3 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 3

Такой процесс, как нам уже известно, сопровождается ростом энтропии. Прирзщение энтропии можно выразить по уравнению (4-27). Для энергетически изолированной системы ~имея в виду, что Раа Раа 1 Т„ = Таз и что уравненне состояния дает — = — 1 получим: ,) — Рэг йз =- и 1п — = (х 1и — . Р02 аа Так как энтропия в направлении потока возрастает, давление торможения Р„должно уменьшаться, По уравнению неразрывности (2-41] для двух сечений трубы за. метим, что при одинаковых в обоих случаях величинах Р„ Л, и Л, сечение Р, прн наличии сил трения должно быть больше, чем для изоэнтропического потока.

Величину а,р можно рассматрииать как живое сечение струи. Для трубы постоянного сечения (Р = сопя!) очевидно, что живое сечение а,Р при наличии трения уменьшается, так как уменьшается величина ем (5-13) 210 Уравнение (5-10) может быть использовано для некоторых заключений о положении сечения, отвечающего экстремальным значениям скорости. Выразим из уравнения (5-10) логарифмическую производную сечения: и'Л й лр Л й+1 (Лэ — !) — '+ С вЂ” ЛЧл Р й — 1 1 — — Лэ й+! отсюда следует, что при 1(Л=О и Л-с1 й КР й+1 Ц вЂ” Лэг(х — 1 )О.

Р й— 1 — — Л' й+1 5-4, дВижение ГАЗА В цилиндРическОЙ тРуБе Из уравнения (5-10) для цилиндрической трубы (--= с!Р†; =0) получим: ( — '-' =" 1 ' с(Л Iг й+ 1 ~~~' (5-14) Из предыдущих рассуждений, а также непосредственно из анализа уравнения (5-14) легко прийти к выводу, что критическая скорость течения может возникнуть только в выходном сечении цилиндрической трубы, Действительно, согласно уравнению (5-14) при Х(1 и г(Л>0 поток в трубе ускоряется, а при Л)1 и 1тй(0 он замедляется. Случай Л = 1 в промежуточном сечении трубы противоречит уравнению (5-14) и физически нереален.

Допустим, что коэффициент сопротивления является величиной постоянной'. Тогда уравнение (5-14) можно проинтегрировать. Интеграл уравнения (5-14) запишем в такой форме: Л' 2й — — — — 1п — = — гс, Лз Лз Лз й + 1 1 1 (5-14а) где Л, — безразмерная скорость в начальном сечении трубы; Л вЂ” безразмерная скорость в некотором сечении на расстоянии х от начального.

' Такое допущение оправдывается только в первом приближении. В действительности ь зависит от чисел !!е и М. 211 Следовательно, сечение, соответствующее максимальной скорости при Л ( 1 и минимальной скорости при Л ) 1, не совпадает с минимальным сечением, а смешается в расширяющуюся часть трубки. Соответственно критическим условиям (Л = 1) также отвечает сечение в расходящейся части трубки. Это означает, что минимальное и критическое сечения трубки при наличии трения не совпадают.

В этом случае, полагая в (5-10) Л = 1, получим: ДР й — „= — Гл(х)0. у„„=А — 1+1пХ, ! (5-16) Кривые у(Х) состоят нз двух ветвей, отвечающих дозвуковому (Х (1) и сверхзвуковому (Х > 1) потокам в трубе постоянного сечения (рис. 5-3).

Кривые наглядно иллюстрируют невозможность перехода в цилиндрической трубе из одной области скоростей Введем безразмерную координату, которую называют приведенной длиной трубы: йе у = — Гх. и+! Тогда уравнение (5-14а) можно записать так: (5-15) Хз !к Хз, Зависимость между Х и у при постоянном значении Х! приведена на рис. 5-3. Величина у имеет максимум при 2=Ха=1. Максимальное значение приведенной длины трубы выражается формулой 4 Ф о ЛУ Из формулы (5-16) сЛедует, что при Х,=1 у„,„,=О. Графически зависимость (5-16) представлена на рнс, 5-4, Кривая также имеет две ветви, Пижняя ветвь отвечает дозвуковым скоростям на входе в трубу, а верхняя— Я сверхзвуковым. 21 Таким образом, урав- "' нение (5-16) показывает, что для цилиндрической йу трубы заданных размеров 1 и 0 при скорости на выходе из трубы 2к = 1 и для определенных значений !и и и г Г безразмерная скорость на входе в трубу йы а вместе Рнс.

