Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 13

3,1. К определению производной функ- так, чтобы разности х, — х, пии т" (л) = х,, — х, = Й были бы достаточно малы, и приближенно заменим о,. на р,. или т, (или, что то же самое, рассмотрим вместо касательной МГ одну нз секущих МР или АМ). Тогда у'=(ар;= — = — ' у,,— у; мо л (2) или ВМ у; — у;, у' = 16 т, = — = -' — — '- .

! АВ а (3) Если же угловой коэффициент касательной М приближенно заменить угловым коэффициентом секущей АР, то уы1 — у~ ~ 2а (4) Правые части формул (2) — (4) называются соответственно: разностным отношением вперед, разностным отношением наззд и симмзтричнын разкостным отношением.

Приближенное значение второй производно) у" функции у = р(х) при х =х,- может быть получено элементарно, если заменить кривую на участке АР ломаной линией АМР, имеющей в точке М два наклона, т. е. ( - (" ' ' ' )- ' 1 (у;,,т — у; у; — у;,) у; ~ — 2у; ' у; 5 () — (О ( (У) - де дяь (6) Так как функция Т(х, к) зависит от двух переменных х и т то используем сетку прямоугольного типа (рис.

3.2). На оси абсцисс откладываем отрезок длиною Е и делим его на и равных частей. Полученный Разумеется, приведенные формулы (2) — (5) для замены производных разностными отношениями не являются еди ственно возможными. Иногда бывает целесообразно проводить другие замены. однако прн численном интегрировании уравнений теплопроводности наиболее часто применяют именно эти формулы.

Рассмотрим, например, одномерное уравнение теплопроводности для изолированного тонкого стержня длиной 1.: ОСНОВНББЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВБ!Х ЗАДАЧ шаг на оси абсцисс обозначим через й = ь!и. Точки деления (узлы) на оси х имеют абсцисраь цьн ~,И сы х=0, х=й,..., х=й. с=м рта (М ~!а с а на По оси ординат отложим ам <а-и сы! значения времени т через равные промежутки й Проводим г:н через полученные узлы на осях координат (нэ рис.

3.2 они от- с мечена крестиками) прямые, Рис. 3.2. Схема расчета по сетке прямоугольного типа моугольную сетку. Значения Т в узлах, лежащих на осях координат и на прямой, параллельной оси ординат и расположенной от нее на расстоянии Ь, находятся из начального и граничных условий. Зэдача приближенного численного интегрирования уравнения (6) по методу сеток состоит в нахождении приближенного значения функции Т в каждом узле сетки. Обозначим через Т а истинное значение температуры в точке стержня х =1й в момент т = йй т. е. в узле, отмеченном на рис. 3.2, символом й й. дТ о-Т Заменим частные производные — и — в точке ((й, й)) через дт дха разностные отношения по формулам (2) — (5), т. е.

положим: г=м дТ, а Т; ат~ — Т,. дт +еа' дат,. Т; 1а — 2Т, а+Т; Ба ' +' где е, и еа — остаточные члены, стремящиеся к нулю при стремлении к нулю 1 и й Тогда в узле (1й, й() дифференциальное уравнение (б) заменяется следующим соотношением: -н т.а I т — ьа 2т.а+тэка + е, = а ~ ' —,' ' + е. / (9) или Т... = ~1 — — "') Тг а+ — "— ( Т,, „+ Т, „)+ И, (10) где Д = а ее — е,, Отбрасывая в (10) остаточный член !)с, получаем разностное урав- нение в котором через Ьг а обозначено приближенное значение величины Т, „в том же узле (1й, й1).

Формула (1!) позволяет вычислять значения Ь в узлах горизонтального ряда (й+ 1) по значениям Ь, находящимся только в одном предшествующем ряду (й). Позтому с помощью формулы (11) можно найти Глава третья значения Ь в узлах первого горизонтального ряда (при т = 1) по известным из краевых условий значениям температуры в узлах самой оси Ок (при т = О). Получив таким образом значения З в первом ряду, по той же формуле находим значения в узлах второго горизонтального ряда (т.

е. при е = 21). Этот процесс построения можно продолжать как угодно далеко, так как значения температуры в узлах прямых к = 0 и к = /. будут известны из граничных условий. Формулу (11) можно вывести, применяя законы Фурье и Ньютона к составлению тепловых балансов элементов, на которые разбито тело. Этот способ вывода расчетных формул шивремя многими зарубежными исследо- Рве. З.З. К выводу формулы (12) роко практикуется в настоящее вателями. Перепишем, следуя Д. Ю.

Па виде (см. схему на рис. 3.3): нову, формулу (11) в более удобном (1 2/а)З + /а +й (12) Выбирая соотношения между шагами 1 и /т различным образом, из (12) можно получить ряд частных соотношений. Так, например, при 1 = /тв/За з,+а,+з, (13) А при 1= /тв/ба Зт+ 4Зо+Зь, я з (14) пря ! = Ьв/12а З,+ 1ОЗь+Зь я 12 (15) Ль и вообще при ра Зт+ (Р— 2) Зь+ Зь Р (16) Особенно простой вид формула (12) получает при р = 2: ь, + зе (17) я Эта последняя формула, называемая формулой Э.

