Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 11

Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплекснэго переменного. В подавляющем большинстве случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегрированию, а воспользовавшись таблицами [1181 Нахождение оригинала функции по ее изображению может быть выполнено особенно быстро, если изображ ние совпадет с одним из изображений, содержащемся в таблице (см, приложение Ч).

Вместо формулы (2) для определения оригинала функчии по ее изображению можно воспользоваться следующей формулой обращения: (2а) Эта формула в принципе дает возможность получить оригинал функции лишь при помощи операций дифференцирования и перехода к пределу (подробно см. гл. Х1Ч). 1. Если изображение представляет собой дробную функцию в: т(в) Аь+ Ать+- Аьеь+ (3) т(в) В в+ В в'+... которая является частным случаем двух целых трансцендентных фун- кций, то по теореме разложения имеем где сумма берется по всем корням ~с(в).

Если все корни у(в) простые т. е. все й равны единице, то формула (4а) переходит в (4). (4) я=1 где з„— простые корни функции ф(в); при этом знаменатель имеет счетное множество простых корней и не содержит свободного члена при условии, что Аь+О, для этого необходимо, чтобы существовал интеграл (2) от функции Гь(в). 2. Если изображение Гь(з)представляет собой отношение двух полиномов (дробно-рациональная функция), причем степень полинома ~р(в) меньше степени полинома (~(в) и полипом ((в) имеет корни кратности з в точках в, то ял=л-'~ ~ь~ ) =а ', !~ ( '1~' ~' ~ )), (4) гл ОСНОВНЫЕ МЕТОДБ! РЕШЕНИЯ КРАЕВБ!Х ЗАДАЧ Поскольку в нашей монографии преобразование Лапласа используется в качестве основного метода решения задач теплопроводности, то отдельной гл.

Х!Н подробно рассмотрен этот метод. Для иллюстрации техники применения преобразования Лапласа приведем следующий пример. Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла в пластине имеет вид дТ(х, ~) РТ(», ~) Применим преобразование Лапласа относительно переменной т: [ дТ(х, с) ~ 7 [В~Т(х, ~) ~ (6) откуда получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно изображения: д2Т (х, г) а, ' — зТБ (х, з) + и(х) = О, где функция и(х) описывает начальное распределение температуры.

В этом примере рассмотрим более простой случай, когда Т(х, 0) = и(х) = О, (8) Т с (х, 5) — — 7 Б (х, з) = О. (9) Решение дифференциального уравнения (9) можно написать непосредственно (см. гл. Х1Н, пример 1), а именно — (''," -Л. Ть(х,з) = Асй )I ~ х+Взй ~l ~ х = А|е +В,е, (10) где А, В, А, =, и В, = — постоянные относительно х, А+В А — В но зависящие от з величины. Если заданы граничные условия, то, определив постоянные А и В, или А, и В,, при помощи таблицы изображений или теоремы разложения находим оригинал Т(х„т). Рассмотрим ту же задачу, но при начальном распределении температуры как некоторой функции х, т.

е. Т(х, 0) = и(х). (11) После применения преобразования Лапласа относительно переменной т к дг4ференциальнсму уравнению (б) получим дифференциальное уравнение для изображения (7): аТ! (х, з) — зТБ (х, з) + и(х) .= О. (12) Решение этого неоднородного уравнения легко получить стандартными методами, например методами вариации произвольных постоян- т.

е. когда в начальный момент времени температура во всех точках была одинакова и равна нулю. Тогда уравнение (7) примет вид 54 Глава третья — 1/ — л, 1/ — л Тд(х, з) — '= А'сй ~/ в х+В'зп ~/ в х = А1 е +В~е ' „(14) в а а где А' = Тд. (О, з) — — ' = А — — ', (15) В' = В, А'+ В' А' — В' К этому же результату можно было прийти, если в дифференциальном уравнении (12) при постоянной начальной температуре и(х) = Т,= = сопз1 сделать замену переменной Т„(х, з) = (/(х,з) — ', в результате чего уравнение (12) превратилось бы в уравнение (9), а решение последнего известно. Так как А', В', А„ В, — постоянные относительно х и определяются из граничных условий, то верхние индексы можно отбросить и написать решение дифференциального уравнения (12) при постоянной начальной температуре в таком виде: (16) (17) Тд(х, з) — — '= Асп ~/ ' х+ Взй)/ ' х = А,е ' + В,е в а а (18) постоянные А и В каждый раз определяются из соответствующих граничных условий.

