Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика, страница 7

Определите число фотонов в единице объема нространства, заполненного равновесным тепловым излучением при температуре Т. Решеияе. Бели ввести объемную концентрацию л, фотонов излучения нз интервала частот от ез до аз+На, то искомая концентрация фотонов излучения всевозможных частот определится как ф = ~л„~1ш о По определению, спектральная объемная плотность энергии излучения и,„г -— вал .

Поэтому, с учетом формулы Планка (1.38), нахо- дим, что Несобственный интеграл 1 может быть вычислен. Его приближенное значение равно 2,4. Поэтому окончательно для расчета концентрации фотонов получаем формулу По этой формуле находим, в частности, что лф =9.10 м при 9 -3 Т =10 К и лф =9.10 м при Т=1000 К. Такая зависимость кон- 16 -3 центрации частиц от температуры является характерной особенностью фотонного газа. Задача 1.6. В теории "горячей" Вселенной считается, что "отрыв" излучения от вещества на ранней стадии эволюции Вселенной произошел при температуре Т, =3000 К и плотности вещества р, = =10 кг/м . Считая, что в настоящее время плотность вещества во — ц 3 Вселенной ро =10 ~~ кгlм, оцените температуру реликтового излу- 3 чения на современном этапе эволюции Вселенной. Решение.

Предположим, что излучение, заполняющее всю Вселенную, расширяется вместе с ней адиабатно. Тогда, с учетом (1.52), находим, что Т* ~~ То Уо 3 3 где То — искомая температура реликтового излучения в настоящее время, а У, и Ъо — объемы расширяющейся Вселенной соответственно на ранней и современной стадиях ее эволюции. Считая массу вещества Вселенной неизменной и равной М, оп- М М ределим плотности вещества р, = — и ро = —. Тогда "О Т = — т„= — т,.

3 ~'* 3 РО 3 го Р ~у Отсюда получаем Подставляя значения плотностей р, н ро, находим, что т =1о зт, =зК. До такой температуры "остыло" излучение в расширяющейся Все- ленной к настоящему времени. 1.4. Квантовая оптика В соответствии с основными положениями квантовой теории Планка и Эйнппейна излучение, и в частности видимый свет, обладает корпускулярными свойствами. Очевидно, что при определенных условиях эти свойства должны проявляться в оптических экспериментах. Класс оптических явлений, дпя объяснения которых следует использовать представления о квантах энергии излучения и их носителях — фотонах, получил название явлений квантовой оптики. Такие явления связаны прежде всего с взаимодействием излучения с веществом, которое удается описать как взаимодействие частиц излучения ~фотонов) с частицами вещества Рассмотрим два таких явления квантовой оптики.

Фотоэффект. Определим внешний фотоэффект как явление испускания электронов вещества под действием излучения. Впервые фотоэффект был открыт в 1887 г. Г. Герцем, который обнаружил, что искровой разряд между двумя металлическими шариками происходит значительно интенсивнее, если один из шариков освещать ультрафиолетовым излучением. Измерение удельного заряда частиц, вылетающих нз металла под действием излучения, позволило установить, что зти частицы являются электронами (Ф. Ленард, Дж. Дж. Томсон, 1899). Хотя эмиссия электронов под действием излучения наблюдается практически у всех веществ, наиболее часто фотоэффект связывают с металлами, в которых существуют оторванные от атомов "свободные" электроны, удерживаемые внутри металла некоторым энергетическим барьером вблизи его поверхности.

Преодолевая этот барьер при вылете из металла, электрон совершает работу выхода, затрачивая на нее часть своей кинетической энергии. Работа выхода А, электронов из металлов имеет значение порядка нескольких электрон-вольт. Детальное экспериментальное исследование закономерностей внешнего фотоэффекта для металлов было выполнено в 1888 г. А.Г. Столетовым на установке с фотоэлементом (рис. 1.12.) Фотоэлемент в виде вакуумной двухэлектродной лампы имеет металлический катод К, который при освещении его через кварцевое окошко видимым светом или ультрафиолетовым излучением испускает электроны.

