Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(1.4.27) сто се! Решение этого неоднородного уравнения состоит из решения уравнения свободных колебаний и частного решения уравнения с правой частью: 3 =Ь (1)+$о(!) Функция о, не зависит от вида закона вынуждающей силы. Она представляет собой затухающие колебания и имеет вид (!.3.4). Зля нахождения $, поступим следующим образом. Перейдем от (1.4.27) к уравнению для скорости $: и — — '+ 4о+ -- ~ $, г(1 =',1 А,е, соз (в„у — гр,). (!.4.28) Воспользуемся символическим методом.
С этой целью запишем уравнение (1.4.28) в комплексном виде: +со и — „'+ газ+ — ) $, г(1 = ~~> А,е' о', (1.4.29) и+т где А,=А,е  — комплексная амплитуда силы: Ао= — ~ г" (!)х хе с(с во=о — =тв. 1о с 2сс т Решение (1.4.29) ищем в виде суммы комплексных экспоненциальных функций: +со р„е' (1.4.80) Учитывая (1.4.29), получим тождество +со +со (т(р, +Г+ —.' )Е"о' = '~1' А,Е'" ', которое может быть выполнено прн р,=ир Тогда Ар эоо = ! /[с, 1/(в (1.4. 31) Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (1.4,29) представляется рядом +СО (1Л,32) Аы г+/ [твт — !доз,с)1 откуда смещение определяется путем интегрирования, +Ор А, е/вр) /и.
(г+/ [ ° — 1/(и с)И или + рр /(вт) — ер- и/з) 1' го+ [тир — 1/(врс)]' вч =Х где Ч),=агс(ство Действительная часть этой функции + со А п~ ьз = соэ в,( — гр,— — ) [/ гз+ [ти — ! /(~ос) р Р(/)=Р,~ ( /)+ з[п (Зи/) 3 Решен не. Уравнение движения в этом случае имеет вид т + грь+ — ) рз з/=Рр [ соз (О)/)+ — з1п (Зи/)~, с// с 3 Сила Р(/) содержит только две гармонические частоты: и и Зв. Поэтому ряд (1.4,26) имеет только два слагаемых: т=! и т=З.
Для них А„=Р, и Аз — — Рр/3, грр — — О, фр=п/2. Подставляя эти величины в (1.4.32), получим ь=Ро 1 е/и) Р 1 е/ 1зв) — и/з) Р г+/ [ти — 1/(сос)1 3 г+/ [Зти — 1/(Звс)1 Определив действительную часть этой комплексной функции, получим реше- ние задачи: соз (в/ — Чрз).+ Ро — зш (Зв/-фз), Р'гз+ [вт — 1/(ис)Р 3 )Ргз+ [Зит- 1/(Зис)[Р ит — 1/(ис) Зит — 1/(Зис) Где ррз = дгс!я )уз= асс!к г Г 26 есть искомое решение (1.4.27), где А, и гр, вычисляют по формулам (1.4.26).
П р им е р. Найти функцию колебательной скорости вынужденных колебаний груза массой т, подвешенного на пружине и находящегося под действием силы Анализ решения. Если частота в равна частоте свободных колебаний системы вр — — 'тг)/(нв), то В = — ' соа вр/ + о ап (Зв,/ — ср'), г 3 ]гггэ+ (64та)/со' + со г (/) = — ~ е/иг 5 (в) с(в, 1 2п (1.4,33) причем + со 5 (в) = ) е-/иг Р (/) с//. (1.4.34) Интеграл (1.4.33) называют обратным, а (1.4.34) — прямым преобразованием Фурье; 5 (в) называют изображением функции г (/). Использование прямого и обратного преобразований Фурье — полезный метод решения линейных дифференциальных и интегральных уравнений.
Пусть ииеется уравнение — + с'г, + — ~ в с// = г (/). с(В, ° 1 с с 3 Умножим его на е-/в' и проинтегрируем в пределах от — со до +со: + оо + со +осу Г + со У вЂ” ';( ог, 1 С.-оао 1 []Смс, с о 1 г(С;с о. ,) бт В результате интегрирования по частям первого и третьего интегралов слева получим алгебраическое уравнение относительно изображения искомой функции $ (/): 5 (в) /вт+г+ —,~= 5л(в) 1 /вс (1.4.33) [5 (в) и 5 (в) — изображения (1.4.33) искомой функции и функции возбуждения].
Уравнение может быть выполнено, если 5л(в) 5(в) = г+/ [вт — 1/(вс)] Проводя обратное преобразование по (1.4.33), восстанавливаем по изображе- нию 5 (в) оригинал $(/): + со (' „, 5л(в) 2гс 3 г+/ [вт-1/(вс)] 27 Зтва где агс12 ф' = —. Зг Если функция г (/) не периодическая, то вместо разложения в ряд Фурье для решения уравнения с правой частью используют интегральное преобразование Фурье. В этом случае г" (/) можно представить в виде интеграла Фурье: ГЛАВА П КОЛЕБАНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ й П.1. СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Механические и акустические системы в практических расчетах являются большей частью сложными упругими системами.
Это стержни постоянного и переменного сечений, пластины различной формы, механические конструкции, содержащие полости, заполненные жидкостью или газом, трубы постоянного н переменного сечений, элементы электроакустических преобразователей и т. д. Для полного определения деформаций, возникающих' в таких сложных системах при колебаниях, необходимо знать перемещения всех точек системы. Иначе говоря, необходимо найти бесконечное число функций координат и времени, определяющих состояние движения системы. Другими словами, мы имеем системы с бесконечным числом степеней свободы. В связи с этим изучение колебаний сплошных упругих систем возможно только при введении определенных упрощений — идеализаций, позволяющих получить решение задачи с некоторым приближением к действительности.