В заключение отметим, что наибольшая трудность в решении уравнения теплопроводности для разнообразных краевых условий состоит в нахождении оригинала по полученному изображению Тд. Применение интегрального преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений теплопроводности имеет ряд преимуществ перед классическими методами интегрирования дифференциальных уравнений и перед некоторыми другими методами интегральных преобразований. Во-первых, процесс применения интегрального преобразования Лапласа однотипен для задач самого различного характера и различных форм тела, способ решения является более прямым, не требующим особого искусства и подхода к решению каждого нового типа задач.

Во-вторых, интегральные преобразования Лапласа позволяют одинаково хорошо решать задачи при граничных условиях первого, второго, ных, изложенных в учебниках по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Оно имеет вид л Тд (х, з) = Ас(т |/à — ' х + В зп ~/ — 'х + ф — сф в х ) и(1) зп 1/ — ' Ы1— о — 1/Г " зЬ 1// ' х ~ и (1) с11 1/Г ' 1 д1 1. (13) о После определения произвольных постоянных А и В из граничных условий решение задачи сведется к определению оригинала по изображению Тд(х, з). Если в начальный момент времени температура во всех точках одинакова и равна Т„т. е. и(х) = Т, = — сопз1, то из (13) получаем ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 55 третьего и четвертого родов, без введения каких-либо новых допущений или преобразований. В-треты х, наличие большого числа простых теорем позволяет получить наиболее подходящие для конкретной обстановки результаты; в частности, получать решения в форме, удобной для расчета при малых и больших значениях времени.

В-чствертых, этот метод позволяет особенно легко решать задачи с простыми начальными условиями; наиболее эффективно использование преобразования Лапласа по временной координате, а также по пространственной координате для тел, имеющих неограниченную или полу- ограниченную протяженность. В-пятых, эффективность решения разнообрадных задач методом 'преобразования Лапласа в значительной мере усиливается наличием весьма подробных таблиц изображений. Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, известные трудности возникают при решении задач, когда начальные условия заданы в виде функции пространственных координат, или при решении некоторых многомерных задач.

В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела. Если преобразование бсрется по пространственной координате х, то интегральное преобразование функции Т(х) может быть представлено так: Если ядро преобразования К(р, х) берется в виде~/ 2 ып рх или соз рх, то это интегральное преобразование соответственно назы- 2 вается синус- или косинус-преобразованием Фурье. Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя К(р, х) = хУ, (рх), то оно носит название прсобразования Ханкеля.

В частном случае, если пределы интегргрования изменяются от — до +, а ядро имеет вид К(р, х)= 1 == ехр ((рх), то получаем комплексное интегральное преобразование ) 2-.. Фурье. Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяженности, синус-преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение функции, т. е. имеют место граничные условия первого рода, а косинус-преобразование Фурье — когда решаются дкффсренциальные уравнения переноса при граничных условиях второго рода. Преобразование Ханкеля применяется в том случае, когда тело имеет осевую симметрию. Практическое применение названных интегральных преобразований после появления подробных таблиц изображения не вызывает особых затруднений. В тех случаях, когда использование преобразований Фурье оправдано, а значения интсресующих нас изображений отсутствуют, оригиналы изображений можно найти по следующим достаточно простым формулам обращения для: комплексного преобразования Фурье +со Т(х) = =~ [~(р))рехр( — (рх)г(р, 1 г' 2~~,) (20) Глава третья синус-преобразования Фурье 1(х) = 1/ о ( [1,(р)]а,з]ярхо, о (21) косинус-преобразования Фурье ьэ 1(х) = ~/ ~ ~[Яр)]ив соя рхь[р, о (22) преобразования Ханкеля ь 7(т) =] т[], (р)]нУ, (рт)г]р.

(23) о Особенностью названных преобразований является то, что верхний предел интегрирования равен бесконечности. Если в преобразовании Лапласа (1), которое в большинстве случаев применяется по отношению к временной координате, бесконечный предел интегрирования обусловлен самим ходом нестационарного временного процесса, то в преобразованиях Фурье и Ханкеля (20 — 23) по пространственным координатам наличие бесконечного предела суживает круг применения этих методов. Другими словами, интегральное преобразование (20) — (23) успешно можно применять только к задачам для тел полуограниченной протяженности.