Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Подставляя в (1!.1.4) и (11.1.5) выражения главных векторов и главных моментов соответствующих сил (Г = ~'„Г„; К = 2, К„; Ф = =~'„Ф,), получим уравнения движения несвободной системы: Г+К+Ф=О, М (Г)+М,(К)+М (Ф) =О. (П.1.6) (1!.1.7) Таким образом, для составления уравнений движения сложной механической колебательной системы, состоящей из отдельных звеньев с массами т„моментами инерции 1м й ограниченными связями Ко находят для каждой массы и каждого момента инерции выражения результирующих сил и моментов сил, записывают для каждого узла формулы сил инерции и моментов сил инерции и образуют уравнения (П.1.6) и (П.1.7). В общем случае получают 61 уравнений (1 в число звеньев системы). Метод Даламбера удобно применять для таких колебательных систем, в которых не очень сложно найти выражения сил и моментов сил реакций связей, например для колебательных систем, в которых элементы массы, упругости и сопротивления расположены вдоль системы.
В качестве примера использования метода Даламбера проведем составление уравнений движения акустической системы, показанной на рис, П.1.1. Система состоит из узких трубок, соединенных объемами У„У„Уз. Отверстие крайней трубки открыто и через него действует избыточное акустическое давление р(1), а отверстие трубки, расположенной на краю системы с противоположной стороны, закрыто пробкой. Размеры отдельных участков системы таковы, что можно считать ее системой с массами, сосредоточенными в трубках, н с упругостями, сосредоточенными в объемах. Обозначим массы газа в трубках т„т„т„т„ а коэффициенты упругости объемов — я,, я„я,. Зная плотность уг р газа, длину 1, и площадь поперечного сечения Я трубок, найдем формулу для вычисления массы: Рис.
11.1.1 тг=(,5,р. Если известен коэффициент адиабатической сжимаемости р„газа, то коэффициенты упругости отдельных объемов могут быть вычислены по формулам 6ряг 51 яг = — =— 6Уг13г Уг(1,з ' Наконец, коэффициент сопротивления пробки приблизительно может быть вычислен по формуле Пуазейля: г=32Ч( — „,) —, где г) — вязкость газа; Ф вЂ” число выходов капилляров на единицу площади поперечного сечения пробки; д — средний диаметр каналов. Рассматриваемая система имеет центры масс, расположенные в состоянии равновесия в средних частях трубок. При движении каждая из масс получит смещение вдоль оси трубки. Обозначим эти малые смещения от положения равновесия х„х„х„х,.
На массу т, будут действовать составляющие упругих связей, возникающие вследствие деформации объема Уг за счет перемещении х, и х,: — я,(х, — хз). Кроме того, на него действуют внешняя сила рЗ и сила инерции — т,х',, Складывая эти силы, согласно принципу Даламбера, получим первое уравнение движения: т,х,+я,(х,— х,) = рЯ.
На массу т, действуют реакции упругих объемов Уг и Уз: — я,(х, — х,); — я,(х, — хз) и сила инерции — т,х,. В результате получим второе уравнение: тзхз + яз (хз — хз) + яг (хг — хз) = О. Аналогично составляют третье уравнение: тзхз+яз(хз — х,)+яз(х,— х,) =О. При выводе четвертого уравнения к силам реакции, имеющим упругий характер, необходимо добавить силы вязкого трения газа 3! в капиллярах пробки — гхз. В результате этого получим тзхз+ яз (хз хз) + Гхз = О. Метод Лагранжа.
Для сложных колебательных систем удобно пользоваться уравнениями в обобщенных координатах. Напомним, что понимают под обобщенными координатами. Материальные тела можно рассматривать как систему материальных точек. В случае, когда связи наложены только на координаты и выражаются уравнениями 1~=)г(г,, г„..., г„) (П.1.8) (! = 1, 2, 3,..., в; и — число материальных точек, составляющих систему), из общего числа Зп координат, 'определяющих положение системы, независимыми оказываются Зп — в. Остальные связаны уравнениями (П.!.8). Системы, подчиненные лишь геометрическим ограничениям, т.
е. уравнениям, в которые входят только координаты, но не входят скорости перемещения точек, называют голономными. Радиусы- векторы точек голономной системы при стационарных связях могут выражаться через функции независимых переменных, которые называют переменными Лагранжа, или обобщенньгми координатами, о„, о„..., оз„,. Эти функции образуют и векторных уравнений га = га (уз Чз ° ° ° Чзл -з) (П, 1.9) которые называют уравнениями системы.
Большое значение для теоретических исследований имеет общее уравнение голономных'систем с удерживающими и совершеннь.ми связями. При этом под совершенными понимают такие связи, для которых работа реакции сил на допустимых этими связями возможных малых перемещениях системы равна нулю. Удерживающие, или двусторонние, связи те, которые допускают перемещения как в одном, так и в противоположном направлениях. Для указанных механических систем сумма работ сил реакций связей и даламберовых сил инерции на всех возможно малых перемещениях системы из любых положений, которые она занимает при действительном движении, равна нулю: (П.!,10) Соотношение (П.!,10) есть общее уравнение движения материальной системы с удерживающими совершенными связями.
