Лепендин Л.Ф. - Акустика, страница 8

дв Фазы колебаний энергии парциальных частей сдвинуты так, что энергия колебаний периодически переходит от д,",Ыу, д~,ем3'~ 4оал3' одной части системы к другой. Главные координаты системы. Выбор обобщенных координат произволен. Однако среди всех возможных систем координат, которые могут быть приняты для решения задачи, можно найти такую систему обобщенных координат Ч, и Ч„ которая позволит записать кинетическую и потенциальную энергии в виде выражений, содержащих только квадраты скоростей и координат: 1 7'= — (аЯ+а, ~), (з1Ч1+ зоЧо) 2 (П.1.36) Указанную систему координат называют главной. Можно показать, что между произвольными д, и д, и главными Ч, и Ч, координатами существуют следующие соотношения: (П. 1.

37) д1 = Ч1+ "Ъ да = К1Ч1+ КоЧо где К, и Ко — коэффициенты распределения. 40 Путем геометрического сложения вращающихся векторов (рис. П.1.5) найдем: 71 = в,1+ а» у, = (в, + е) 1+ а„у (в, + е)2) 1+ р1 -. в,1+ [),] и д, = А, (1) соз (в,(+ р1), д, =- А, (1) сох (в,(+ ро), (1! .1. 34), где А, и А,— амплитуды колебаний парциальных частей системы: При этом параметры системы в главных координатах выражают формулами: аг = агг+ 2аыКг+амКг а, = а„+ 2а„К, + а„К'„ з, = з„+ 2зггК, + зггК'„ зг = зы+ 2зиКг+ зггКг (1!,1.38) Дифференциальные уравнения колебаний системы с двумя степенями свободы в главных координатах имеют вид двух независимых уравнений второго порядка: а Ч, + згЧ, = О, агЧг+ згЧг = О. (!1.1.39) Решениями этих уравнений являются формулы для нормальных колебаний: 11, =.

Сг соз (ыг(+ Рг), Чг = Сг соз (ыг!+ Рг), (11.1.40) где ффр, и рг — постоянные, определяемые из начальных условий Чг = Чьг Чг= Чго Чг = Чм Чг = Чга пРи 1=0. (11.1.41) Собственные частоты колебаний системы в главных координатах выражают формулами: ыг=-Р "(а. ыг=Узг)аг (П.1.42) 41 Частоты главных колебаний ы, н ыг не зависят от системы координат, которая выбрана для расчетов, поэтому (П.!.42) совпадает с теми значениями частот, которые получают при решении характеристического уравнения (11.1.28).

Решение (1!.!.40) показывает, что каждая главная координата Ч, или Ч, подчинена гармоническому закону колебаний с частотой, равной одной из главных частот системы ы, или вг. Введение главных координат, несмотря на сравнительную простоту формул для колебательной системы, практических выгод в проведении расчета колебательных систем не дает. Однако понятие о главных координатах имеет большое теоретическое значение, особенно при изучении вынужденных колебаний системы.

Нахождение главных координат сводят к следующему: выбирают обобщенные координаты, стараясь взять такие, в которых наиболее просто выражаются кинетическая и потенциальная энергии системы; находят параметры системы в этих обобщенных координатах; по формулам (11.1.29) и (!1.1.38) вычисляют коэффициенты распределения К„К, и параметры системы относительно главных координат; наконец, по формулам (11.1.37) находят главные координаты. Затухающие колебания системы с двумя степенями свободы. Пусть на механическую колебательную систему с двумя степенями свободы наряду с консервативными силами действуют силы сопротивления, пропорциональные скорости.

Требуется найти зависимость координат этой системы от времени. В качестве обобщенных координат системы используем главнье координаты я1, н Ч,. Тогда в выр.жения кинетической и потенциальной энергий пе войдут члены, содержащие произведения обобщенных скоростей и обобщенных координах. При этом 1 „, 1 т = — (а Ч'+а Чз), и = — ( Ч'+~,Ч1). Запишем уравнения Лагранжа второго рода для данной механи- ческой системы: д ТдТ1 дт ди д1,дч, ) дч, дч, дч, д (дт ! дт ди д1а Ш ~дз1,l дч, дпя дя, (П.!.44) Подставляя в эти уравнения выражения для кинетической и потенциальной энергий и учитывая диссипативную функцию (П.1.43), получим уравнения движения системы: а,Ч, +Ь,Ч,а ЬЧ,+я,тих=О, аяЧз + ЬЧ з + ЬзЧз + ЯзЧз = О.

