Лепендин Л.Ф. - Акустика

ББК 22.32 Л48 УДК 834 (073) Рецензенты: кафедра акустики МГУ им. М. В. Ломоносова и проф., д-р физ.-мат. наук М. А. Исакович Леонтий Федорович Лепендин АКУСТИКА Редактор Л. Н, Шзлыгинз Художник С. А. Киреев Художественный редзктар В. И. Пономаренко Технический редвктар 3, А. Муслимова Корректор Г.

И. Кастриковз ИБ № Ц26 Иэд. № ФМ вЂ” 559. Сдвпо в набор 27.10.77. Поди, и печати 030478. Т-03073. Формат 60749И«Бум. тип, № 3. Гарнитура литерзтурнея. Пе. четь вьюокзя, 28 уел. печ л. Уч.-изд. л. 27,49. Тирвж 20000 экз Заказ № 1581. Цена 1 р. 21 к. Издательство «Высшзн школа», Мосиве, К-51, Неглинивя ул., д. 29Л4 Ордене Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно. техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М Горького Саюзполигрзфпромз при Государственном комитете Совете Министров СССР по делам иэдзтельств, палигрзфин и книжной торговли.

197136, Ленннгрвд, П.!36, Гвтчннскзн ул., 26. В учебном пособии изложены основные вопросы курса акустики. включенные в программу для студентов высших технических учебных заведений. Пособие состоит из двух частей. В первой исследована теория колебаний меха. нических систем с сосредоточенными и респределенными параметрами; иолебзния с одной и двумя степенями свободы; методы электромехзнических аналогий. Рзссмотреиы также упругие волны з гзэвх и жидкостях, эзконы отражения и преломления плоских волн через границу раздела двух сред, з также законы прохождения и отрвжения звука от границ и нлоскик пластин, ВтоРая честь книги посвящена теории излучения сферическими, цилиндрическими и нлоскнми источниками, теории рзссенния. Изложены вопросы волноводного рзспрострзиения звука, основы акустики помещений. Книга снабжена приложениями, имеющими вспомогательное значение.

20404 — 237 Л 33 — 78 001(0!) — 78 334 ББК 22.32 © Издательство *Высшая школа», 1978. Лепеидии Л. Ф. Л48 Акустика: Учеб. Пособие для втузов. — М.: Высш, школа, 1978. — 448 с., ил. В пер. 1 р. 20 к. ПРЕДИСЛОВИЕ В книге в достаточно полном объеме содержатся описания важнейших методов постановки и решения характерных акустических задач. Она составлена на основании курса лекций по акустике, читаемого автором в течение ряда лет студентам, специализирующимся по гидроакустике и ультразвуковой технике. Подбор материала книги определялся обязательной учебной программой по курсу сАкустиказ для данной специальности в техническом вузе, а также степенью физико-математической подготовки, которую имеют студенты к началу изучения курса. В книгу не вошли вопросы акустических измерений, основ гидроакустики, теории электроакустических преобразователей и другие разделы прикладной акустики, входящие в систему подготовки специальности в форме отдельных инженерных курсов.

Мы стремились проводить изложение достаточно подробно, чтобы книга могла быть использована в самостоятельной работе специалистами (не акустиками), и старались получать соотношения в таком виде, который обеспечивает доведение решений задач до численных результатов. Материал учебного пособия рассчитан на читателей, имеющих подготовку по физике и математике в объеме первых двух семестров технического вуза. Там, где это требуется, введены краткие дополнительные сведения из физики и математики, необходимые для понимания дальнейшего изложения. Автор благодарен С. Н.

Ржевкину, М. А. Исаковичу, Л. К, Зарембо, М. А. Миронову, К. В. Чернышеву и Н. А. Колмаковой за ценные методические и другие замечания по улучшению рукописи втой книги. Автор ЧАСТЫ ГЛАВА 1 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЫО СВОБОДЫ э ЕК ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Колебательные процессы охватывают обширный круг явлений, для которых характерно повторение их характеристик через определенные промежутки времени.

Всякое колебание связано с нарушением равновесного состояния среды и проявляется в отклонении ее параметров от равновесных значений (например, при мгновенном сжатии столба газа в трубе — давление газа, температура, плотность, смещение частиц). Если колебания могут быть выражены в виде функции, значения которой через равные интервалы времени повторяются, то такие колебания называют периодическими.

Наименьший интервал времени повторения процесса называют периодом. Общее математическое выражение периодического процесса задают функцией 1(1), имеющей свойство повторять свое значение через интервалы времени, равные периоду Т. Это свойство выражают в форме соотношения ~(1) =~(1+ Т). (1.1.1) В общем случае периодичность может существовать как во времени, так и в других независимых переменных. Например, рельеф местности с буграми одинаковой формы, отстоящими на одинаковом расстоянии, также описывается периодической функцией типа (1.1.1), только вместо независимой переменной 1 появляется координата г.

