Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Обычно добротности акустических колебательных систем удовлетворяют условию (!.3.10), и их можно рассматривать как квазигармонические. Например, добротность кварцевой пластины, употребляемой в качестве излучателя ультразвуковых колебаний, равна 100000, а камертона — 10000. Найдем энергетические соотношения в системе с потерями. Умножая (1.3.2) на д~ и проводя преобразования !см. (1.2.20) и (1.2.2!)1, получим т$ ~$+ 4' с(1+ — $ с($ = О. (1.3.1 1) Подставляя первое и третье слагаемые в форме дифференциалов кинетической и потенциальной энергий, найдем: д — +- — )= — г$ г(1 /р р1 2 2с) (1.3.! 2) 0 ('гп1г Это значит, что убыль энергии системы — ~,— '+ -=-) равна той ггг г 2 2сг' энергии, которую поглощает активное сопротивление в единицу времени.
При этом надо иметь в виду, что активное сопротивление обусловлено трением, излучением акустических волн и другими потерями. Очевидно, что потери энергии за период могут быть оценены интегрированием (1.3.12) в пределах от 1 до 1+ Т: гг- г г+г (1.3.13) $ Е4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕВАНИЯ Если на колебательную систему с потерями действовать периодической силой, то возникают вынужденные колебания, характер которых в той или иной мере повторяет изменения внешней силы.
Рассмотрим простейшую механическую систему (рис. 1.4.1), на которую действует внешняя сила, генерируемая магнитным полем и изменяющаяся во времени по закону г" (1). Применяя закон Ньютона, получим т-дГ+гь+ — 1 ="(1) (1.4.1) 'Если начальная скорость равна й„а потенциальная энергия— нулю, то начальный запас колебательной энергии тЦ,г2. Чем больше отношение полного запаса энергии к энергии потерь за период, тем больше полных колебаний успеет сделать система до остановки. Поэтому отношение начальной энергии к энергии потерь за период служит энереетической характеристикой затухания: — — — — (1.3.
14) Согласно (1.3.8), величина «г,тгг, входящая в формулу (1.3.14), равна добротности г4. Обозначив полную колебательную энергию 'йт„=пгсэт2, а энергию диссипации за период гР,=г1,Т!2, получим (1.3.15) Это соотношение позволяет найти добротность системы, когда известны полная энергия Уг'„колебаний и потери энергии (У, за период. где т, г, с — масса, механическое сопротивление и гибкость системы. Если закон Р(() представляет собой сложную функцию времени, то решение этого линейного неоднородного уравнения можно свести к решению задачи о колебаниях под действием гармонических сил, поскольку почти во всех случаях нестационарные силы, действующие на колебательную систему, описываются функциями, которые можно представить в виде ряда или интеграла Фурье. Таким образом, сложная задача о вынужденных колебаниях может быть сведена к более простой — решению дифференциальных уравнений вида лг--+'4+ — $(() с((=Езсоз М, йэ йг с ~ ((.4.2) где ш — круговая частота возбуждающей силы.
Здесь и в последующих главах будем приме- Рис. 1.4.1 нять метод комплексных величин. Его сущность состоит в том, что круговые функции, встречающиеся в некоторых задачах теории колебаний, заменяют комплексными зкспоненциальными функцияыи по формулам Эйлера: е!и'=сов пй+! з!п ыб 1 соз юг= — (еуиг+е уиг), 2 (1.4.3) 1 мп ой= — (еуей — е lыг). 2/' В результате получают решение в виде комплексной функции. Действительная часть этого решения является искомой функцией, если операции при решении задачи были линейные.
Следует заметить, что при всех линейных операциях (таких, как сложение, дифференцирование, интегрирование и др.) применение комплексного метода значительно упрощает расчетные соотношения. Напримср, требуется найти сумму нескольких гармонических функций: совы!+сов(ыэ+Чь)+сов(ыг+2гр)+...+сов ((ий+(т — !) ф). Тогда вместо проведения довольно громоздких операций над гармоническими функциями каждый член искомой функции заменяют соответствующей комплексной (экспоненциальной) и проводят операцию суммирования над комплексными функциями: еьмг+ е Наг+ ть + емы'+ эт! +...
+ е ! !иг т !т = еды (1+ еут+... + емт мч). Учитывая, что в скобках стоит геометрическая прогрессия со знаменателем елим е)т, получим елм . Действительная часть этой комплексной функции есть егв — 1 сумма гармонических функций. При всех линейных операциях выполняется правило: сумма действиннльных слагаемых равна действительной части ргзулыната, а,сумма мнимых слагаемых — мниМой части.
