Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика, страница 4

Поместим в эту полость малое по размерам абсолютно черное тело, имеющее температуру Т. За счет испускания и поглощения электромагнитных волн этим телом полость равномерно заполнится равновесным тепловым излучением с определенной объемной плотностью энергии и(Т)1, зависящей от температуры. Эту интегральную обьелтую плотность энергии теплового излучения можно разложить по спектру частот, т. е. представить в виде 20 и(Т)= )ищ1 сйа о (1.12) Здесь функция и, г жи(в, Т) определяет объемную плотность энергии излучения, приходящуюся на единичный интервал частот вблизи частоты от Назовем ее спектрольной плотностью энергии теплового излучения при данной температуре Т.

Очевидно, что спектральная плотность энергии теплового излучения связана с испускательной способностью абсолютно черного тела, находящегося в равновесии с этим излучением. Эту связь можно установить, рассмотрев излучение вблизи элементарной площадки Аз, выделенной иа поверхности абсолютно черного тела (рис. 1.7). Рис. 1.7. Поток энергии излучения, падающий на элементарную площадку Тепловое излучение в любой точке пространства вблизи выделенной площадки равномерно распределено по всевозможным направлениям в пределах телесного угла 4к. Поэтому плотность энергии излучения, приходящегося на телесный угол сИ= = яп ОЫОйр, т. е.

падающего на площадку М под углом О к ее нормали, можно записать в виде ой = и(Т) —. сК1 4п (1.13) Но если излучение с такой плотностью энергии, распространяясь со скоростью света в вакууме с, падает на площадку ЬЯ под 21 дв = ййсЬ| 55'= ЫйсЬтЫ сов О= — и(Т) соя Оз(пОИОйрЫМ. (1.14) 4п Суммируя энергии излучений, падающих под всевозможными углами, находим полный поток энергии Ф излучения, падающего на единицу поверхности в единицу времени: 2я Ф= — и(Т) ~Ну)созО зшОЫО= — и(Т).

(1.15) 4н о о 4 В состоянии термодинамического равновесия такой же поток энергии излучения должен испускаться с единицы поверхности абсолютно черного тела. Но этот поток энергии, по определению, есть энергетическая светимость абсолютно черного тела. Поэтому Я =-и(Т), или и(Т) =-Я . 4 с (1.16) Проведенные выше выкладки справедливы и для каждой спектральной составляющей излучения частотой щ Поэтому аналогичным соотношением связаны спектральная испускательная способность абсолютно черного тела г0, г и спектральная объемная плотность энергии равновесного теплового излучения и с 4, гв,т = — ищт или цат = — гм,т (117) 4 с Формула Рэлея — Джинса. В рассмотренной выше полости кубической формы с идеально отражающими стенками тепловое излучение как электромагнитное поле может существовать только в виде суперпозиции прямых и отраженных волн, т.

е. в виде стоячих электромагнитных волн, имеющих узлы на стенках полости. 22 углом О к нормали, то за время Ьг на зту площадку попадает вся энергия излучения, заключенная в заштрихованном на рис. 1.7 объеме, т. е. Направим осн декартовой системы координат вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер кубической полости (рис. 1.8) и обозначим через е„, е и е, единичные орты вдоль соответствующих осей координат. Тогда для волны, распространяющейся строго вдоль оси х, условие образования стоячей волны имеет вид 1 = п~ †, п~ = 1, 2, 3, 2 (1.18) т. е. на длине 1 между отражающими стенками должно укладываться целое число длин полу- волн. Так как для такой волны волновой вектор 1с = 1с„ е„, где 2к 1с„ = †, то условие образования х )„ стоячей волны в направлении оси х можно записать и как условие на волновое число: Рис. 1.8.

Кубическая полость =п~ —, п~ =1, 2, 3, ... (1.19) с тепловым излучением х Аналогичные рассуждения для волн, распространяющихся вдоль осей у и т, позволяют сформулировать общий вывод о том, что для стоячей волны, являющейся суперпозицией прямых и отраженных волн, распространяющихся в кубической полости в произвольном направлении, задаваемом волновым вектором 1с = 1с„е„+ 1с е + 1с е, должны выполняться условия к к к 1с„=п~ —, 1с =пз —, *к =пз —. (1.20) Здесь пы пз и пз — целочисленные параметры, принимающие независимо друг от друга значения О, 1, 2 и т.