(П.1.45) Решения этих уравнений будем искать в форме экспоненциальных функций: Ч, = С,е"', Ч, = С,е"'. (П.1.46) Подставляя (П.!,46) в (П.1.45), получим: С, (а 6'+ Ь,р + я,) + С,Ь() = О, С,Ь6+ С, (а,6'+ Ь,р + я,) = О. Условием совместимости этих уравнений является равенство нулю главного определителя: ~~+ Я~+ з ~ О (П1.4 Ь() ~,()з+ Ь,() + ~, Вследствие того что Т, () и )Р' выражают положительными и знакоопределенными квадратичными формами, параметры системы удовлетворяют следующим неравенствам: а,)0, а,)О, я,)0, я,- О, ЬЬ,— Ь')О, из которых следует, что коэффициенты характеристического уравне- ния (П.1.47) положительны. Это уравнение четвертой степени.

Его решение состоит из четырех корней, попарно сопряженных. Для характеристики сил сопротивления введем дисснпативную функцию, или функцию рассеивания, которая для малых колебаний может быть представлена в виде однородной квадратичной формы обобщенных скоростей: )Р = —,' (Ь,Ч;+ 2ЬЧ,Ч, + Ь,Ф. (П.1.43) Движение системы осуществляется с рассеянием энергии, а потому координаты Ч, и Чэ должны убывать с течением времеви. Из этого следует, что вещественные части решений должны быть меньше нуля, и комплексные величины р выражаются формулами: р1= — 61+1а21* р1 = — 61 — 12>1 (1!.!.49) где 6, и 6, положительны. Каждому корню р1, ()1; Р„'р2 соответствуют два частных решения: Чн = С;1еа ', Ч,*, = С,*,еэ( ', Ч12 = С";2еа'-1, ч",2= С ев '.

Ч„= С„еа1, ч„=с„е ', т)„=С„еаи, Чэ,=С,эеа", Р1 (!) = А, соз (р(+ а), Е2 (!) = А2 соз (р)+ 22) (11.!.52) 43 Выделяя реальную часть этих, комплексных функций, находим общее решение для первой и второй главных координат: Ч1 =- е — ен (А'," сох и ! -р В,' я и 22,!) + + е 2 ' (А" ,сов 1в2!+ В'," 2 51 ьх,!), Ч, = е -' ' (А.'," соз щ1!+ В," 2!вы,!)+ +е 2'1(А2" сох и2! — В2"' 21п я !), где 91 = 3~'221 — 6'„гв2 = ) '221 — 6-"„ы1 и ы, — главные частоты системы.

В общем случае, как это видно из (11.!.50), колебание каждой координаты (Ч, или Ч,) состоит из наложения двух затухающих колебаний, соответствующих своим частотам и коэффициентам зату- хания. Вынужденные колебания механической системы с двумя степенями свободы. Если система с двумя степенями свободы находится под действием внешних сил, то колебания будут состоять из наложения. свободных затухающих колебаний и вынужденных.

С течением вре- мени свободные колебания полностью затухнут и система войдет в режим установившихся колебаний. Рассмотрим вынужденные установившиеся колебания. Математическое решение задачи сводят к случаю отыскания решения системы уравнений второго порядка с правой частью. Для системы с двумя степенями свободы ими будут уравнения Лагранжа, когда их правые части соответственно равны обобщенным внешним силам. Когда в качестве обобщенных координат системы взяты главные координаты Ч, и Ч„система дифференциальных уравнений имеет следующий вид: п1Ч1+ 61Ч1+ йЧ2+ 21Ч1 = Р1 (!), а Ч2+ЙЧ1+6 Ч +э Ч2 В2(!)' Рассмотрим случай, когда обобщенные силы — гармонические функции времени: и найдем решение (11.1.5!) для установившихся колебаний, т. е.

