3 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 2

С этой целью рассмотрим обтекание жидкостью двух геометрически подобных тел (рис. б-2). В случае кинематического и динамического подобия двух рассматриваемых явлений поля скоростей и сил в двух потоках должны быть взаимно пропорциональными. Тогда, вводя масштабы длин т'., времени Т и массы М, можно представить связь между длинами, временами и массами двух подобных потоков следующим образом: Р = гх'; Г = Т(; т' = Мт.

Масштабы всех других величин, входящих в уравнения (5-4), легко выражаются с помощью указанных масштабов. Допустим, что уравнения (5-4) выражают связь между параметрами течения первого потока. Имея в виду размер- 203 ности величин, входящих в эти уравнения, отраженные в единицах измерения: длины х, у[и], скорости и, о[м/сея], плотности р [кг. сея',(м'], кинематической вязкости э [м'/сек ], массы т[мг сек*~.и] и давления р [ьГ].м'], легко связать параметры первого и второго потоков с помощью масштабных коэффициентов: х' « ' »»' и' м т ' (5-5) Здесь и выше штрихом обозначены параметры течения второго потока. Соотношения между параметрами (5-5) являются очевидным следствием пропорциональности линейных размеров, времен и масс двух подобных потоков. Располагая оси координат в обоих потоках одинаковым образом, путем подстановки соотношеннй (5-5) в первое уравнение (5-4) можно записать для второго потока: «2 / ! Уравнение (5-6) выражает уравнение количества движения в дифференциальной форме для второго потока, записанное через параметры первого потока.

Все члены уравнений (5-4) и (5-6) имеют, естественно, одинаковую размерность †,, [м,!сек'], в чем легко убедиться с помощью соотношений (5-5). Чтобы потоки были динамически подобными, необходимо, чтобы они удовлетворяли одним и тем же дифференциальным уравнениям движения. Отсюда следует, что комплексные множители перед членами уравнения (5-6) одинаковы, т.

е. "» «» «««» ь т 4™ «е е' или 7.. МЬ Заменяя здесь масштабные коэффициенты из (5-5), окончательно получаем с учетом уравнения энергии (5-3) следующие условия подобия: !» !»' с1 сч' »! «!' ! !' ' С2 »2' л' яс !»», рс' р'с' ' ' «Х' (5-7) Таким образом, два потока являются динамически подобными, если выполняются соотношения (5-7) между параметрами этих потоков. Соотношения (5-7) называются к р и т е р и я м и п о д о б и я. Первое соотношение (5-7) устанавливает равенство.

чисел Рейнольдса в двух потоках: (се = — =- !се'. Критерий Рейнольдса выражает соотношение между силами вязкости и силами инерции в потоке. Второе условие является единственным, куда входят сходственчыс отрезки времени ! и !', и оно получилось как следствие подобия членов, содержащих локальные уско/ди ди х рения [ — и — ] в уравнениях движения. Локальные [ш д!] ускорения характеризуют только неустановившиеся, в том числе и периодические, процессы движения газа. Следовательно, второе равенство является условием подобия для неустановившихся потоков. Отношение БЬ= — ' 5)!' носит название числа Струхаля; для периодического дви- жения » л! 205 ! где п = — — частота периодически нестационарного процесса.

Третье уравнение дает равенство критериев подобия, учитывающих влияние массовых сил в потоке. Если ускорение в поле земного притяжения можно считать постоян- ным (я=йг), то этот критерий, называемый критерием Фруда, легко представить в таком виде: Рг = —,=Рг'. В газовых потоках влияние массовых сил, как правило, невелико и поэтому критерий Гг при моделировании газовых потоков не принимается во внимание. Четвертое уравнение (5-5) выражает связь между статическими давлениями и скоростными напорами в сходственных точках подобных потоков. Величину — 2р Р== — Ф Роз можно рассматривать как характеристику, учитывающую влияние сжимаемости. В этом легко убедиться, заменяя р через скорость звука: ра' Р=— л Тогда для двух потоков получаем: или Следовательно, одинаковость чисел рггмеет своим следствием равенство чисел (гМ в сходственных точках потоков.

Отсюда следует, что число М, известное нам из предыдущего, выступает как критерий подобия, отражающий свойства сжимаемости. В такой же мере и показатель изоэнтропы (г в совершенном газе следует рассматривать как критерий подобия. Рассматривая дифференциальное уравнение энергии (5-3) для сжимаемой вязкой жидкости, можно получить дополнительный, уже знакомый из предыдущего критерий подобия Прандтля: гас Рг=— Х Из этого же уравнения вытекает также одинаковость критериев й и М для газовых потоков. 206 При турбулентном течении вводится важная характеристика — степень турбулентности: с Е= —, с,„' где оз = — ( (с — с )*г(г — средняя квадратичная скорость аг ) э1 пульсации; с — мгновенное значение скорости; с — сред- няя скорость турбулентного течения: с = — ~ сг(у.