Обычно вместо реальной механической системы рассматривают идеализированную модель, в которой распределение масс и упругих связей реальной системы заменено сходным, но более простым распределением, приводящим в то же время к расчетным результатам искомых величин, не слишком отличающихся от действительных. В результате такой идеализации система с бесконечным числом степеней свободы заменяется эквивалентной системой с конечным числом степеней свободы. Рассмотрим несколько случаев приведения сложной системы к прос~ой.
Груз расположен на пружине, нижний конец которой прикреплен к жесткому основанию. Если учитывать массу пружины и упругость материала груза, то это система с бесконечным числом степеней свободы, в ноторой упругость н масса сложным образом распределены между ее элементами.
Но если масса груза значительно больше массы пружияы и в то же время деформации материала груза значительно меньше деформаций пружины, то вместо реальной системы для нахождения наименьшей собственной частоты можно рассматривать идеализированную модель, в которой масса пружины и деформация материала груза не приняты во внимание. В этом случае вместо параметров, непрерывно распределенных в дей.
ствительной системе, вводят параметры по составным частям модели. В частности, в данном примере массу целесообразно расположить вблизи центра масс груза; гибкость системы сосредоточивают в пружинах. Если, кроме того, учесть возможности смещений груза в горизонтальной плоскости вдоль взаимно перпенди. кулярных осей, то получим представление о двух дополнительных степенях свободы движения вдоль осей Х и г'. В первом приближении реальная колебатель. ная система может описываться как система с одной степенью свободы.
Если требуется учесть боковые качания груза, то она должна описываться как система с тремя степенями свободы. Рассмотрим систему, состоящую из стержня, на концах которого прикреплены два тела, массы которых значительно вольше массы стержня. Допустим, что под воздействием одной и той же силы продольная деформация стержня эна. чительно больше деформации присоединенных грузов. Если пренебречь изгибными деформациями стержня, то данную систему можно принять эа систему с одной степенью свободы.
В тех случаях, когда такое упрощение недопустимо, система может быть заменена моделями, имеющими две или три степеви свободы. Если стержень выполнен иэ магнитострикционного материала, т. е. способен деформироваться под действием магнитного поля переменного электрического тока, то колебательная система продольных колебаний масс может быть сведена к электромеханической колебательной системе с двумя степенями свободы, причем одна из них механическая, а другая †электрическ. Механические колебания воздействуют на электрические колебания в контуре. С другой стороны, электрические колебания будут действовать на механические.
Таким образом, колебания различных степеней свободы взаимодействуют, образуя связанную колебательную систему. Прежде чем рассматривать колебательные системы' со многими степенями свободы, напомним некоторые общие положения теоретической механики. Механическую систему называют несвободной, если входящие в нее материальные точки или тела при своем движении имеют ограничения, которые называют связями. Для составления уравнений движения несвободных механических систем часто пользуются методами Даламбера и Лагранжа.
Метод Даламбера. Силу Г, действующую на несвободную материальную частицу, согласно Даламберу, представляют в виде геометрической суммы сил Р, не вызывающей ускорения движения частицы, и г, сообщающей частице ускоренное движение, допустимое связями: Г= Р+ )г, (П.1.1) где г =та; а — ускорение частицы с массой пг. Сила Р уравновешивается реакциями связей, т.
е. силами — 1(, вызывающими фактическое ограничение движения точки. Движущая сила Р=пга, согласно принципу Даламбера, как бы уравновешивается силой Ф= — Г= — та, (П.1.2) которую называют силой инерции движущейся точки. Сам по себе вектор Ф, изображающий зту силу, свободен. Но если его приложить к частице с массой т, то он будет представлять собой фиктивную, т. е. физически несуществующую силу, называемую даламберсвой силой инерции, или просто силой инерции. В результате введения в уравнение (П.!.1) динамики материальной частицы сил инерции Ф и реакции связей Й получим Г = — й — Ф. Тогда уравнения динамики приобретают форму уравнений статики: Г+ )с+Ф=О, (П.1.3) где à — внешняя сила; гт — сила реакции связей; Ф вЂ” сила инерции, действующая на частицу, движение которой ограничено связями.
29 Если движется твердое тело, состоящее из п материальных точек, то система даламберовых сил инерции его частиц подчиняется всем законам геометрической статики, относящимся к силам, приложенным к телу, т. е. приводится к главному вектору Г и главному моменту М,: Г = ~ Фа = „~~ ~таза = тас~ а а М = ~о Ма (Фа) = Х Мо ( таза) ™о (Моо~ Мог~ Мо:)~ Моо — — е1оо — го'7„;, Мо„— — е1оо — гоа1,; Мо, — — — е1„, где со=1, 2, 3, ...; и — общее число материальных точек системы; т — масса всей системы; а — ускорение центра масс; Мо„, Моо и Мо, — проекции главного момента сил инерции относительно начала О; 1„— момент инерции вращения тела вокруг оси Е; 1оо и 1„,— произведения момента инерции; о — угловое ускорение; в — угловая скорость.
При этом в любой момент времени 1 между внешними силами Р„ силами реакций связей й, и силами инерции Ф„а также между моментами этих сил должны существовать уравнения геометрической статики: ~ Го+до) а+до Фа =О~ (11.1.4) 'Уо Мо(ра)+ ~~ ~ Мо (Йа)+,Уо Мо(Фа) =Ою (П.1.5) а где Мо(ра) Мо(йа) Мо(Ф,) — моменты относительно точки О внешних сил, сил реакций связей, сил инерции, действующих на отдельную точку а системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