Вылетевшие из катода фотоэлектроны, достигая анода А, обеспечивают протекание в цепи электрического тока, который фиксируется гальванометром или миллиамперметром. Специальная схема подключения источника позволяет изменять полярность напряжения, подаваемого на фотоэлемент. Качественный вид вольт-амперной характеристики такого фотоэлемента, т. е. зависимости фототока 1 от напряжения У между катодом и анодом для случая неизменного светового потока, падающего на катод, представлен на рис. 1.13. Рис.

1.12. Схема установки Столетова для изучения фотоэффекта Положительное напряжение соответствует ускоряющему электрическому полю, в которое попадают вылетающие из катода электроны. Поэтому в области положительных напряжений все испускаемые катодом электроны достигают анода, обусловливая фототок насыщения 1„ 45 ~з У Рис. 1.13. Вольт-ампериая характеристика фотоэффекта 2 Е = — тор =еУз.

2 (1.54) Небольшой спад фототока при малых положительных напряжениях, который наблюдается в опытах, связан с контактной разностью потенциалов между катодом и анодом. Далее при обсуждении закономерностей фотоэффекта мы будем пренебрегать влиянием контактной разности потенциалов. При отрицательном напряжении (У < 0) испущенный катодом электрон попадает в тормозящее электрическое поле, преодолеть которое он может, лишь имея определенный запас кинетической энергии.

Электрон с малой кинетической энергией, вылетев из катода, не может преодолеть тормозящее поле и попасть на анод. Такой электрон возвращается на катод, не давая вклада в фототок. Поэтому плавный спад фототока в области отрицательных напряжений указывает на то, что вылетающие из катода фотоэлектроны имеют разные значения кинетической энергии.

При некотором отрицательном напряжении, модуль которого Уз называют задерживающим напряжением (потенциалом), фототок становится равным нулю. Соответствующее тормозящее электрическое поле при этом задерживает все вылетающие из катода электроны, включая электроны с максимальной кинетической энергией Е„,.

Измерив задерживающее напряжение, можно определить эту максимальную энергию или максимальную скорость о фотоэлектронов из соотношения Экспериментально были установлены следующие основные законы фотоэффекта. 1. Для монохроматического света определенной длины волны фототок насыщения пропорционален световому потоку, падающему на катод. 2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от величины светового потока, а определяется лишь частотой излучения. 3. Для каждого вещества катода существует своя граничная частота ч„, такая, что излучение с частотой ч < у„фотоэффекта не вызывает. Эту граничную частоту называют частотой красной границы фотоэффекта.

По шкале длин волн ей соответствует длина волны красной границы Х„, такая, что эмиссию электронов из данного металла вызывает излучение лишь с меньшей длиной волны (Х<Х„). Попытки объяснить закономерности фотоэффекта используя классическую волновую теорию, в которой излучение рассматривалось как электромагнитные волны, приводили к выводам, противоположным наблюдаемым в эксперименте. Действительно, поскольку согласно этой теории вырывание электронов из металла обусловлено силовым воздействием на них со стороны электрического поля волны, то максимальная кинетическая энергия фото- электронов должна определяться световым потоком, падающим на катод. Наличие красной границы у фотоэффекта также противоречило выводам волновой теории.

Именно для объяснения экспериментов по фотоэффекту в 1905 г. А. Эйнштейн п едложил кон еп ию стонов как ч и ения нес их квант зне гни. Рассмотрев процесс взаимодействия излучения с металлом как процесс неупругого соударення фотона со свободным электроном металла, Эйнштейн легко объяснил закономерности фотоэффекта. Действительно, в таком процессе электрон получает всю энергию от фотона, которая пропорциональна частоте излучения.

Число же вырванных из металла электронов и, следовательно, фототок насыщения пропорциональны числу падающих на металл фотонов, которое определяется величиной потока энергии излучения. Если в такой модели процесса пренебречь потерями энергии электрона при его движении внутри металла по направлению к поверхности, то из закона сохранения энергии следует соотношение 47 (1.55) которое называют уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэфг фента. Здесь Е = — — максимальная кинетическая энергия н~о и 2 нерелятивистских фотоэлектронов. Из этого уравнения непосредственно вытекают второй и третий законы фотоэффекта. Действительно, из (1.55) следует, что максимальная энергия фотоэлектронов зависит от частоты падающего на металл излучения.