Роль периода в этом случае будет играть наименьшее расстоянием, соответствующее повторению значений функции. В этом случае периодичность структуры профиля не зависит от времени. Могут быть периодические процессы, которые описываются одновременно временнбй и пространственной координатами: р(г, )=1(г+Т, г+)) (1.1.2) Наиболее простой периодической функцией является круговая: С=и, (ы( — ). (1 1.3) Ве период равен Т 2п/го, в чем можно убедиться непосредственно, подставив в (1.!.3) 1+2л!го вместо 1 (У,— амплитуда колебаний; го = 2п(Т вЂ” круговая частота; гог' — а — текущая фаза; сс — фаза колебаний в момент Бремени 1 = О, или начальная фаза). Если периодическая функция с периодом Т в интервале(, 1+Т имеет конечное число максимумов и минимумов, а в точках разрывов удовлетворяет условию Дирихле а 1(! — о)+1 (!+о) 2 3 то она может быть представлена в виде ряда Фурье СО 2 ~(1) = — -1-',!' ~В соз — -1- т т=! (1.1.4) где А„В, С вЂ” коэффициенты ряда, которые вычисляют по фор- мулам: (~®!((' В т ) 1'И)со' т т,1 о 'о г С.=-~~(1),1,, а, 2 Г .

2тя! '" т.) о (1.1.5) Ряд Фурье (1.1.4) часто записывают в форме ! (1) = — '+ ~ А,„соз ~ —" — а„)~, т=! (1.1.6) Й при 1Т-"1 =.1Т+--, 1(1) = О при 1Т+ — <1((1+1) Т, где 1 = О, 1, 2..., Вычислив А„В и С по формулам (1.1.5), получим; 2Ь Ь . 2л!я Ь Х 2!!!Ы А —;  — з(п — ! С„= — ('1 — сох — '!. л ' "! !аа а "! !ал (, Л Отсюда следуют формулы для определения амплитуд и фаз отдельных гармоническ!ьх составляющих прямоугольного импульса; где А =)/В' +С" 1д!х С (В; А„В„, С„вычисляют по формулам (1.1.5). В качестве примера проведем разложение в ряд Фурье прямоугольного импульса (рис.

1.1.1) с периодам Т и длительностью импульса Т(п (я~ 1). Пусть импульс задан функцией Тогда для данной периодической функции ряд Фурье имеет вид 1((!= — . "+ Х й ! "ш ° ( — ","'+ п~1 П3 =! На рис, 1.!.2, а даны графики импульса в координатах и и ! для различных .значений а, а на рис, 1.!.2, б — спектры этой функции для тех же значений п. Рис.

!.1.2 Этот пример показывает, что с увеличением и (с уменьшением частоты повторения прямоугольного импульса) увеличивается число спектральных компонент, с помощью которых может быть представлена функция. В пределе, когда и-+.оо, линейчатый спектр обратится в сплошной. Другим примером гармонического анализа периодической функции является разложение в ряд Фурье периодической последовательности затухающих колебаний. Опуская аналитическое решение, приведем основные результаты решения задачи. На рис. 1.1.3, а изображены графики затухающих колебаний для разных периодов повторения, а на рис.

1.1.3, б — спектральные составляющие соответствующих колебаний, вычисленные по формулам (1.!.5) и (1.1.6). О уменьшением частоты повторения отдельных колебаний число спектральных линий, необходимых для спектрального представления процесса, постоянно возрастает. Необходимо иметь все большее и большее число отдельных гармонических составляющих, чтобы взаимным уничтожением их амплитуд при сложении изобразить провалы между затухающими колебаниями, Надо заметить, что все линейные спектры, соответствующие различным частотам периодической функции, при надлежащем подборе масштаба дрдинат имеют одну и ту же огибающую (рис.

1.1.3, б; пунктир). Рис. 1.!.3 Рис. !.1,4 Отдельное затухающее колебание не является периодическим процессом. Оно соответствует предельному случаю, когда частота повторения рассмотренной периодической функции стремится к нулю. В этом случае можно осуществить предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье. Если воспользоваться разложением в интеграл Фурье одиночного затухающего процесса, то получим в итоге представление этого непериодического колебания в виде непрерывного спектра (рис. 1.1,4).

й 1.2. КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА БЕЗ ТРЕНИЯ Рассмотрим движение простейшей колебательной механической системы, состоящей из массы и, которая может перемещаться горизонтально вдоль направляющего стержня под действием двух пружин (рис. !.2.1). Предположим, что деформация пружин подчиняется закону Гука: (1.2.1) где с — гибкость пружин; $ — смещение от положения равновесия.

Трением и- сопротивлением воздуха пренебрегаем. В реальных си- стемах закон Гука выполняется при малых деформациях; что же касается сил трения и сил сопротивления воздуха, то ео многих случаях они достаточно малы. Допустим, что тело в начальный момент времени 1=О имеет смещение от положения равновесия $, и скорость $,. В последующие моменты времени смещение будет описываться некоторой функцией времени $, которую надо найти. Рис. 1Хп! Под действием силы упругости пружин возникает ускорение, которое согласно второму закону Ньютона равно би$1й'= г1т. Учитывая выражение (!,2.1), получим дифференциальное уравнение движения И2$1 (1.2.2) Анализ уравнения показывает, что тело массой т под действием сил упругости получает ускорение, значение которого пропорционально отклонению тела от положения равновесия, а направление противоположно смещению, Заметим, что масса т и гибкость с больше 1 нуля. Поэтому коэффициент — )0 и его можно записать в виде тс квадрата некоторого действительного числа: (1.2.3) где в, не зависит от смещения $ и времени ! и определяется только параметрами системы.

массой т и гибкостью с. Используя коэффициент м,', запишем уравнение (!.2.2) в виде йв+ ыО~ (1.2.4) Это выражение является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянйым коэффициентом. К подобным уравнениям приводят многие задачи из различных областей физики. При этом часто для их вывода используют закон сохранения энергии.