. Результат рассмотренного примера сводится к тому, что колебания каждого маятника негармопнчиы, но если разность частот а нормальных колебаний невелика, т. е. в,'ы, = (ыз — ю,)/ы, ~ 1, то колебания каждой из парциальных частей (как первого, так и второго маятников) будут иметь характер почти гармонических колебаний, но с амплитудой, периодически изменяющейся с течениеи времени.

Решение (11.1.32) в этом случае прообразуется к виду в е 8,=8асоз —, Гз!п ыгб Вт=Очз!п — (созкчг. 2 пРичем в!2 — кРУговаЯ частота изменениЯ амплитУды, РавнаЯ (юг — ыг))2. Энергия колебаний первого и второго маятников: 1 1,, в уз+(Гг 2 т( 01 тпш)вй ст 2 Гсоазга~т 2 = ( 1 — глпен82~+ — т(зы',-0„", соз е() соззыгб — — т(зы',0'„соз зг; созз югт. /1 Т +(ге= ~ — т(еы";8„', Условием того, что биение еще реализуется, является выполнение неравенства юз — юг 3 гп = ' — (< 1 ыз тй( Явление биений (обн(ий случай).

допустим, что колебательная система с двумя степенями свободы имеет очень близкие частоты В момент времени, когда энергия колебаний первого маятника максимальна, энергия второго будет равна нулю. Пусть этот момент времени ранен нулю. При т)2 =пгв энергия первого маятника станет равной нулю, а второго в максимальной. Таким образом, за время, равное т(2=п(е, энергия от первого лгаят'ника передается ко второму. Спустя время (и/е) энергия от второго маятника перейдет полностью к первому. За полный период, равный т= — 2пгз=2п)(ыз †), передача энергии от отпой парциальной системы к другой полностью будет завершена. Здесь мы имеем дело с периодическими изменениями энергии связанных колебаний близких частот, называемыми биениями. Величину а=аз † назывзют круговой частотой биений, а т= 2пгыз †юг периодом биений.

В данном примере собственных колебаний в,=в,+е, е!в,(< 1). В этом случае колеба- ния можно записать в виде следующих соотношений: д1 до[ соз (в11+ а1) + д01 соз [(в1+ е) 1+ аД, д, = до1 К, соз (в,1+ а,) + д,", К, соз [(в„+ е) 1+ аД. А; "(Г) = (до1')'+ (до1')'+ 2д,",до1' соь (е1+ а, — а ), А1(1) = (до[' К1)'+ (доКъ)'+(24~до(ККо) соь (е1+ а, — а,). Энергии колебаний парциальных частей системы пропорциональны квадратам амплитуд (П.1.35) и изменяются с течением времени по гармоническому закону с круговой частотой в= в,— в,. За время, рав- / 1 ное т)2 =- я!е, энергия первой части системы изменится от (д'„", — д,',Г)' до (д,,",' + д11')', а энергия второй части / ', системы — от величины, пропорцио'Зг й ~ нальной (д,",'К, — д„'-',"К,)', до (д„", К,+ о~ ~ + до1 К,)', пРичем полный цикл изменения завершится за время т = 2л!е.