3 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 6

Принципиально эти комплексы можно приравнять любой постоянной, но в данном случае выражения для поперечных масштабов получаются наиболее простыми. Решая написанную систему относительно о, и 6 для масштабов поперечных скоростей и линейных размеров, получаем следующие значения г) результате перехода вновь к размерным величинам получим дифференциальные уравнения ламинарного пограничного слоя в форме Л. Прандтля; ди ! 1ди ! др дои — + о' — = — — + дх ' ду о дх ду'' (5-32) ди до — + — =О. дх ду Система (5-32) долж!а быть решена при следующих граничных условиях: у=О; и=О; и=О; д — со; и-~ и(х). Последнее условие означает, что скорость в пограничном слое переходит асимптотически к скорости внешнего потока. В действительности этот переход, как уже отмечалось, происходит при значении у, соизмеримом с поперечным масштабом о.

Полученное условие — = 0 означает, что р а с п р е д едр ду ление давлений на внешней границе слоя и на поверхности обтекаемого тела совпадает. Отсюда следует, что во всех точках поперечного сечения слоя давления одинаковы, т. е, давление внешнего потока передается через пограничный слой к поверхности тела без изменения. Условие — = 0 позволило объяснить весьма важное др ду= явление отрыва пограничного слоя. Рассмотрим обтекание некоторой криволинейной поверхности АВ (рис. 5-14), предполагая, что давление внешнего потока вдоль этой поверхности вначале уменьшается, достигает минимального значения в точке М и затем увеличивается.

Участок внешнего потока, в котором градиенты давления отрицательны ( др — (О, называется конфузорным участком. дх Область течения за точкой М; характеризуемая положительными градиентами давления ( — ~ О), называют диф- гдр фузорным участком. На конфузорном участке внешний поток ускоряется, а на диффузорном — тормозится.

Учитывая, что в пограничном слое — =О, заключаем, что др др совершенно аналогичное распределение давлений имеет место и вдоль поверхности АВ на любом расстоянии у(й в пограничном слое. дай со />о фу Рис 5-14, Схелга образования отрыва пограничного слоя. В пределах пограничного слоя скорости перед точкой М увеличиваются, а за нею — уменьшаются (см. эпюры скоростей на рис. 5-14). Частицы жидкости вблизи стенки обладают малой кинетической энергией, причем в диффузорной области вдоль поверхности АВ запас кинетической энергии частиц уменьшается. В результате в некотором сечении 5 частицы у стенки не могут преодолеть тормозящего влияния внешнего потока и останавливаются. Зпюра скоростей принимает характерную остроконечную форму.

На стенке кривая скоростей удовлетворает условию (5-32 а) Дальше за точкой 5 под воздействием перепада давлений, направленного против течения, начинается возвратное движение частиц у стенки. Встречаясь с основным потоком, возвратно движущиеся частицы оттесняются от стенки, 234 что и приводит к отрыву пограничного слоя и к резкому увеличению его толщины. За точкой отрыва 5 эпюра скоростей имеет также весьма характерную петлеобразную форму, причем непосредственно у стенки Изложенное показывает, что отрыв пограничного слоя при обтекании плавной стенки может происходить только в дифф узорной области.

Используя уравнения (5-32), легко показать, что положение точки отрыва ламинарного гюграничного слоя не зависит от числа Ке. Действительно, решение системы (5-32), дает: и = 1"(х, у), (5-32б) где х и у — безразмерные координаты. Тогда, продифференцировав по у и используя в точке отрыва условие (5-32а), получим; ~' (х, 0) = О. Поскольку масштаб по оси х от числа Ке не зависит, приходим к выводу, что координата точки отрыва ламинарного слоя также не зависит от числа Рейнольдса. 5-1. УСЛОВНЫЕ ТОЛЩИНЫ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Выше указывалось, что понятие толщины пограничного слоя не имеет точного количественного смысла. Действительно, скорость в пограничном слое и с ростом у асимптотически приближается к значению скорости внешнего потока и,.

Величина 5 зависит от того, где выбрана точка, условно показывающая границу слоя. Поэтому в расчетах пограничного слоя вводятся другие интегральные толщины, зависящие от 5: толщина вытеснения 5', толщина потери импульса 5" и толщина потери энергии 5"". Для выяснения физического смысла указанных толщин сравним течение идеальной и вязкой жидкостей около твердой стенки (рис.

5-15). При отсутствии трения за единицу времени через поперечное сечение потока высотой с(у и шириной, равной еди- 235 (5-34) ь ~рий, (1 — —,) йу. (1 я) о (5-35) (5-33) 236 нице, протечет масса ранее(у. В пограничном слое за тоже время через сечение г(у протечет масса рис(у. Разность этих количеств составит: Раич~ (1 — — )г(У— о ь 00 =Р и ) (1 = — „) гьу+д,и, у(1 — % Ф, о ь Рис, о-)о. К определению условных толщин пограничного слоя (а). К выводу уравнении ннпульсов для пограничного слоя (б). Второй интеграл правой части мал по сравнению с первым. Поэтому интегрирование достаточно проводить только в пределах физической толщины слоя б. Разделив найденный излишек массы на р,и„получим: Величина о показывает смещение линии тока в направлении внешней нормали к контуру обтекаемого тела.

