Лепендин Л.Ф. - Акустика, страница 2

Поясним это на примере движения стенок упругого тонкого кольца. Пусть в начальный момент времени упругое кольцо с радиусом а, толщиной с( и высотой Ь равномерно растянуто и имеет радиус а+в„а затем освобождено. Под действием сил упругости стенки кольца придут в движение, во время которого сумма кинетической и потенциальной энергии, если пренебречь потерями, остается постоянной. В момент времени 1 кинетическая энергия равна 2паЬс(р$а!2, а потенциальная — произведению плотности энергии растяжения Евау2 на объем кольца 2паМ. Здесь р — плотность; Š— модуль Юнга; ив относительное удлинение периметра кольца, равное 12п(а+в)— — 2па)!2па = 3уа; р — мгновенное увеличение радиуса кольца.

Сумма энергий в момент времени 1 равна паЫ(р$з+Ева/аа), а приращение полной энергии за время с(1 2паМ (рзч+ЕК!а)Ж-О, После сокращения на множитель 2паЫ~Ж получим дифференциаль. нос уравнение радиального движения стенок кольца. Оно имеет внд (1.2 4), только соз - —. Е о (оэр) Рассмотрим процессы, протекающие в простейшем колебательном контуре с емкостью С" и коэффициентом самоиидукции Е.

При этом введем следующие ограничения для данной электрической системы. Будем считать, что Е не зависит от силы тона, электрическая емкость С не зависит от заряда д, а сопротивления соединительных проводов так малы, что их можно не учитывать. Указанные ограничения в реальном колебательном контуре выполняются приближенно. Первые два характеризуют линейность процессов в колебательной системе. Они выполняются тем лучше, чем меньше сила тока. Что касается предположения о малости сопротивления, то примем его как первое приближение к +д Дс реальной электрической системе. С помощью переключателя (рис.

1.2.2) зарядим конденсатор С и замкнем цепь, содержащую катушку с индуктивностью Е. Под влн- Рис. 1.2,2 янием разности потенциалов на обкладках конденсатора в контуре будет существовать ток, изменяющийся со временем. Применяя к контуру закон Кирхгофа, получим и= — Е"— „',, (1.2.5) где У = С д — напряжение на конденсаторе; — Е- — — электродвижу- 1 сУ Ж щая сила самоиндукции контура; 1 + ~-. бд * В пособии некоторые электрические и механические величины обоаначеиы одинаковыми буквами. В связи с этим условимся большими буквами обозначать электрические величины, малыми †механическ. Тогда после простых преобразований получим дифференциальное уравнение вида +,,д=о, (1.2.6) Известно, что коэффициент самоиндукции 7.

и электрическая емкость С не могут быть отрицательными, поэтому коэффициент 1!((.С) в уравнении (1.2.6) больше нуля. В связи с этим обозначим его заведомо положительным числом в', = 1/((.С) и запишем уравнение (1.2.6) в виде Рд п~ +шея= 0 дп (1.2.7) ~Я/ „„+ „и=о. (1.2.8) Напомним, что для получения решения дифференциальных уравнений необходимо иметь начальные условия. В частности, для решения уравнения второго порядка необходимо знать в начальный момент времени значения искомой функции и первой производной от этой функции по времени. Допустим, что начальные условия известны и имеют вид аи и,,=и„— =и,.

"~с-а Решение (1.2.8) ищем в виде и = аеп ~+ Ьеои (1.2.9) где Р, и Р, — корни характеристического уравнения ьг~+гэ~=о. (!.2.10) Решение (1.2.10) дает два корня: В,= !во, О,= — !гэо()=У вЂ” 1) Таким образом, решение (1.2,8) имеет вид и = ае~ "и+ Ье — г"ой (1.2.1 1) Используя (1.2.9), получим систему для определения постоянных интегрирования а и Ь: и,= +ь, и,=~',( — ь). 1о При этом оно формально совпадает с (1.2.4) для механических колебаний.

Что касается существа процессов, то эти два уравнения описывают законы совершенно различных явлений. Механическое уравнение дает законы смещения тела, на которое действует сила упругости. Уравнение колебательного контура выражает закон изменения электрического заряда конденсатора, когда его обкладки замкнуты на катушку самоиндукцни. Остановимся на решении (1.2.4) и (1.2.7), обозначив искомую функцию и.

В (1.2.4) эта функция выражает смещение $ (1), а в (1.2.7) — электрический заряд д (1). Итак, Уравнение (1.2.19) выражает принцип равновесия сил. Работа суммы указанных снл на пути с($ равна нулю н выражается формулой сии 3+ Ф$1 (1.2.20) Преобразуем первое слагаемое так, чтобы выделить приращение туг скорости с($. Эти преобразования просты и сводятся к следующей операции: 1,/~~ д; с(з = р ~у) сВ = т С учетом (1.2. 21) запишем уравнение энергии (1.2.20) в /2 виде а гс т$4+ — $д5=0 нли с( ( — + — ) = О.