3-4. Максимальная прнведенс тем и приведенный расход нзя длина трубы в завис!скости от газа д имеют строго опре! скорости на входе. деленные значения. При дозвуковой скорости на входе в цилиндрическую трубу длиной 1, характеризуемую коэффициентом сопротивления с, при установившемся движении может пройти максимальное количество газа, если Х, = 1. Абсолютный расход газа через трубу предельной длины будет равен: р г Рис, б-з.

Зависимость безразмерной скорости на выходе из трубы от скорости на входе н приведенной длины трубы, в другую. В такой трубе, как было показано выше, при определенной скорости па входе 2, и соответствующей длине на выходе достигается критическая скорость (Х,=1). Дозвуковым потокам на входе в трубу (Х, к 1) отвечает участок кривой АВ (рис. 5-3), а сверхзвуковым (Х!)1) — участок СВ.

Точка В определяет максимальную величину функции у для данного значения Х,. 212 =Л!'( 2 ) ° Х,н,„,(1 — ~ ! 2,н ) р П,, Вспоминая, что ! ~а — ! / '+!/ г (а+1!й 'ут„' ( ) 1/ Р. получим: ь †! макс к (ь, + !11з !каке 1 д ! ! ! яаке/ у т, (5-17) 213 а .=0,528 0,453 = 0,239 и — 1 1 — —,— Л (5-!8) 2 ' =(,— 1) г7 = «г(. (5-19) 214 215 Таким образом, для увеличения абсолютного расхода газа через цилиндрическую трубу определенных размеров необходимо увеличивать давление полного торможения на входе в трубу или — при постоянном значении сㄠ— уменьшать температуру торможения Т,. При этом в выходном сечении трубы будет по-прежнему критическая скорость, абсолютное значение которой уменьшается по мере снижения температуры торможения. Однако расход будет увеличиваться за счет увеличения плотности.

При сверхзвуковых скоростях на входе в трубу, как показывает опыт, обнаруживаются некоторые новые свойства потока, которые не описываются уравнением (5-15). Заметим, что согласно уравнению (5-15) при 2г ) 1 скорость в трубе должна непрерывно падать к выходному сечению по кривой СВ на рис, 5-3, а давление — соответственно непрерывно возрастать. Однако в действительности изменение скоростей и давлений в трубе в ряде случаев происходит скачкообразно. Прежде чем подробнее разобрать этот случай движения газа, найдем зависимости, определяющие изменение параметров потока между двумя произвольными сечениями.

Так как в изолированной трубе 1,= сопи!, то для любых двух сечений можно написать Т„ =Т„ = сопи!. Из этого условия получаем уравнение для ТуТ, в форме уравчения (2-22). Для отношений давлений можно воспользоваться формулами (2-41а) и (2-42). После несложных преобразований получим связь между статическим и полным давлениями в следующем виде; Отсюда при х = ха = 1 определяется критическое отношение давлений: Формула (5-19) показывает, что критическое отношение давлений Р для необратимых течений будет меньше, чем Рог для изоэнтропических, для которых '=~А) Уравнения (5-18) и (5-15) позволяют построить графики изменения давлений вдоль трубы для заданных значений и Подобный график приведен на рис. 5-5 для случая сверхзвуковой скорости на входе в трубу 2, = 1,76 и г!г= =0,453, Здесь кривая АВ характеризует повышение давления в трубе до критического значения в точке В, равного: Если известно распределение скоростей по трубе, а оио легко подсчитывается по уравнению (5-14а), то можно по формулам (4-20) и (4-24) определить скорости и давления за прямым скачком уплотнения в каждом данном сечении (линия СВ).