Вместе с тем о' характеризует уменьшение расхода жидкости через сечение слоя, „нормальное к стенке, обусловленное .вытеснением" жидкости пограничным слоем, и поэтому носит название толщины вытеснения. Толщина потери импульса о'" равна такой толщине слоя жидкости, движущейся со скоростью и, вне пограничного слоя, количество движения которой равно импульсу сил трения в пограничном слое.

Это количество движения, „потерянное" в пограничном слое, будет равно; ь ь ~ ри (и, — и) г(у = ~ рии, (1 — -"-) г(у. о о 2 Разделим полученное выражение иа р,и . Тогда получим: Масса жидкости риггу теряет в пограничном слое кинетическую энергию, равную ри(и — и')г(у. Для всего слоя эта потеря составит: Тогда толщина потери энергии представляет собой толщину движущейся вне слоя жидкости, обладающей кинетической энергией, потерянной в погррничном слое.

Для решения задач о течении сжимаемой жидкости в риде случаев целесообразно иметь одинаковую структуру Формул, определяющих интегральные толщины. Поэтому 2З7 ь в =)" г (1 ") а„ 1 = Р,йй -". (5-36) Заменим далее — = — — ~= — —, Р,иаи лРа лйа . од ох но ох оа (5-38) Здесь зь ла П= — „„- и Н = е,с(х+ дрй», (5-37) 233 наряду с формулой (5-33) толщину вытеснения Ь часто подсчитывают по формуле При этом, естественно, нарушается приведенный ранее физический смысл толщины вытеснения.

Для несжимаемой жидкости уравнения (5-33) и (5-36) оказываются тождественными. Решение задачи о сопротивлении тела в потоке вязкой жидкости при безотрывном обтекании сводится к установлению распределения сил трения вдоль обтекаемых поверхностей тела, а следовательно, к расчету пограничного слоя. Широко распространенный приближенный метод расчета основывается на оценке изменения количества движения в пограничном слое. Произведем такую оценку. Из определения толщины вытеснення следует, что всю массу жидкости, протекающей в пограничном слое, можно условно заменить массой, расположенной между линией аЬ и стенкой сЫ (рнс.

5-15), скорость которой равна нулю („ вытесняемая" масса), и массой, протекающей выше аЬ со скоростью в, Со стороны стенки на вытесняемую массу действуют силы трения, а в направлении течения будут приложены силы давления. Скорости выше линии вытеснения аЬ равны и,=-и,(х) и в пределах рассматриваемого объема на основании дифференциальных уравнений пограничного слоя (5-32) — = О. Применяя уравнение импульсов, можно найти Ьо ад величину потери количества движения на участке с(х: где е,дх и с(рй — секундные импульсы сил трения и сил давления, действующих на „вытесняемую" массу жидкости.

* Изложенный виже вывод интегрального соотношении дан А. П. Мельниковым. Количество движения 7 на основании уравнения (5-34) можно выразить через толщину потери импульса: Поскольку на внешней границе пограничного слоя течение считается потенциальным, продольный градиент давления — ~ легко выражается на основании уравнения Бернулли о'х через скорости и„ и плотность р,; Ыи, ох ' "а'х а' — = — Р иьл —.'=- — Раи,и'. Подставляя эту величину в (5-37), находим; » г и'3"' — '+ рьй"'2иаи + р„и„— — =- еа — рьц,и'3', (о-37а) и разделим (5-37а) на р,и,. В результате получим для сжи- маемой жидкости следующее уравнение; + (2+0 Мь) = лх и, Рано Уравнение (5-38) носит название и н те г р альп о го соотношения, так как величины Ь» и 3 выражаются интегралами (5-33) и (5-34).

Интегральное соотношение (5-38) для пограничного слоя можно получить, не прибегая к понятию толщины вытеснения. С этой целью уравнение импульсов применяется к объему жидкости, заключенному между двумя бесконечно близкими поперечными сечениями пограничного слоя 239 (рис. 5-15,б). Подставляя в (5-38) выражения для условных толщин 5, 6" и заменяя и через ~, после преобразоваор а о'х ' ний находим: — ри'ььу — и, „— ь риду = — х, — 5 „— — . (5-39) о о Для несжимаемой жидкости получим: ь ь — иЧу — и, „— ~ иЫу= — — ' — —.„~' . (5-39а) — — — = —; — —,Е Интегральное соотношение для пограничного слоя пригодно для расчета как ламинарного, так и турбулентного пограничных слоев, так как при его выводе не делалось никаких предположений относительно касательного напряжения х,.