Л.К. Мартинсок, Е.В. Смирнов - Квантовая физика, страница 10

При падении на экран одной световой волны вероятность попадания фотона в различные точки экрана одинакова, и мы наблюдаем равномерную освещенность экрана. При прохождении света через две щели вероятность попадания фотона в различных точках экрана изменяется. В местах интерференционных максимумов эта вероятность резко увеличивается, а в местах интерференционных минимумов — уменьшается.

Это означает, что поток фотонов перераспределяется в пространстве и этим перераспределением управляет волновое поле. Такой способ объединения корпускулярных и волновых свойств материальных объектов, когда с помощью волн мы описываем движение частиц, лежит в основе квантовой механики, основные положения которой изложены в дальнейших главах.

Отметим, что корпускулярно-волновой дуализм света является далеко не тривиальным свойством этого физического объекта. При первом знакомстве с проблемой дуализма света возникают естественные вопросы: как представить себе объект, обладающий взаимоисключающими свойствами? Как такие свойства могут объединяться и дополнять друг друга? Посмотрите на рис. 1.19. Что вы на нем видите? Можно предска- зать два различных ответа на этот ,'б4 вопрос. Первый ответ: нЯ вижу ~~"'~~Ф~,;,,; -'" "';:3~„белую фигурную вазу на темном 1 :«4$» ~'ф~:;"' ' '~',~~~~,","-' ~,.*,~!1.

Значит, может (!) один рисунок га 3 ' '* "-'н либо другое. Этот пример наглядно Рне. 1.1е. Дуальные свойства изо- ДемонстРиРУет возможность ДУ- браженив альных свойств у одного объекта. бО 2. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ Согласно гипотезе Луи де Бройля, движение каждой частицы можно описать волновым процессом. Наличие у частиц наряду с корпускулярными волновых свойств определяет двойственную, корпускулярно-волновую природу материи и приводит к тому, что поведение микрочастицы может существенным образом отличаться от поведения макроскопических тел.

Опыты по дифракции микрочастиц на кристаллах, а также опыты по прохождению электронов через инертные газы (эффект Рамзауэра) подтвердили наличие у частиц волновых свойств и показали, что в области микромира существует принципиально новый вид физических объектов, которые в одних случаях проявляют корпускулярные свойства, а в других ведут себя как волны. Такая двойственность приводит к существенным отличиям в описании движения микрочастиц в квантовой механике по сравнению с классической механикой, в частности к отказу от описания движения частицы с помощью траектории. Представление о траектории движения частицы предполагает возможность одновременного точного измерения координаты и скорости частицы, что противоречит одному из фундаментальных положений квантовой механики — соотношению неопределенностей Гейзенберга. Волновые свойства микрочастиц в настоящее время находят широкое практическое применение, в частности при изучении структуры вещества.

2.1. Гипотеза де Бройля Волновые свойства частиц. Корпускулярно-волновой дуализм материи. Установление корпускулярно-волнового дуализма в оптических явлениях имело очень большое значение для дальнейшего развития физики. Впервые была выявлена двойственная корпускулярно-волновая природа физического объекта — элек- 61 Е го=— Ь (2.1) а длина волны 2пй )~в = —.

Р (2.2) Как известно, плоская волна частотой оз, распространяющая ся вдоль оси х, может быть представлена в комплексной форме фх, г) = Аехр(-((ол — кх)~, 2к где А — амплитуда волны, а к = — — волновое число. Х Согласно гипотезе де Бройля, свободной частице с энергией Е и импульсом р, движущейся вдоль оси х, соответствует пло- окая волна Ч'(х, г) = Аехр — (Ег — рх), л (2.3) 62 тромагнитного излучения. Естественно было ожидать, что подобная двойственность может не ограничиваться только оптическими явлениями. В 1924 г. французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер.

По гипотезе де Бройля, каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения. Напомним, что энергия Е и импульс рф фотона связаны с круговой частотой оз и длиной волны Х соотношениями (1.31), (1.43): Е =да, рф =И=2кйИ. Согласно гипотезе де Бройля, свободно движущейся частице, обладающей энергией Е и импульсом р, соответствует волновой процесс, частота которого распространяющаяся в том же направлении и описывающая волновые свойства частицы.

Эту волну называют волной де Бройля. Соотношения, связывающие волновые и корпускулярные свойства частицы, Е=ла, р=М, (2.4) где р — импульс частицы, а Й вЂ” волновой вектор, получили название уравнений де Бройля. Свойства волн де Бройля. Рассмотрим свойства, которыми обладают волны де Бройля. Прежде всего следует отметить, что волны материи — волны де Бройля — в процессе распространения могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по обычным волновым законам. Найдем фазовую скорость волны де Бройля оф, т. е. скорость, с которой распространяются точки волны с постоянной фазой.

