Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика, страница 5

Но именно в этой области частот классическая теория излучения приводит к "ультрафиолетовой катастрофе". Квантовая теория излучения разрешает это противоречие теории и эксперимента. Действительно, подставляя (1.37) в (1.27), получаем известную формулу Планка для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения иго 1 ищт =— 2 3 в<о еьт 1 (1.38) Формула связи (1.17) позволяет также записать функцию План- ка Ьго~ 1 "*,т — = Лез Т)= г г еЬт -1 (1.39) 30 описывающую испускательную способность абсолютно черного тела во всем диапазоне частот. Функция Планка находится в соответствии с результатами экспериментальных исследований излучения абсолютно черного тела на всех частотах и при всех температурах.

При малых частотах формула (1.39) квантовой теории излучения переходит в формулу яв Ьаз У(гц Т) = е ьт г,г (1.40) структуру которого предсказал еще в 1893 г. В. Вин. Отметим, что вывод формулы Планка в квантовой теории излучения может быть проведен различными способами. Некоторые из них будут рассмотрены в последующих главах. Задача 1З.

Используя основные соотношения квантовой теории из- лучения, выведите закон Стефана — Больцмана и определите значе- ние постоянной Стефана — Больцмана. Решение. Интегрируя функцию Планка (1.39) по всем частотам, на- ходим энергетическую светимость абсолютно черного тела. В резуль- тате интегрирования имеем я ~ ° Ь ~ аеа 'яТ ~х~~Ь 4_#_гсг "а 4жгсгьз ех 1 о о ьг 1 о Полученное соотношение соответствует закону Стефана Больцмана (1.7), так как оно может быть записано в виде 11 = аТ, где з„ 4л~'~бз О '"— Значение несобственного интеграла -„з - з- '=Г. =Г' . о е"-1 о '-'" вычислим, разложив в ряд его знаменатель 31 (1.30) Рэлея — Джинса классической теории.

При больших частоАсо тах, когда ла » 1гТ, с высокой точностью е "т »1. В этом случае формула (1.39) переходит в соотношение и проинтегрировав почленно это выражение. В результате получим ! = 5х е "~1+с "+е "+...)Их=~ ~х е ~Их=')'- ~ хзе ~Их= о а=! о ыв о 6 ах 6 б 1 п~ к~ )- г ) ~ 4"-Х з ) е Ж=~ — а=6~ 4=6— =1л 0 =л о „-~л „ыл Поэтому значение постоянной Стефана — Больцмана можно предста- вить через универсальные константы Л, с и Ь: Пзь4 и= =5,67 10 Вт м К 60 2йз Следует отметить, что сам Плаик, пользуясь экспериментальным значением О, по этой формуле впервые определил значение постоянной Й.

Задача 1.4. С помощью функции Планка для испускательной способности абсолютно черного тела определите значение постоянной Ь в законе Вина для теплового излучения. 2пс Реиюелие. По формуле (1.3) с помощью замены переменной ю = —, Л ' преобразуя функцию Планка (1.39), находим испускательную способность абсолютно черного тела как функцию длины волны: Л 4п2сзй 1 ехр — -1 2лсл Вводя обозначение 2 = —, представляем функцию ф в виде ЛяТ 25 <р=А, А=сопзп ег Найдем, при каком значении 2 = 2„, функция ф имеет максимум. Для этого, взяв производную 32 5т4(ег 1) 2544 — =А 9 ('-)' и приравняв ее нулю, получим для экстремального значения 2 = г„ трансцендентное уравнение 5(е~" -1)-г ет" =О, 2 =5(1 — е "").

Решение этого уравнения можно найти методом последовательных приближений, считая, что е '"' «1. Тогда в первом приближении (2) получаем 2~„~ = 5. Во втором приближении искомый корень уравне- ния находим из соотношения т~„~ =5(1-е 5) =4,966. Это значение можно взять в качестве приближенного решения рассматриваемого трансцендентного уравнения.

Следовательно, испускательная способность абсолютно черного тела достигает максимума при длине волны Х = 2, а, для которой — = 4,966. 2псй 1 йт Отсюда находим, что Т= =2,9 10 м К. 4,966Ь Обозначив константу в правой части этого равенства через Ь, получим закон смещения Вина: 1. Т = Ь, в котором постоянная Ь выражена через универсальные константы й, с и л.