д. 23 Условия (1.20) можно записать как условия на волновые числа волн вполости и1, иг, из = О, 1, 2, ... (1.21) 2п го Так как 1с = — = —, то равновесное тепловое излучение в кубиче- Х с ской полости можно рассматривать как совокупность стоячих электромагнитных волн различных частот, значения которых определяются соотношением го= — и1 +иг+из, и1,иг из 0,1,2,... (1.22) пс г г г Рис.

1.9. Дискретное трехмерное пространство для подсчета числа стоячих электромагнитных волн 24 Каждой тройке целых неотрицательных чисел (ип иг, из) соответствует одна стоячая волна. Общее число таких стоячих волн бесконечно велико. Определим число стоячих электромагнитных волн в полости с частотами, которые не превышают заданного значения гп Для этого рассмотрим дискретное иг трехмерное пространство (рис. 1.9), в котором каждая 2 точка с целочисленными неотрицательными координатами 1 и1, иг и из соответствует от- 1 дельной стоячей злектромаг- 2 "1 нитной волне в полости с рав- новесным тепловым излучени- иЗ ем. Эти точки разбивают пространство У на ячейки единичного объема.

Представим теперь условие (1.22) в виде уравнения сфери- ческой поверхности в пространстве У~: л! +л2 +лз (1.23) о31 где Я = — — радиус сферы. ЙС Теперь число Ф стоячих волн в полости, частоты которых не превосходят значения ох можно определить, подсчитав число изображающих точек из положительного октанта пространства У~, попавших в шар радиуса Я. Так как с каждой точкой в пространстве У связана ячейка единичного объема, то объем 1/8 части шара радиуса Я и определяет искомое число точек (стоячих волн).

Поэтому 1 4 1 о3313 1 озз М=- — пй = — = — К 8 3 бп23 бк23 (1.24) озз М = 2Ф = — 1Р. за с (1.25) Дифференцируя (1.25) по частоте, найдем число стоячих волн в полости, попадающих в интервал частот от оз до оз+ дпк Оз с(О3 ЫФ= — К 33 (1.26) 25 Здесь $' =1 — обьем полости, в которой заключено рассматри- 3 ваемое равновесное тепловое излучение. Следует учесть, что электромагнитные волны — поперечные волны и в каждом направлении )с в полости в общем случае могут распространяться две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Поэтому число стоячих волн с частотой, не превышающей заданного значения а, следует определить как Если теперь через (в) обозначить среднюю энергию стоячей электромагнитной волны частоты а, то, согласно определению спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения, имеем п7Ч(в) и, таге=в Щ Отсюда, с учетом (1.26), находим, что (1.27) (в) = — кТ + — МТ = кТ.

1 1 2 2 (1.28) Из (1.27) получаем 2 и г= — КТ. Щ 2 3 (1.29) С помощью соотношений (1.17) зто выражение для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения можно пре- образовать в формулу Рзлея — Джинса для испускательной спо- собности абсолютно черного тела: 26 Развивая теорию теплового излучения, Д. Рзлей (1900) и Д. Джинс (1905) предложили рассмотреть каждую стоячую электромагнитную волну как объект с двумя степенями свободы, одна из которых — электрическая, а другая — магнитная.

Согласно классической теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы системы приходится в среднем энергия, равная — кТ, где А = 1,38 10 Дж/К вЂ” посто- 1 -гз 2 янная Больцмана. Поэтому для равновесного теплового излучения при температуре Т на каждую стоячую электромагнитную волну частотой го приходится в среднем энергия 2 г г йТ 4кзсз Формула Рэлея — Джинса достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными об излучении абсолютно черного тела в области малых частот или больших длин волн и резко расходится с опытом для больших частот или малых длин волн излучения.