Пусть частица движется вдоль оси х, тогда условие постоянства фазы волны (2.3) имеет вид Ег — рх = сонэк Дифференцируя это соотношение, находим Нх Е оф 6Ы р Поскольку Е=тс, а р=то, где т — релятивистская масса 2 частицы, а о — ее скорость, то для фазовой скорости волны де Бройля получаем следующее выражение: (2.5) Так как о < с, то фазовая скорость волны де Бройля пф оказывается больше скорости света в вакууме с. Это не противоречит теории относительности, которая запрещает движение со скоростью, большей скорости света. Ограничения, накладываемые теорией относительности, справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии.

Фазовая скорость волны не характеризует ни один из этих процессов, поэтому на ее величину не накладывается никаких ограничений. 63 Найдем теперь групповую скорость п„е волны де Бройля. По определению, Преобразуя это выражение, получаем о(лез) дЕ ы(й~) ~р' Связь между энергией Е и импульсом р частицы, согласно теории относительности, определяется соотношением Е =р с + +тес, где то — масса покоя частицы. Дифференцируя это вы- 2 4 ражение, находим 2ЕйЕ=2рс Ыр, или йЕ рс Ир Е Таким образом, рс рс р 2 2 и — — = — =6, Ге Е тс2 гл т. е. групповая скорость волны де Бройля и равна скорости' движения частицы и.

Расчет длины волны де Бройля 1н для нерелятивнстских и релятивистских частиц. Получим выражение для длины волны де Бройля Хв частицы,обладающейкинетическойэнергией Е„. В случае нерелятивистской частицы, скорость которой и «с, 'по~ Р Е„= г,' Тогда, согласно соотношению (2.2), 2кй 2пл Р ~2т~Е (2.6) В случае релятивистской частицы, когда скорость частицы о сравнима со скоростью света в вакууме с, связь между импульсом и кинетической энергией частицы определяется соотношением р=-',~В.~Е,+Ъ ~!=.~г,Е 1+ с 2тос Подставляя это выражение в (2.2), получаем, что в случае реляти- вистской частицы 2кд )!Б (2.7) ~2оЬЕ„1+ " 2 1+ Е„ Е„ 2тос 2тос 2пл 2пр! ,/2т~Е„31'2тоеУ (2.8) Подставляя в (2.8) численные значения констант, получаем Х =( — '10 м.

Г50,4 -!о Б 3 — !0329 Длина волны де Бройля ХБ микро- и макрообъектов. Чтобы более отчетливо представить себе порядок дебройлевских длин полн микрочастиц, найдем длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов У. Для определенности будем считать электрон нерелятнвистским. В этом случае, согласно выражению (2.6), Таким образом, при значении ускоряющей разности потенциалов от десятков вольт до нескольких киловольт дебройлевская длина волны электрона имеет порядок 10 о м.

Напомним, что размеры атомов, а также расстояние между атомами и молекулами в твер-ю дых телах имеют тот же порядок — 10 м. Вычислим теперь длину волны де Бройля у макроскопического, но достаточно малого объекта — пылинки, масса которой ж = 10 г, а скорость и = 1 мм/с. Используя соотношение (2.2), получаем 2пй 6,6 10 Хв= — = ' =6,6 10 ~ м. глп 10 9.10 З Найденная длина волны значительно меньше не только размеров самой пылинки, но и наименьшего известного в физике размера— радиуса атомного ядра, порядок которого 10 м. Поскольку никакого принципиального различия между микрон макрообъектами не существует, то возникает вопрос: в каких случаях волновые свойства играют решающую роль в поведении частицы, а в каких случаях они оказываются несущественными и их можно не учитывать? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся аналогией с оптикой. Как известно, волновая природа излучения максимально проявляется в тех случаях, когда длина волны излучения Х сравнима с характерными размерами системы 1., т.

е. Х-Т,. Если же Х«Ь, то волновые свойства излучения становятся несущественными и можно пользоваться геометрической, или лучевой, оптикой. В силу аналогии, существующей между механическими и оптическими явлениями, классическая ньютоновская механика соответствует геометрической оптике, а квантовая, нли,' как ее еще называют, волновая механика, — волновой оптике. Таким образом, волновые свойства частиц будут наиболее ярко проявляться в тех случаях, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характерными размерами области движения частицы т., т.