33 2 — Ю329 1.3. Фотонный газ и его свойства ~гс еф =Ьч=— Х (1.41) лежат в широком диапазоне от нескольких электрон-вольт для видимого света (1,-500нм), до миллионов электрон-вольт для коротковолнового (жесткого) у-излучения ( Х - 10 нм). Для фотона, так же как для любой материальной частицы, можно определить релятивистскую массу тф. Она связана с энергией фотона известным релятивистским соотношением: вфс = еф.

Отсюда, с учетом (1.41), находим, что 2 Ъ) й шФ = ~Х (1.42) 34 Фотонная теории излучении. Развивая гипотезу М. Планка о квантах, А. Эйнштейн в 1905 г. предположил, что квантовые свойства излучения (света) проявляются не только при испускании и поглощении его веществом, но и при распространении излучения в пространстве. Возрождая корпускулярную теорию света, предложенную И.

Ньютоном еще в начале ХЧШ в., А. Эйнштейн выдвинул гипотезу, согласно которой излучение можно представить состоящим из большого числа частиц, каждая из которых, обладая квантом энергии, движется в пространстве со скоростью света в вакууме с = 3 10 м/с. Рассмотрим свойства таких частиц. Частица излучения, которую назвали фотоном, представляет собой ультрарелятивистскую незаряженную частицу. Свойства фотона могут быть описаны только с использованием основных соотношений специальной теории относительности. В частности, из этой теории следует, что фотон является уникальной элементарной частицей, имеющей нулевую массу покоя.

Это означает, что фотон всегда движется со скоростью с и не может находиться в состоянии покоя. Если при неупругом столкновении с другой элементарной частицей фотон "останавливается", то он исчезает, передавая всю свою энергию этой частице. Значения энергии фотона М Ь 2ял Рф = — = — = —. с Х Х (1.43) Для фотона, направление распространения которого задается 2л волновым вектором 1с, с модулем 1с = —, формулу (1.43) можно Х записать в векторном виде рф =Ыс. (1.44) Опыт Боте. Можно ли экспериментально обнаружить отдельный фотон излучения? Очевидно, что сделать это будет легче, если фотон будет иметь достаточно большую энергию. Как следует из (1.41) — (1.43), таким фотоном будет фотон коротковолнового электромагнитного излучения, например рентгеновского излучения. Эксперимент по обнаружению фотонов рентгеновского излучения был проведен В.

Боте в 1925 г. В этом опыте тонкую металлическую фольгу Ф (рис. 1.10, а) облучали рентгеновским излучением. При этом фольга становилась сама источником слабого вторичного излучения. Согласно волновым представлениям, энергия даже столь слабого излучения должна распределяться в пространстве равномерно влево и вправо.

В этом случае левый и правый счетчики С„и С„должны срабатывать практически одновременно, а самописцы Л и П, связанные со счетчиками, должны оставлять метки на движущейся ленте друг против друга. С точки зрения корпускулярной фотонной теории излучения, при малой энергии вторичного излучения, сравнимой с энергией одного фотона, фотоны должны излучаться фольгой либо только 35 В частности, в гравитационном поле фотон ведет себя как частица с гравитационной массой лс~ = тф .

движущийся со скоростью с фотон обладает импульсом, величина которого связана с его энергией релятивистским соотношением рф —— еф/с, учитывающим, что масса покоя фотона равна нулю. Отсюда следует, что вправо, либо только влево. Поэтому метки на ленте от самописцев Л и П не должны совпадать. Опыт (рис. 1.10, б) подтвердил вывод фотонной теории излучения и тем самым явился первым экспериментальным доказательством существования фотонов.

— ~С, ) фС„~— Рнс. 1.10. Опыт Боте: а — схема установки; б — лента с записью регистрации фотонов В опытах, проведенных под руководством С.И. Вавилова, было установлено, что человеческий глаз может реагировать на свет при попадании всего лишь нескольких сотен фотонов в секунду. Поэтому в слабых световых потоках флуктуации, связанные с изменением числа излучаемых фотонов, могут быть обнаружены даже визуально. Единичные фотоны с энергией порядка 0,1 эВ (инфракрасное излучение) были зарегистрированы детекторами на основе сверхпроводящего ннтрида ниобия.