Кроме того, интегрируя (1,29) и (1.30) по всем частотам, мы получаем бесконечные значения для интегральной плотности энергии равновесного теплового излучения и(Т) и для энергетической светимости абсолютно черного тела Я . Действительно, и(Т)= л = ')и,,гааз= 2 з )оз о о Таким образом, из классической теории теплового излучения следует вывод о том, что при конечных значениях энергии излучения равновесие между веществом и излучением невозможно, но он противоречит опыту. Этот противоречивый результат, содержащийся в формуле Рэлея — Джинса, вывод которой с точки зрения классической теории не вызывал сомнений, П. Эренфест назвал "ультрафиолетовой катастрофой ".

Гипотеза о квантах. Формула Планка. "Ультрафиолетовая катастрофа" показала, что классическая физика содержит ряд принципиальных внутренних противоречий, которые проявились в теории теплового излучения и разрешить которые можно только с помощью принципиально новых физических идей. Такая физическая идея была сформулирована в 1900 г. М. Планком в виде гипотезы о квантах. Согласно этой гипотезе, излучение испускается и поглощается веществом не не е ывно, а конечными по циями эн гии, кото ые Планк назвал квантами Энергия кванта зависит от частоты излучения и определяется по формуле Е=йч, или Е=йга (1.31) 27 Здесь Ь = 2кй — новая фундаментальная физическая константа, которую называют постоянной Планка. Экспериментально опре- деленное с большой точностью значение этой константы в соот- ветствии с современными данными равно Ь=(6,62618+0,00004) 10,Цж с.

Так как размерность этой постоянной "энергия Х время" совпадает с размерностью величины, которую в механике называют действием, то постоянную Планка называют также квантом действия. Гипотеза Планка о квантах нарушила "незыблемое" правило классической физики о том, что любая физическая величина, в том числе и энергия, изменяется непрерывным образом и за бесконечно малый промежуток времени ее изменение всегда бесконечно малб. Эта гипотеза оказала огромное влияние на последующее развитие физики. Именно развитие гипотезы Планка о квантах, высказанной в начале ХХ в., привело к появлению квантовой механики — современной физической теории, в которой идея квантования, или дискретности, распространяется на различные физические величины, характеризующие состояние системы. В этом смысле 1900 г.

можно назвать годом рождения квантовой физики, которая за последующие сто лет бурно развивалась и позволила создать законченную и непротиворечивую картину микромира на уровне атомных явлений. На первом этапе с помощью гипотезы о квантовании энергии излучения Планку удалось дать исчерпывающее теоретическое описание равновесного теплового излучения, сняв все противоречия классической теории. Основное отличие квантовой теории излучения от классической обнаруживается уже при расчете средней энергии излучения частотой ш С учетом гипотезы Планка среднюю энергию излучения определяют по формуле (в) = ~ Р„е„. я=о (1.32) 28 Здесь в„= ллоз — возможные значения энергии излучения; Є— вероятность того, что в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т излучение будет иметь энергию к„. Эту вероятность можно оценить с помощью распределения Больцмана, записав ее с точностью до некоторой константы в виде ел Рл=Ае лт (1.33) Если учесть, что,) Рл =1, то для константы А получим знал=о чение ,, ~=,.-е ьг Таким образом, в квантовой теории излучения среднее значение энергии излучения частотой оз определяется из следующего выражения: (1.34) иго где с= —.

МТ Сумму, стоящую в знаменателе выражения (1.34), определим по формуле геометрической прогрессии Я=,) е 1 =о 1 — е« (1.35) Формально дифференцируя это соотношение по с, находим сумму ряда, стоящего в числителе формулы (1.34): сБ е« е =о ~ (1 е «) (1.36) 29 ~ „ьоз ьт ( ) л=о ') е ьт пе л« л=о -л« лМ) Подставляя найденные значения сумм в (1.34), получаем оконча- тельно выражение для средней энергии излучения частотой оз в квантовой теории (1.37) еьт — 1 Аа лго — Воз Заметим, что на малых частотах, когда — « 1 и еьг =1+ —, ОТ 1Т из (1.37) получаем формулу классической теории: (е)= ИТ . Однако в области больших частот отличие средней энергии излучения, рассчитанной по формулам (1.28) и (1.37), становится существенным.