Оно позволяет, если воспользоваться (П.!.9), вывести уравнения движения, соответствующие методу Лагранжа. С этои целью проведем преобразования (П.1.10) к обобщенным координатам д„д„..., дь Для сокращения записей сумм условимся опускать знак суммирования во всех одночленах, множители которых имеют одинаковые индексы.
Например, выражение 2:А;В,=А,В,+...+А,В, согласно этому пра. нилу будем записывать сокращенно, без явного знака суммирования! А;Вп В сокращенной записи общее уравнение движения имеет вид [К~ — (тг)~~ бг; = О. (П,!.11) Если перейти в (П.1.1!) к обобщенным координатам, то первые члены, выражающие работу сил связи, преобразовываются к формуле й» бг, = й, д" бд» = !г» бд», (П.1.! 2) дв» где Я» = К, — — обобщенная сила, соответствующая обобщенной коордгс дч» динате о» и созданная силами, приложенными к точкам системы.
Проведем преобразование суммы работ, выполняемых силами инерции: дг; ~д Г . д01 . дг;1 — (тг), бг, = — (тг), — 'бу» = — ( — ~(тг), — 1 — (тг)~ — ') бд». дв» !Ж ( дд» ~ дв» ) (П .1.13) Используя выражение кинетической энергии для всей системы т = — (т;.;+ тД+... + т;',), найдем от нее частные производные по обобщенной координате и обобщенной скорости: дТ . дг» дг» дг~ — = т,г,— +»п,г, +...=(тг),—, дч» ' дч» » дч» '' дч» ' д ' дг, . дг~ — Т = т,г, +... = (тг); —. дд» дд» ' дд» Используя очевидное равенство дгудд» = дгудо», получим: (тг), — = —, (тг); — = —.
дг~ дТ дг~ дТ (П.!.14) дв» дя» ' ' дд» дй» ' Сравнивая (П.!.14) с (П.1.13), выразим работу сил инерции в виде — (тг)~ бг~ = — ~-- ~ — ) — — з!. Г д ( дТ ~ дТ 1 (П.!.15) ! д) (, д4») дч» ~' Используя (П.1. П) и (П.!.15) в формуле (П.1.10), запишем общее уравнение движения материальной системы в обобщенных координатах: (Я» — ~ — (-Ỡ— ) — д 1! бч» = О.
(П.1.16) »=1 Вследствие того что перемещения а» независимы, уравнение (П.1.16) разделяется на ! уравнений: ГдТ ~ дТ вЂ” „,-~' — „,,~ — дд, =а, (й=1, 2, 3, ..., 1), (П.1.17) которые называют уравнениями Лагранжа второго рода. Предполагая, что силы Я» имеют потенциальный характер (Я= — дУ,'дд»), и вводя г л, Ф, ле»»нди» Зз еще отдельно-силы вязкого трения гго= — дЧ71дд„выразим уравнения движения в виде общих уравнений Лагранжа второго рода: ГдТ1 дТ ды даг — — — — — — — — +~ (1, ж), (11.1.18) Ж, одо) до дчо дяо где У вЂ” потенциальная энергия сил реакции и объемных сил; Ж'— энеРгиЯ РассеЯниЯ 1(о'(4)); Ео(1, д~) — внешние силы, пРиложенные к отдельным частям системы.
Энергия системы с двумя системами свободы. Для составления уравнений движения механической колебательной системы необходимо найти потенциальную, кинетическую энергии и функцию диссипации. Рассмотрим колебательную систему с двумя степенями свободы. Пусть уравнения системы известны и заданы функциями х, = х, (д„цо), хо = хо (а„~)о).
Тогда полная кинетическая энергия системы Т=(т,х,'+глох,')12 в обобщенных координатах получается путем следующих преобразований: l дх, дхо . '~о Г дх, дхо 2Т=га ' — '4 + — 'а ~ +щ ~ — '1) + — 9о1 дх, дхо дхо дх, 1 + 2 ~ гл, — — + шо ' — ~ Ц~ао = оо ог) Ао. о дно доо о дно дчо ~ Здесь го;о — функции обобщенных координат а, и ~)„которые можно представить в форме степенного ряда относительно приращений обобщенных координат от тех значений, которые они имели, когда система была в состоянии равновесия: соей ) (Ч01+ Ч1 Чой+ Чо) ~о+ 1. 91+ д ~ Чо+ ' ' ' ( д)1 1 дно !'о ~ ддо ~о Ограничиваясь только первым членом разложения, получим Тогда кинетическая энергия колебательной системы с двумя степенями свободы выражается квадратичной формой: 1 9 Т= — (ама, + 2а,о1)ог)о+ аоАо).
Поскольку кинетическая энергия всегда положительна, то ам~О, аоо~О, а„ам — а'„'= О. (11.1.20) Для получения формулы потенциальной энергии как функции обобщения координат представим У (~)„ до) в виде степенного ряда: / дУ 1 и О)„+ )„д„+д,) =и„„...+~( —,~~ д,+ 34 Известно, что потенциальная энергия системы, находящейся в положении равновесия, имеет минимальное значение. Положим это значение равным нулю: ()„, „, = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