1 г и оГ Резюмируя, отметим, что необходимые условия подобия двух потоков сводятся к равенству определяющих крите- риев в сходственных точках натуры и моделей и тожде- ственности начальных и граничных условий. Анализ уравнений движения и размерностей величин, определяющих сопротивление обтекаемого тела или потери энергии в потоке газа, показал, что соответствующие без- Р азмерные характеристики сопротивления являются функ- 1, циями основных критериев подобия: с, =с„(Ре, М, Рг, 5)г, Е); в=г.(Ке, М, Рг, 5(г, Е), (5-7а) где с„— коэффициент сопротивления (см.

$5-13); ' — коэффициент потерь энергии (см. Я 4-5; 5-14; 8-5 и др.), При исследовании различных явлений не все критерии имеют одинаковое физическое значение. В зависимости от конкретной задачи один или несколько критериев могут иметь преобладающее значение, в то время как другая группа критериев не оказывает заметного влияния на харак- теристики движения. Так, например, для установившегося движения несжи- маемой жидкости критерии М и ЗЬ теряют смысл и зави- симость (5-7а) упрощается. С учетом сжимаемости при установившемся движении ' В соотношения (5-7а1 критерий Л не входит, так как согласно молекулярно-кинетической теории газов условие Рг = Рг' эквивалентно условию Ф= й'. 207 для газов с одинаковыми физическими свойствами с, = =с„(Ке, М).

Обеспечить равенство всех критериев подобия возможно только в натурном эксперименте, который связан с большими трудностями. Обычно осуществляется приближенное подобие (частичное моделирование) по одному или двум наиболее важным критериям. Результаты эксперимента нетрудно скорректировать и на другие критерии, если известны значения этих критериев в опыте и зависимость изучаемых характеристик от этих критериев. При исследовании потоков, в которых определяющими являются два или три критерия (например, Ке и М или Ке, М и Бп), необходимо осуществлять принципы раздельного моделирования, т. е.

обеспечивать возможность независимого изменения каждого из критериев в определенном диапазоне его значений. В заключение отметим, что рассмотренный выше прием анализа размерностей может оказаться весьма эффективным, если известны физические параметры, определяющие исследуемый процесс, но не удается решить или даже записать систему дифференциальных уравнений задачи.

В этих случаях метод размерностей в сочетании с экспериментальными данными позволяет получить респение для целого класса механически подобных явлений. Э-З. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основными уравнениями установившегося адиабатического движения вязкого газа являются уже известные иам уравнения неразрывности, количества движения и энергии. Уравнение импульсов одномерного установившегося потока без энергетического обмена с внешней средой при наличии трения можно записать в таком виде: сдс+ — '" +дХ, =О, (5-8) где ИХ вЂ” единичный импульс сил трения. тр Величина дХ, может быть выражена по гидравлической формуле: (5-9) где й — коэффициент сопротивления; Π— внутренний диа. метр трубы. Решая совместно уравнения (5-8), (5-9), (2-14) и (2-6), можно получить дифференциальное уравнение распределения скоростей вдоль трубы переменного сечения с учетом влияния вязкости.

Очевидно, что это уравнение аналогично (2-29), но должно содержать еще один член, учитывающий влияние вязкости. Простые выкладки приводят к такому выражению: где х= —. Формулу, определяющую изменение давления потока вдоль трубки перемешюго сечения, следуя уже известному методу, изложенному в гл. 2, можно получить в следующем виде: Из уравнений (5-10) и (5-11) можно заключить, что изменение параметров течения в трубке переменного сечения происходит под воздействием двух факторов: деформации потока (изменение сечения трубки) и сил трения.

Уравнения показывают, что влияние трения всегда является односторонним. Так, например, при дозвуковых скоростях (л( 1) в суживающейся трубке 02Р(0) трение способствует ускорению течения (пЛ)0 и др(0). Г!ри сверхзвуковых скоростях в такой же трубке (ЙР(0) трение приводит к замедленному падению скорости и соответственно к более медленному возрастанию давления по сравнению с идеальным процессом без потерь. Из уравнений (5-10) и (5-11) следует, что в простейшем случае трубки постоянного сечения (г)г"=О) при Л(1 лл ЛР имеем — ) 0 и — (О и, следовательно, поток ускол Р ряется. Нетрудно видеть, что в этом случае при сверхлл звуковой скорости (Л >1) — (О: поток тормозится.

л Сопоставляя влияние изменения сечения трубки (деформации трубки тока) и влияние трения, можно заключить, что в дозвуковом и сверхзвуковом потоках трение приводит с качественной стороны к такому же изменению скорости течения, как и уменьшение сечения трубки. Следовательно, воздействие сил трения в потоке можно заменить эквивалентной деформацией струи — уменьшением ее сечения в направлении движения. Правомочность такой замены вытекает из следующих рассуждений. Движение газа в трубе без энергетического обмена, но при наличии сил трения является необратимым адиабатическим процессом.