Лепендин Л.Ф. - Акустика, страница 4

Отношение комплексной амплитуды скорости $о к амплитуде скорости при'резонансе может быть вычислено по формуле $о Р/г 1 1 г/с г Учитывая (1.4.20), получим 1 $~= Г'1+Е~ ао вр — — ) сТ/(тс) . (1.4.19) При этом максимальная амплитуда скорости равна $о,„=Ро/г, а фаза ~р совпадает с фазой внешней силы. Явление, при котором амплитуда скорости достигает максимального значения, называют механическим резонансом. Для анализа характеристик вынужденных колебаний удобно -пользоваться безразмерными величинами. Введем безразмерные импе- данс г', частоту и и скорость 5' как отношения соответствующих величин, когда система имеет частоту в, к их числовым значениям при частоте резонанса сор. 1 до йа йг арр ООО 1 1ОЕ 1ОЫ вЬ, РО Рив 1.4.2 В отличие от свободных колебаний поведение колебательных систем под действием гармонической силы определяется не только параметрами системы, но и частотой внешнего воздействия.

Мы ви- дим, что смещение, скорость и ускорение вынужденных колебаний имеют частоту, не зависящую от параметра колебательной системы, и выражаются, формулами: $ = $, соз (а! — а), $ = — а$, з1п (а! — а), 3 = — а'з, соз (в! — сс), или при использовании безразмерной частовы; $ = $, СОЗ (Па,( — сг), $ = — паа$а з)п (паао — сг), $ = — и'ао$, соз (па,( — а). (!,4.21) Для сравнения сил, определяющих поведение системы при различных частотах, подставим (1.4.21) в (1.4.1): — нг$,п'ао соз (пас( — а) — гзапаа з 1п (па,! — сг) + + — соз (па,! — сг) = г,соз па,!. (1.4.22) 1 Первый член тождества — это сила инерции, второй — сила вязкого трения, третий — сила упругости. Тождество выражает условие динамического равновесия суммы этих сил с силой внешнего возбуждения. При частотах, значительно меньших резонансной (и<,'1), роль первых двух сил ничтожно мала, так как их сумма значительно меньше силы упругости.

В этом случае внешняя сила уравновеши- На рис. 1.4.2 даны резонансные кривые колебательных систем с разными добротностями (зрз,— отношение амплитуды колебательной скорости к соответственной амплитуде колебательной скорости при резонансе (а) и чг — сдвиг фаз между силой и колебательной ско'ростью (б)]. а) д) игра вается практически только силой упругости и можно сказать, что система управляется упругостью. Тогда (1.4.22) принимает вид Ро соз (пью)) = — ' соз (пгэ,1 — а). с Если система управляется упругостью, то частота вынуждающей силы меньше резонансной, фаза смещения совпадает с фазой силы, а амплитуда смещения определяется формулой $,=сР,. При частотах возбуждения гэ, близких к резонансной частоте гэр — — гэ„главную роль играют силы трения, Действительно, при и=-1 (1.4,22) можно представить в виде — — лкэо~ $, соз (гэ,( — а) — ы,г з(п (гэ,1 — и) = Р, соз (ы,1).

( ) 1 2 с Так как ыэ = 11(тс), то первое слагаемое равно нулю. Остается только слагаемое, выражающее мгновенное значение силы сопротивления: маг з1п (гэо( сг) $о = го соз <~ог Полученное равенство должно выполняться при любом значении времени 1. Отсюда следует: з(п(ы„1 — а) =созга,( и Г,=гэ,г$,.

Из первого равенства получаем и= — и!2, а из второго следует, что если частота совпадает с резонансной, то фаза мгновенного смещения не равна фазе вынуждающей силы, а превышает ее иа и!2 и амплитуда смещения пропорциональна силе и обратно пропорциональна частоте в,: во = ~о!(~>ог). Точно так же можно показать, что при резонансной частоте (и=1) фазы скорости $ и вынуждающей силы Р совпадают. Заметим, что для систем, управляемьщ трением, силы, возникающие на упругом элементе, и силы инерции равны по модулю, но противоположны по направлению, поэтому происходит их компенсация. Наконец, при условии, когда частота внешнего воздействия значительно больше резонансной (и==; 1), действия снл упругости и трения во время колебаний системы пренебрежимо малы и система управляется массой.