(1.2.22) Здесь первое слагаемое в скобках представляет собой ки- В нетическую энергию, а второе— Рис, 1.2.3 потенциальную. Уравнение (!.2.22) показы- колебании н е вает, что при гармоническом анни изменение суммы потенциальной н кинетической энергий равно нулю в любой момент времени. Интегрируя его, получаем и1и — + — = сопз1. 2 2с Используя выражения для смещения и скорости при гармоническом колебании ~ = 5с сов (сии(+а) ь) иьисииз)п(ыс(+ а) найдем выражения для кинетической и потенциальной энергий колебательной системы без трения: ~1 1 ' 2 2 2с1 з(п (си(+а) 4с 4— ,' соз 2 (сисг+а), 21 Р й й1 а й1 $ — сов (си,(+ а) — — + -4- соз 2 (сэ,4 + ) > Как кинетическая, так и потенциальная энергия изменяются с частотой, равной 2ссм около среднего значения Ц((4с).

Сдвиг фаз 12 между колебаниями кинетической и потенциальной энергий равен и (рис. !.2.3). Аналогично, для колебательного контура г.рр чр — + — = сопз! 2 2С где первое слагаемое выражает энергию магнитного поля катушки самоиндукции, а второе — энергию электрического поля конденсатора. Как видно, в изолированных системах полная энергия с течением времени не изменяется, $ ьа.мехАническАя колееАтельнАИ СИСТЕМА С ПОТЕРЯМИ В энергетическом отношении реальные системы характеризуются изменением энергии вследствие частичной затраты ее на работу против непотенциальных сил трения и излучения в окружающее пространство. В динамических уравнениях потери энергии обычно учитывают введением сил вязкого трения, а в электрическом контуре— введением падения напряжения на активном сопротивлении.

При выводе уравнения движения учтем, что кроме сил упругости в реальных системах действуют силы трения, которые в первом приближении пропорциональны скорости: В,р — — — г$, (1.3.!) где г — коэффициент вязкого трения. Заметим, что при нелинейной зависимости силы трения от скорости колебания тела имеют более сложный характер, В случае линейной зависимости дифференциальное уравнение движения незначительно изменяется по сравнению с рассмотреннь~м и имеет вид и — „+г-,— „+ —,3=0.

!ЛРД Л1 ! (1.3.2) Аналогично, для колебательного контура с омическим сопротивлением ,~а +Й,у + с э=О. (1.З.З) Пользуясь методами решения линейных уравнений, получаем решение в виде Ц = Ае-м соз (м! — гр) = е-м (В сов гр(+ С з1п о!), 5 = е-"'[(Сгз — Вб) сов оэ! — (Сб+Вы з!п га!)1, (1.3.4) Здесь В-Асоз гр, С=АМпгр, б=гу(2т), <э=У мр — 6'=моУ1 — (6!(ор)', (1.3.5) где оэ — собственная частота затухающих колебаний; 6 — коэффициент затУханиЯ; мр — кРУговаЯ частота системы без потеРь; Ае-м — амплп- 13 туда, изменяющаяся со временем; А и со или В и С вЂ” постоянные интегрирования, которые определяют из начальных условий: $ (1) = о=о = $о; $(() =5о.

Применяя их к (1.3.4), получим: о=о $о + 6'„„ = .оз А=рВ ~~=~/ ц+~й+'6 ) о ср=агс1й — = агс(д 6'~~ 1'. (1.3.6) Графики затухающих колебаний представлены на рис. 1.3.1. Здесь приведена зависимость смещения затухающих колебаний от времени в системах с различными коэффициентами затухания 6. Рис.

1.3.1 Формула (1.3.4) показывает, что затухающие колебания не являются гармоническими, так как их амплитуда убывает со временем, а частота оо зависит от коэффициента затухания. В частности, если бо)соо, т. е. (г!2т)о)1!(тс), то колебаниЯ невозможны, Для характеристики затухающих колебаний пользуются коэффициентом затухания 6, логарифмическим декрементом 6 и доброт. постыл Я. Коэффициент затухания, как это следует из уравнения (1.3.4), определяет быстроту убывания амплитуды с течением времени.

Если обозначить время, в течение которого амплитуда уменьшается в е = = 2,718 раза через т, то 6= —. 14 Уменьшение амплитуды за один цикл характеризуется логарифмическим декрементом, равным натуральному логарифму отношения двух амплитуд, разделенных периодом: л,е-ы т Таким образом, логарифмический декремент равен отношению периода колебаний ко времени затухания т. Добротность системы — вто величина, равном числу полных колебаний, соответствующих уменьшению амплитуды в еч раз. Связь между названными характеристиками следует из простых соотношений. Если обозначить время убывания амплитуды в еч раз е-ы через т„то „„, =еь'* =е", т. е. бт,=л, откуда е т, = л!6 = тл.

Число периодов, укладывающихся в промежуток времени т„или добротность Я, выражается формулой т| тл Я= — = —. т т Совершенно очевидно, что Характеристики затухания т, 6 и Я определяют через параметры колебательной системы с помощью следующих формул: т = —, 6 = -'- = — = — = — )Гст = лг ~~ —. (1.3.9) 2т л Т 2п лг Гс Я с ыот ы' Пользуясь понятием добротности механической системы, преобразуем формулу собственной частоты затухающих колебаний (1.3.5) к виду = гь, )Г! — (1!2ф' . (!.3.10) Очевидно, что при добротности превышающей несколько десятг! ков ~ — ~11, частота затухающих колебаний может быть заменена '(20 собственной частотой о, колебаний без потерь.