Шмидта, была впервые получена Д. Ю. Пановым в 1938 г. и имеет большое практическое преимущество по сравнению с формулой (14) и особенно (15), так как при том же Ь величина / самая большая, а следовательно, и объем вычислительной работы при применении (17) сокращается в 3 раза по сравнению с (14) и в 6 раз по сравнению с (15). Следует отметить, изза своей простоты формула (17) широко используется при графическом решении нестационарных задач переноса [561. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 63 Исследования показывают, что при р=! получаем уже расходящуюся вычислительную схему. Вообще следует отметить, что при решении нестационарных уравнений в частных производных параболического типа вопросы соотношения между и и й а также ошибка округления в численном решении играют первостепенную роль. ибо ими определяется сходимгсть и устойчивость получаемых решений.

Из строгих теоретических рассуждений следует: 1) пользоваться формулой (16) можно только при р)~2; 2) самый большой шаг ! дает формула (17), т. е. при р = 2; 3) формула (16) тем точней, чем больше р. Рассмотренная сетка для численного интегрирования уравнения (6) удобна, когда задача решается при граничных условиях первого рода: кы х Ь а„ к, к Рис.

3.4. Расчетная схема для задачи нестапионарнод теплопроводности (граничные условия третьего рода) — = — (Т (О. т) — Т,), ( — ) = — — (Т ((., т) — Т ) (18) ( †) = дх )к=-о Л (, дк )к=с сетку надо строить так, чтобы правая граничная прямая лежала бы п~ средние между двумя прямыми х = х, и х = х„„,, а левая — посредине между прямыми х = ха и х = х, (рис. 3 4) (х = й/2), т. е.

в рассмотрение вводятся значения Ь +, „и Ь а — значения функции для то- ГдТ 4 чек, лежащих вне изучаемой области. Производную ( — ), входядх)кг д шую во второе условие (18). т. е. в точке В(х., л(), заменяем симметричным разнсстным отношением ( — ).== — '- ' дт, Т„+,, — Т„ , дх!кг д Ш2+ Л!2 + (19) а значение температуры на самой поверхности, т. е. Т(е И), берем как среднее арифметическое значение температур в точках А н С: Т(( л ) и п+ьа Т + т 2 Тогда условие (18) запишется так: (20) Т вЂ” Т "'+" — ~ "' "+ь а Т ~ а Г Т + Т (21) Д ' Л ~ 2 в этом случае граничные прямые х = 0 и х = х.

принадлежат самой сетке. Если уравнение решается при граничных условиях третыто рода, практика вычислений и теоретические исследования показывают, что для повышения точности определения потенциала на границах следует вводить дополнительные узлсвые точки, лежащие вне изучаемой области. Например, решая уравнение (6) при граничных условиях Глава третья или, переходя к приближенным значениям Ь, получим после преобра- зований ~1 — — — ") з„е+ а — т, Ь и+ь е И а 1+ —— 2 Л (22) По этой формуле и находятся приближенные значения функции в узлах а вспомогательной прямой х = А+ — .

2 Значение же температуры на самой граничной прямой х = 7. определяется по формуле Ь(т й)) "и, ь+ "и+1са 2 что после преобразований дает а а и Е 2 Л с 25аи а+ать 2 Л (23) (24) 5 = Л/2. (25) а Значение температуры в узлах вспомогательной прямой х = — — на- 2 ходится по формуле (- ) й а ~ а [ — — — ~е на — т 2 Л) '"' Л Ь е,ь И а !+---— л (26) 11а левой поверхности получим я а + тс 28зс а+а Г, Ь(О, И) — — —.— — „ 2 Л (27) Методика решения дифференциального уравнения теплопроводности с источниками не отличается от изложенной выше. Метод конечных разностей позволяет успешно решать как одномерные, так и двух- и трехмерные задачи.

Случай, когда на область изменения переменных х и у наносится квадратная сетка, полностью исследован Ш. Е. Микеладзе [49[. Треугольные и полярные сетки рассмотрены П. П. Юшковым [86, 87) и некоторыми другими авторами [83). Необходимо отметить, что полярные сетки особенно удобны для решения задач с осевой симметрией. Нахождение температурного поля в пространстве трех измерений при постоянных теплофизнческих характеристиках дано в работе [87), а при переменных — в работах [5,89). Все этн вопросы достаточно подробно изложены в монографиях [66,87). Метод конечных разностей, как показал П. П. Юшков, позволяет эффективно решать также систему дифференциальных уравнений теплоироводпости как при постоянных [86,87), так и при переменных [86) коэффициентах.