!7 Нетрудно показать, что это правило йе распространяется на нелинейные операции, в частности на умножение комплексных чисел, и комплексный метод в этом случае неприменим. Однако, если необходимо вычислить квадрат амплитуды, можно воспользоаатьсп другим правилом; произведение комплексного числа А аеуе на комплексно-сопрлженное В* =Ье уе равно произведению модулей веник чисел: А В* = аЬ. (1.4.4) Решение неоднородного уравнения (1.4.2) будем искать в виде суммы общего решения $х однородного уравнения 1 т$т+гйт+ — $т-0 и частного решения са уравнения с правой частью (1.4.2) тЬ+ гР+ —, й, - Га.соз ю(. 1 Первое совпадает с дифференциальным уравнением затухающих колебаний.
Его решение и представлено формулами (1.3.4) и (1.3.6). Для нахождения частного решения уравнения (1.4.2) запишем его в виде уравнения для скорости т — „,'+ба+ —, ЬЖ=Р.совы! (1.4.6) — „~ +г$+ — $ е!(=Р,егчг. (1.4.6) Допустим, что решение (1.4.6) существует в виде комплексной экспоненциальной функции (1.4.7) где р — частота вынужденных колебаний. Простой подстановкой (!.4.7) в (1.4.6) получим тождество ~!Р+ + — ~$~Ы~'=Р,ег е )рс (!.4.8) из которого следует, что частота р вынужденных гармонических колебаний равна частоте ит вынуждающей силы: р гон (1.4.9) т.
е. частота вынужденных колебаний не зависит от параметров системы. 18 и воспользуемся методом комплексных функций. Согласно этому методу, будем искать решение уравнения, отличающееся от (1,4.6) только тем, что сила ге сов аз1 представляется символически в виде комплексной экспоненциальной функции Рвеу ', а искомая функция заменяется в нем комплексной функцией с(1). Иначе говоря, вместо (1.4.5) будем решать уравнение с комплексными функциями: l 1 ) г = г+ !' ~ о)т — — ) = гое)ч, вс ) (1.4.1 1) где г, = !с го+~а)т — — ), ф=агс[я 1 )о вт — 1(бос) (1.4.12) вс,) ' с С учетом этих соотношений формула комплексной амплитуды скорости (1.4.10) имеет вид (1.4.1 3) г 1 со+ [вт — 1)'(вс)[о а решение (1.4.7) при р = о) представляется комплексной экспоненциальной функцией $ = $ ЕЛМ = — оЕ1(втт), (1.4.14) го Проводя операцию интегрирования (!.4.14),. получим искомую комплексную функцию для смещения $ о еувс о Е)'(в) — ч — тг) (1.4.15) [в вго Реальные части комплексных функций (1.4.14) и (!.4.15) полностью отвечают физическим процессам при вынужденных стационарных колебаниях: $о = — ' соз (а)! — )р) = ' соз (о)! — ср), (!,4.16) го !' со+ [вт — 1)(тс)!о Р, и) $о = — соз (со! — ср — — ).
вг, 2! Полное решение задачи о вынужденных гармонических колебаниях механической системы содержит решение для свободных колебаний (1.3.4) и решение (1.4.17): $=$1+$о $= е-в"А сов (о)о! — а)+ — „,' соз (о)! — ф), (1.4.18) где 8=г!(2т); А и а — амплитуда и фаза, которые находят по начальным условиям; о)о — собственная частота свободных колебаний.
19 Комплексная величина Б определяется амплитудой го и частотой о) вынуждающей силы и, кроме того, параметрами колебательной системы т, г и с. Выражение для комплексной амплитуды скорости $ легко получить из (1.4.8) с учетом (1.4.9): +! [вт — 1((~ )! ' (1А.10) Комплексную величину, стоящую в знаменателе формулы (1.4.10), называют комплексным механическим сопротивлением, или механиЧеским импедансом колебательной системы: Первое слагаемое (1.4.18) дает представление о переходном процессе, который длится в течение времени т=1/8.
Спустя некоторое время (!~т), оно полностью обратится в нуль и наступят установившиеся вынужденные колебания. Анализируя выражение для амплитуды скорости колебаний (1.4.16), заключаем, что она максимальна при условии 1 вт — — =О, вс 1 1о так как г,=)// го+(вт — — ) = г. вс) Отсюда следует, что частота вр, при которой скорость имеет максимальную амплитуду, совпадает с частотой собственных незатухающих колебаний механической системы: г г'= —, 5о==. с оор Тогда из (1.4.11) с учетом (1.4.19) следует .омл — 1/(вс),, орм/ со со,) с о -г 03 Л= —, О)р или г' =1+!Оу=.гое", (!.4.20) где 1~ †добротнос; у =в/вр — вр/в — частотная переменная колебательной системы; го =го/г =~ 1 + 1;)ото — модуль приведенного комплексного импеданса; ср = агс1йф — фаза импеданса относительно силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