За прямым скачком поток — дозвуковой и, следовательно, давление в нем под влиянием сил трения должно падать, Так, если прямой скачок возникает непосредственно во входном сечении, то дальнейшее изменение давления протекает по кривой С0. Характер изменения давлений в дозвуковом участке трубы при различных промежу- иг 122 дз йл гу ад а,р дд Рис. б-б.

Распределение данлення по трубе постоянного сечения. точных положениях скачка представлен соответственно кривыми 1М, ВА1 и т. д. Диаграмма давлений позволяет проанализировать различные режимы течения в трубе. При указанной скорости на входе )., и приведенном расходе газа г), режимы в трубе без скачков возможны в тех случаях, когда 7 ( у„„,, причем максимальное значе-. ние приведенной длины отвечает точке В. При условии у ( ун,„, скачки в трубе возникают только тогда, когда давление на выходе из трубы больше соответствующего давления, показываемого кривой АВ. Допустим, что труба имеет ллину, определяемую точкой 1 (у = 0,35), а давление за выходным сечением задано точкой 1., которая лежит на кривой СВ. В этом случае прямой скачок располагается в выходном сечении трубы 11..

Если давление срелы, куда вытекает газ из трубы, определяется точкой К, то прямой скачок перемещается внутрь трубы и располагается в сечении ЕГ, причем отрезок ТК соответствует понижению давления в дозвуковом участке трубы, Последующее повышение давления среды приводит к дальнейшему перемещению скачка внутрь трубы (к входному сечению). Если давление среды определяется точкой 5, то в трубе скачков не возникает, а в струе, выходящей из трубы, образуется конический скачок (или система плоских косых скачков, если труба прямоугольного сечения).

При уменьшении давления до величины давления в точке 1 интенсивность конического скачка уменьшается. В точке 1 конический скачок вырождается в слабую коническую волну, при пересечении которой энтропия не меняется'. Если, наконец, давление среды меньше, чем давление в точке 1, то за выхолным сечением образуется коническая стационарная волна разрежения и поток газа расширяется за пределами трубы. Кривые давлений в трубе (рис. 5-5) показывают, что при постоянной длине у и давлении па выходе ра с увеличением скорости на входе Т, прямой скачок смещается к выходному сечению.

При увеличении сопротивления трубы (путем, например, подключения дополнительного участка трубы) перемещение скачка происходит в обратном направлении (ко входу в трубу). з Различные системы скачков, образующихся в стоуе на выходе нз трубы, подробно рассмотрены в гл. 6. 216 6-о. ПОТЕРИ НА ТРЕНИЕ Б НИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ (ОПЫТНЫЕ ДАННЫЕ) Выше рассматривалось движение вязкого газа в трубе в предположении, что коэффициент сопротивления г постоянен. В действительности коэффициент сопротивления зависит от числа Рейнольдса и — в общем случае — от безразмерной скорости М. Такая зависимость устанавливается экспериментально.

Число Рейнольдса для произвольного сечения цилинлрической трубы определяется по формуле (хе = —. рсО Р Для цилиндрической трубы 1 l 2 х" ' гг 2я следовательно, 2 Ха ' Г 2В Озп Йе =1 — ~ у — 1з,р, — ' Рг(1юм (5-20) формуле 1 а 1273) ' (5-21) где а — постоянная величина; р, — коэффициент вязкости при температуре Т = 273о. По опытным данным для воздуха а=0,76; р,=1,76 10 '.

217 Из формулы (5-.20) видно, что число Йе меняется вдоль трубы только вследствие изменения коэффициента вязкости р, который зависит от температуры. Можно показать, однако, что в теплоизолированной трубе изменения температуры невелики. Так, при изменении скорости водяного пара в трубе от 2, =0,2 до Х, = 1 температура изменяется на 1!а(а, в то время как давление уменьшается в 4,5 раза, а плотйость — в 5 раз.