Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 9

Обычно метод преобразований Карсона — Хевисайда или метод Лапласа применяется к нестационарным процессам, т е. преобразование проводится по временной координате (интегрирование происходит в пределах от 0 до ). ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 43 позволяет не только получить комплекс критериев подобия для данного закона взаимодействия тела с окружающей средой, но и установить взаимосвязь между критериями подобия, а значит, найти основные критерии подобия. Следовательно, решения для изображения, которые можно получить в подавляющем большинстве случаев, являются основными исходными соотношениями для нахождения связи между обобщеннымипеременными. Известно, что трудность аналитических исследований состоит в переходе от изображения к оригиналу, а не в получении решения для изображения.

Кроме того, из решения для изображения можно получить ряд приближенных расчетных соотношений, на основе таблиц изображений оригиналов функций и в результате упрощения путем аппроксимации решения для изображения. Таким образом, операторные методы при применении их к диффе. ренциальным уравнениям совместно с условиями однозначности дают возможность получить соотношения между усредненными значениями основных критериев подобия тепло- и массообмена и, следовательно, способствуют дальнейшему развитию теории тепло- и массообмена на основе методов операторного подобия.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В гл. 1 было выведено дифференциальное уравнение теплопроводности, которое устанавливает зависимость между температурой, временем и координатами тела для бесконечно малого объема. Это уравнение является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка с частными производными. Исследованию и методам решения классического уравнения (3) Е 5 гл. 1 в математической физике посвящено большое количество работ.

Здесь не рассматриваются эти работы, а приводятся основные методы решения и главное внимание уделяется выяснению физической сущности соответствующих преобразований. Поэтому в наших выводах отсутствует детальное математическое исследование применяемых приемов, что сделано с целью приближения методики решения к техническим, инженерным расчетам. Читатели, интересующиеся математической стороной вопроса, могут обращаться к соответствующим работам [14, 74а). 5 П АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕПЛОПРОВОДНОСГИ Дифференциальное уравнение теплопроводности без источников тепла можно написать так: дТ вЂ” = ат)'Т. д~ Напомним, что решения этого уравнения обладают свойством наложения аналогично решениям обыкновенного однородного дифференциального уравнения, т.

е. если Т, и Т вЂ” два частных решения уравнения, то выражение С,Тт + С,Т, является также решением этого уравнения при произвольных значениях постоянных С, и С,. Дифференциальное уравнение с частными производными типа (1) имеет бесчисленное множество частных решений. Поясним эта на примере. Имеем однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (а, Ь, с, А е, Г) для некоторой функции Т от двух'переменных ! и ч: а — + Ь вЂ” +с — +й — + е — +ГТ = О. д2Т д2Т УТ дТ дТ дР дада дч~ д$ дч (2) Тогда подстановка Т = Сам+'ч (3) является частным решением этого уравнения, а именно Ут ьзСаы+сч д т (зСеы+тч д1' ' ' дч2 Если подставим эти соотношения в уравнение (2), то после сокращения на Се ~~ ~ получим так называемое уравнение коэффициентов м+й) паз + ЬЫ + с)з + Ы + е1 + ~ = О. (4) Следовательно, выражение (3) является частным решением для тех значений и и С которые удовлетворяют уравнению коэффициентов (4).

Таким образом, можно взять произвольное значение одного из этих двух коэффициентов. но тогда второй должен находиться из уравнения (4), т. е. получим бесчисленное множество частных решений. Уравнение коэффициентов является квадратным уравнением, например, по отношению Й (считаем й переменным, а 1 постоянным), и в зависимости от значения его дискриминанта можно получить для И два корня: 1) неравных действительных, 2) равных действительных и 3) комплексно-сопряженных. Получаемый результат для корней л находится в зависимости от физической сущности изучаемого процесса, описываемого дифференциальным уравнением (2). Необходимо обратить внимание на то, что решение (3) можно написать как произведение двух функций: Т = Сан еич СЬ(1) 0 (и) одна из которых Ь(1) =еызависит только от 1, а другая 8(т)) =-еИзавнсит только от т1.

Однако существуют такие решения уравнения (2), для которых это разделение невозможно. 5 2. НАХОЖДЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ Метод разделения переменных. Классический метод решения дифференциального уравнения теплопроводности состоит в том, что находится совокупность частных решений Т„, удовлетворяющих уравнению и граничному условию, а затем по принципу наложения составляется ряд этих решений: Т = С1Тт + СзТз + ... = ь С„Т„. (1) л=! Коэффициенты С„находятся из начального условия. Строго говоря, это свойство наложения для бесконечного ряда нуждается в специальном обосновании, так как оно безоговорочно справедливо только для конечной суммы.

