Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При наличии сопротивления собственные колебания за небольшое время затухнут и останутся только вынужденные. При этом амплитуда и фаза будут определяться силой и отноепениями частоты возбуждения к частотам собственных колебаний. При условии, что частота возбуждающей силы равна одной из собственных частот, может наступить резонанс.
Таким образом, колебательная система с п степенями свободы может иметь и резонансов. Из них могут возбуждаться только те формы колебаний, ни одна из узловых точек которых не совпадает с точками приложения возбуждающей силы. Частота вынужденных колебаний, при которой точка приложения силы совпадает с узловой точкой формы 1-го нормального порядка, называется частотой антирезонанса 1-го порядка.
При заданной точке приложения вынуждающей силы и при увеличении частоты возбуждения колебательная система с п степенями свободы последовательно проходит состояния резонансов и антирезонансов. В общем случае число антирезонансов в системе с п степенями свободы на единицу меньше числа резонансов. 45 Ниже мы увидим на простейших примерах, что для решения задач о механических колебаниях систем как с одной, так и со многими степенями свободы удобно пользоваться методами теории электрических цепей. В связи с этим в следующих параграфах рассмотрим метод электромеханн.
ческих и электроакустнческих аналогий и основные теоремы из теории электри. ческих цепей. $ П.в. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрическая цепь состоит из ветвей, узлов, ячеек и контуров, которые содержат сопротивления, индуктивности и емкости. На рис. П.2.1 изображена цепь, состоящая из четырех ячеек (! — 4) и четырех узлов (! — !У).
Линии, соединяющие ячейки, называют ветвями г я аг цегги. Большинство цепей относят к плоским. Они г могут быть изображены на поверхности сферы. Если плоскую цепь перевести на поверхность сферы, то внешние границы цепи также обг разуют ячейки, подобно любым внутренним Рис. 11оь! ячейг(ам. Токи и напряжения в электрических цепях подчиняются двум законам Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа является следствием неуничтожаемости заряда — сумма сил токов в узле равна нулю: ~1,=о (11.2.1) (ток считается положительным, если он направлен,к узлу).
Второй закон Кирхгофа — сумма мгновенных напряжений в любом замкнутом контуре равна нулю: ~(),=О. Источник, питающин цепь, может быть представлен либо генератором напряжения, либо генератором. тока. Генератором напряжения может быть источник э. д. с. Ж„имеющий внутренний импедаис Яг (рис. П.2.2). Точки обозначают входные клеммы, к которым подсоединяется в цепи генератор напряжения.
Напряжение на входе цепи меньше электродвижущей силы на падение напряжения на внутреннем импедансе и может быть вычислено по формуле 0=8,— !2ь (П.2.3) Генератор тока следует рассматривать чисто математически. У идеального генератора тока бесконечно большой импеданс, поскольку возбуждаемый им ток не зависит от нагрузки 2. Поэтому генератор на схеме изображают в виде шунтирующей ветви 2г и стрелки, указывающей направление тока (рис. П.2.3). Очевидно, если Лг-» со, то с/ь-+ ж.
Однако отношение Уь!1ь — величина всегда ограниченная. Если генератор тока замкнуть накоротко, то О,=О и 1=14 (П.2.4) Рис. !!.2.2 47 где 1, — ток короткого замыкания. Напряжение разомкнутого контура равно Оо- 1ьА. (П.2.6) Ток в нагрузке равен разности полного тока 1„генерируемого источником, и тока 072! в шунтирующей ветви: (1!.2.6) где Π— входное напряжение; О, — напряжение разомкнутого контура.
В теории цепей широко используют способы замены одной цепи другой, эквивалентной ей. Зти упрощающие приемы основаны на некоторых теоремах. К ним относят теорему об эквивалентном генераторе напряжения: простейшая 7 ветвь, имеющая две клеммы (в двух- с т 2 полюсникак) и содержащая источники, может быть представлена О 7,~ 2; 2 как генератор напряжения, з. д.
с. которого равна напряжению на его разомкнутых клем ах, а внутренний импеданс — импедансу двух- Рис. !!.2.3 полюсника, измеренному при разомкнутык внутренник генераторах тока и короткозомкнутых внутренних генераторах напряжения. Справедливость этой теоремы непосредственно следует из линейности электрических цепей: если при разных нагрузках двух цепей выходные токи и выкодные напряжения одинаковы, то токи и напряжения должны совпадать и для других значений нагрузки. На основании линейности электрических цепей может быть сформулирована теорема об эквивалентном генераторе тока; цепь можно заменить эквивалентным генератором тока, параллельно которому включ н внутренний импеданс Лн Ток этого источника равен току короткого замыкания, а импеданс равен импедансу Я; между клеммами, если источники напряжения заменены нулевыми импедансами, а испючники тока разомкнуты.