частное решение системы уравнений. Будем искать его в виде реальных частей функций комплексного аргумента: Ч~ = Ч„е)в', в)в = 1) „е'Р', (11.1.53) где Ч„и ׄ— комплексные амплитуды вынужденных колебаний. Подставляя (11.!.53) в (!1.1.52), предварительно представив обобщенные силы в виде функций Р,(!) =А,е'Р', Р,(!) =А,е)Р', получим: ( ~Р )Р ~ в) Чвв !Р Чвв ~ (11 1 54) ( — пвР'+ !'РЬв+ ) Чв. + )Рйпм = Ав Решив зту систему уравнений, найдем формулы для вычисления комплексных амплитуд вынужденных колебаний: ( — а,р'+ )Ь,р+ вв) А, — )ЬРА, ( — а,рв+)Ь,ра И) ( — авр'+)Ьва+вв) — Ьврв' ( — а,рв+!Ь,р+в,) А,— )ЬрА, ( — авр +)ьвр+вв) ( — авв и !ьвр+вв) — ыр (!1.!.55) В частности, для случая, когда частота вынужденных колебаний совпадает с одной из резонансных, например р' = ы; "=з,7а„возни- кает явление резонанса одно~о из колебаний и формулы (11.1.55) примут следующий вид: )ЬврА, — )ЬРА, )Ь,р ( — а,рв+)Ьвр+вв) ' Ав)Ь,р — !ЛрА, )Ь,р ( — а,р'+)Ь,р+вв) ' (П.!.56) А,)Ь,р Чвв =;Ь„(- аврв+)Ь,р+.,) ' Ав)Ь,р )Ьвр ( — а,р'+) Ь,р+вв) ' (П.1.57) Формулы (1!.1,57) позволяют сделать расчет устройства, которое в механике называют гасителем колебаний.

Эта система с двумя степенями свободы, причем на первую координату Ч, действует сила, частота которой равна первой собственной частоте, а на вторую внешняя сила не действует. Тогда по (!!.1.57) (П.!.58) = Ь,р ( — а,р +;Ь,р+в,) Это значит, что данное устройство обладает свойством не пропускать на вторую координату действия сил, приложенных к координате Ч„ 6сли частота действующей силы равна первой частоте собственных колебаний системы, 44 Если система не содержит взаимозависимых сил трения, так что в формуле функции рассеяния (диссипации) 5= 0, то Примерами таких систем являются двойной амортизатор, радиотехнический фильтр-пробка, успокоитель качки корабля и т. д.

В заключение заметим, что для получения окончательных формул вынужденных колебаний выражения (П.1.55) — (П.1.58) надо преобразовать к виду, содержащему модуль и фазовый множитель комплексной функции, по известным правилам преобразования комплексных чисел и оставить только вещественную часть этой функции. Например, по (П.1.58) А,Ь,Р ЬеРА,ета Ь,Р ( — аер'+/ЬеР+ее) Ь,р 1: (и — аере)е+(Ьер)е е'Ф ,та „, ~Ь, 1: (е а рер Ыре где се — начальная фаза внешней силы; р =агс1д Ь,р ее — ер' Вещественная часть решения имеет вид и, = А, — . соз (р1 1- и — р).

Ь ! Ь1 1' (а.— аер')'+Ь~ре Если колебательная система состоит из и частей с массами т„, упругостями з„и сопротивлениями г., связанных друг с другом, т. е. имеет и степеней свободы, то ее колебания отличаются от колебаний системы с двумя степенями свободы, в основном тем, что вместо двух собственных частот и двух форм нормальных колебаний она имеет и собственных частот и п форм нормальных колебаний. При воздействии синусоидальной силы, приложенной к одной из частей системы, во всей системе возбуждаются сложные колебания, которые состоят из свободных колебаний с частотами, равными собственным частотам системы, и вынужденных колебаний с частотой внешней силы.