Такое обоснование состоит в том, что необходимо доказать равномерную сходимость ряда, полученного после дифференцирования ряда (1), а также законность почленного интегрирования ряда при определении коэффициентов С„. Это обоснование можно найти в монографиях по математической физике. 46 Глава третья Частное решение Т ищется в виде произведения двух функций, одна из которых 0(х) зависит только от времени т, а другая Ь(х, у, г) зависит только от координат, т. е. / Т = СО (с) Ь (х, у, г), ) (2) где С вЂ” произвольная постоянная.

Если подставим решение (2) в уравнение (1) 0 1, то получим 0' (т) Ь(х, у, г) = а0(г) с7гЬ(х, у, г); это равенство можно написать еще так: 0'(с) ссгз(х, у, г) 0('с) а 0 (» г) (3) Левая часть равенства может зависеть только от г или быть постоянным числом, но она не зависит от координат. Правая часть может зависеть только от координат или быть постоянным числом, но она не зависит от времени. Равенство должно иметь место при любых значениях времени и координат. Это возможно только в том случае, если правая и левая части равенства равны некоторой постоянной величине О, т. е.

0'(с) = О = сопз(; 0(с) асуьз(х, у, г) 0(х, у, г) = О = сопз1. (5) Уравнение (4) можно проинтегрировать, и тогда получим 0(т) = ео'. (6) (8) (9) Постоянную интегрирования не пишем, поскольку ее можно отнести к постоянной С. Постоянная величина О выбирается из физических соображений. Для тепловых процессов, стремящихся к температурному равновесию, когда по истечении длительного промежутка времени (т-+ ) должно установиться определенное распределение температуры, величина О не может быть положительной величиной, она будет только отрицательной. Если О есть величина положительная, то при длительном промежутке времени температура будет больше любой наперед заданной величины, т.

е. стремиться к бесконечности, что противоречит физической сущности процесса. Если температура тела есть периодическая функция времени, например в случае распространения тепловых волн в теле, то величина О должна быть мнимой величиной, чтобы вместо простой экспоненты (б) получить периодическую функцию времени.

Рассмотрим первый случай, когда О~(0. Так как величина О пока произвольная постоянная по числовому значению, то можно положить О = — аяг, (7) где а — коэффициент температуропроводности (величина положительная). я — некоторая постоянная, которая определяется из граничных условий. Подставляя эти значения для О, получим: 0(х) = е-"*', ~сгЬ(х, у, г) + я Ь(х, у, г) = О. Дифференциальное уравнение (9) часто называют уравнением Покеля; оно хорошо изучено в математической физике.

ОСНОВНЪ1Е МЕТОДЕ! РЕШЕНИЯ КРАЕВЪ)Х ЗАДАЧ Таким образом, применяя метод Фурье, уравнение теплопроводности сводим к уравнению типа Покеля, решение которого определяется геометрической формой тела, начальным распределением температуры, а также условиями теплообмена тела с окружающей средой или с окружающими телами. Пусть при соответствующих заданных условиях известно решение уравнения (9), т.

е. нами найдена функция В (х, у, г). Тогда частное решение уравнения теплопроводности можно написать так: Т = Се '"" В(х, у, г). (10) Решение (10) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности при любых значениях С н я, т. е. является частным решением. Следовательно, давая постоянным С и й различные значения, получим бесчисленное множество частных решений. По принципу наложения общее решение будет равно сумме частных решений согласно соотношению (!). Постоянные й определяются граничными условиями, а постоянные С вЂ” нз начальных условий. В простейших случаях, когда 9 зависит только от одной координаты $ (одномерные задачи, связанные с нахождением симметричного температурного поля в неограниченной пластине, цилиндре, шаре), решение уравнения (9) можно представить как сумму двух частных решений, гр(!) и р(1), т. е.

9(!) = ~р(й!) + т'(лс). (11) Это обусловлено тем„что общее решение всякого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка 9" + РЛ)В'+ д(В)В = 0 (12) можно написать в виде В=С,В, +С,В„ (13) где С, и С, — постоянные, а В, и В, являются линейно независимыми интегралами уравнения (12), т. е. такими интегралами, отношение которых не является постоянной величиной: — + сопз1.

Э Эз Достаточно знать только одно линейное независимое решение, например Вм тогда второе находится по формуле": Эа = 9„)9~ е с(!. (14) 11 Формулу (14) можно получить следующим образом: положим Э, = Э,г и подставим в уравнение (12): Э,г" + (29, + рЭ,]г'+ (Э~ + рЭ, + ОЭ,]г = В, г" + (29, + ра,)г' = О (так как вторая скобка равна нулю, поэтому Эт есть решение уравнения (12)1.