Можно показать, что в этом случае фаза ускорения совпадает с фазой силы, а амплитуда ускорения равна $, = = Ро!лг. Итак, колебательные системы условно можно разделить на системы, управляемые упругостью, трением и массой. Особенности подобных систем полностью выявляются на основании анализа частотных свойств импеданса. Ро . У" 1 ~+ ~~з,Я влг $а где у — частотная переменная; у = п — 11п, п = а/ы„гр = агс(й уЯ. (1.4.23) При низких частотах (и<.'1)' частотная переменная у — 1)п, откуда следует, что нмпеданс е обратно пропорционален приведенной частоте и: е ~з~ ~г=г' 1г' 1+Як —, г —. При этом колебательная скорость гз 5з = — и соз (пг1 — гр), где гр=агс1йуЯ=агс1я( — со) = — пг2 при п~,'1е.

При частоте, близкой к резонансной, частотная переменная у= 0 н импеданс выражается только механическим сопротивлением г. Тогда амплитуда и фаза скорости равны Ве = ге!г и гр = агс1й (уЯ) О. Это случай системы, управляемой трением. Если частота больше резонансной (п )) 1), то частотная переменная, входящая в формулу импеданса, у и, и импеданс может быть вычислен с помощью формул у и, еа а. г = гЯе, где гр = а ге 1д (г,"т) - пг2. Соответственно комплексная скорость определяется формулой — з е — гпггЕ/амэг. гз ггеп Действительная часть ее является гармонической функцией: г"р г' и 'г $ = — соз ~ггог 1 — — ~.

— гпп ~ е 2) Это случай системы, управляемой массой. Здесь скорость отстает по фазе от внешнего воздействия на 90'. Ускорение $ = — ''соз поге1 = е совпадает с силой по фазе и имеет амплитуду, не зависящую от частоты воздействия и определяемую амплитудой внешней силы и параметрами колебательной системы. Отметим еще раз следующие особенности колебательного движения перечисленных выше систем: для системы, уггравляемой трением, амплитуда скорости колебаний не зависит от частоты, а скорость совпадает по фазе с дейспгвуюигей силой; для системы, управляемой ' Прн низких частотах колебательная скорость опережает силу Р по фазе па +пг2 н имеет амплитуду гзг(гг)). г 3 '2 = г'рг1+ (',)ауа откуда следует 1 2Лы у Я (!.4.24) где 2Лв — ширина полосы пропускания на уровне 0,7079; 1Я = — у„„= т! — коэффициент потерь.

Согласно (1.3.8), добротность равна отношению инерционного сопротивления при резонансе к коэффициенту трения: !)=ваш)г. Отсюда следует, что коэффициент потерь выражается формулой ! ч= — =— Я югл (1.4.25) или, поскольку при резонансе инерционное сопротивление ыеш равно упругому !)(ы с), Ч = гыес Покажем, что задача о вынужденных колебаниях, когда система находится под действием нестационарной силы, сводится к задаче о гармонических вынужденных колебаниях. Для случая, когда функцию г (!) можно разложить в ряд Фурье, Р (!) = ~ ', А те, соз (шт! — гр„), э=о (1.4.26) упругостью, от частогпы не зависит смещение; для инерг(иональной системы ускорение не зависит от частоты.

Этн закономерности используют при конструировании приборов для измерения амплитуды колебаний. Одним из условий для этих приборов является независимость их показаний от частоты. В связи с этим для измерения амплитуды скорости используют системы, управляемые сопротивлением (датчики скорости), в датчиках же смещения применяют систему, управляемую упругостью; в датчиках ускорения — систему, управляемую массой. Для характеристики остроты резонансной кривой существует понятие ширина полосы пропускания, под которой подразумевают область частот, где колебательная энергия больше половины энергии при резонансе.

Тогда скорость, соответствующая границам полосы, Равна 2е( 2. Для практических вычислений удобно использовать формулу импеданса (!.4.23). Для области частот вблизи резонанса частотную переменную можно привести к виду у=2бш/юе. Частотную переменную, соответствующую границам полосы пропускания, получают из следующих соображений; импеданс границ полосы пропускания равен г Зг2, но с„а = $аЯ' 2 = Го)(г)г2), поэтому, взяв модуль от г из (1.4.20) и приравняв его к г )Г2, получим где 11!2 при т = О, 2п е = во = с — =тв; 1 при о=~0; т А, = —,~ ~ Р(!) созв,.!о(!) + ~~ Р(1)з(пв,(с(1) ~; 'со 1л т ) Р (1) яп в гас ср = агсМ ' г (1) соо вогШ Тогда уравнение вынужденных колебаний запишем в виде и ф+ 㠄— '+ — $ =~~~~А,е„сох (в,! — сро).