К способам введения эквивалентных цепей относится замена цепи, имеющей форму многоугольника, цепью, имеющей форму звезды (рис. П.2.4). Зто преобразование основывается на следующем положении: два контура эквивалентны в том случае, если как в перво.н, так и во втором контуре при одинаковых токах возникают одинаковые напряжения. Поскольку токи произвольны, положим 1, = О. В ячейках сопротивления й„, й„и Й„соединены параллельно и напряжение между двумя клеммами (1, 2) равно () 7 язв Язв+ кзз) йвэ+)свз+ввзв В звезде Твв и зтв соединены последовательно, поэтому (П.2,7) и„- 7, (Л, +Л,). (П.2.8) Если звезда н многоугольник эквивалентны, то эти напряжения Увз зв Рис. П.2.4 Точно так же, полагая /,=О, а затем 7в= О, получим еще два уравнения относительно Й„ )с, и Й;. (э + зэ йзэ Язв+Язв) Иэз+ квз+ всвв )э ) )э зсвэ (кзз+ кэв) (П.2.! 1) Язв+язв+Язв Решая систему уравнений, составленную нз (П.2.8) — (П.2.10), найдем: я я я Рэ= —, йв= —, йэ= —, йзэ' Язв ' %вв ' (П.2.12) (П.2.13) где )э лвздззйзв Язв+ Йвз+ кзэ — коэффициент перехода от одной эквивалентной схемы к другой, Ом'.
Точно так же получают формулы для проводимостей этих эквивалентных схем: Чв Чвэ — Чэв = —. чз чв где чвЧзЧз чв+Чз+Чз (П,2. 14) 4З должны быть равны. Приравнивая правые части (П.2.7) и (П.2.8), получим )-з + св язв (язв+язв) (П.2.9) %в+ Язв+ йвэ '6Б Допустим, что имеется схема с общим сопротивлением Г переменному току. Эквивалентной схемой обратных сопротив- с" е д' лений будем называть такую, в которой общее сопротивление Рнс. 11.2.5 для всех частот связано с сопротивлением первой схемы соотношением Л" = Л",дс' (2, имеет размерность .сопротивления и называется степенью инверсии). Условие такого тождества можно получить для общего случая каких угодно сложных цепей. Найдем условие эквивалентности перехода от последовательного соединения индуктивного, емкостного и активного сопротивлений к параллельному (рис.
П.2.5). Из условия равенства сопротивлений эквивалентных схем и преобразования сопротивлений следует: 2 =дыЕ+ —.+Д~ =2о~,' —.„+[аС"+ —.-)= -т, д С ь!,[ад" Я") т' или С" =2оЕ", 1. =АС Г ' (П.2.! 5) Таким образом, в инверсной схеме электрические емкости пропорциональны индуктивностям Е'; индуктивности Е" †емкост С', а сопротивления [7" — проводимостям [Я'. Во все эти соотношения входит коэффициент пропорциональности 2„', размерность которого совпадает с размерностью квадрата сопротивления. В соответствии с этим в инверсной цепи токи пропорциональны напряжениям, существующим в цепи последовательных импедансов, а напряжения пропорциональны токам.
При этом коэффициент пропорциональности в первом случае равен [дв„ а во втором — Ль: 1" =Где„ (П.2.16) Ед-=г,д. (!!.2.17) Для построения инверсных цепей обычно пользуются следующим приемом. Внутри каждой ячейки импедансной схемы располагают узел инверсной цепи. Кроме того, за пределами контура находится еще один узел. Узлам и ячейкам, соответствующим друг другу, при. 49 — коэффициент перехода от одной эквивалентной схемы к другой, Ом '.
Указанные соотношения могут выполняться также для цепей переменного тока, только вместо сопротивлений и проводимостей в них должны быть введены импедан ы и комплексные проводимости. Другим полезным примером построения эквивалентных схем является способ замены данной цепи другой эквивалентной цепью, в которой импедансы заменены комплексными проводимостями, токи— напряжениями, напряжения— токами. с' в' д~ сваивают одинаковый порядковый номер. Номера узлов обычно обозначают римскими цифрами, а соответствующие номера ячеек — арабскими. Пронумерованные узлы соединяют линиями, проведенными так, что каждая из них по одному разу пересекает элементы ветвей импедансной схемы.
Эти линии представляют собой ветви инверсной цепи. Прн этом каждой точке пересечения линии с элементами ветви исходной схемы ставится в соответствие элемент инверсной цепи, т. е. импедансу 2' импеданс 2" = а',У; напряжение У' заменяют э. д. с. инверсной цепи (У" = Хи1'); ток 1' заменяют током инверсной цепи (1" =Г1Л„). Здесь У' = ()Л' — комплексная проводимость исходной цепи, Ли — коэффициент инверсии. На рис. !!.2.6, а показан пример построения ниве)зсной цепи, если задана импедансная. Схема содержит импедансы Еп Е', и У; и представляет собой двухполюсник, на вход которого включены э. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
