Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 12

Кроме того, следует отметить, что при использовании преобразований Фурье, особенно синус- и косинус-преобразований, необходимо обращать большое внимание на сходимость интегралов, так как условия сходимости здесь становятся более жесткими, чем условия сходи- мости соответствующих интегралов для преобразования Лапласа. Конечные интегральные преобразования. Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований.

Даже в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими методами с помощью рядов Фурье или Фурье — Бесселя, им следует отдать предпочтение. Простота методики решения — ее «стандартность»- дает методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами, хотя математически он эквивалентен методу собственных функций.

Впервые идея метода конечных интегральных преобразований типа (24) [7(р)]г,н = ] К(р, х)7(х)ь]х а была предложена Н. С. Кошляковым [37]. Наиболее полно теория таких интегральных преобразований была разработана Г. А. Гринбергом [14], который дал обобщение этих методов на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование. Детальная разработка интегральных преобразований с конечными пределами была проведена Снеддоном [72], Трантером [75], Дейчем [23] и др.

Если граница интегрирования заключается между 0 и 1, ядра конечных синус- и косинус-преобразований Фурье, а также преобразования Ханкеля соответственно имеют вид: ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 57 р.х К(р, х) = з1п— (25) К(р, х) = созрхД (26) (при граничных условиях первого и второго родов р = иа, а при гра- ничных условиях третьего рода )2 являются корнями уравнения р(д12 = =- а //Л); К(р, х) =г,/ ()2 — ), (27) где 12 — корень уравнения /„(р) = 0 (граничные условия первого рода), при граничных условиях третьего рода р определяется из уравнения 12 Л ./„(р) = — —,,/„' (р) (28) Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. Поэтому решения, получаемые этими методами, имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, получаемые классическими методами.

Так, формулы обращения имеют вид: для синус-преобразования 2Л 2 кл / (х) = 1 2~ ~, (и) айп и а хД, (29) л=1 для косинус-преобразования ° 2 1 2 чл /'(х) =- /2(0) + ~2 /,(и)соз игх// (30) при граничных условиях второго рода и р„ + (л //Л) /(х) = 2 х'.2 ~ ° + / л1+„1/л /с(Р„)созРлхД л=! (31) где суммирование ведется по р,18 р, =- а//Л; при граничных условиях третьего рода всем положительным корням уравнения дли преобразования Ханкеля 2 2 ч Т(х) = —, ~ /н(Р„) л 1 У, (и„х//) (32) [Т,' (р) 1* по всем положительным корням /„(12) =- О, где суммирование ведется нли л 12„ /, (рлх/О 2 н ( л) л/ 2 (" ) ) (Н2 „21 /, (12) 2 /(х) = —., л=1 где суммирование ведется по положительным корням (28). Преобразование Ханкеля (27) применяется при решении задач теплопроводности для сплошного цилиндра.

Для полого цилиндра в преобразовании Ханкеля ядро преобразования К (р, х) берется в ином виде (см гл. )Н и Н(). В целях преодоления упомянутых выше трудностей были разработаны различные методы приближенных интегральных преобразований в Глава третья которых прямое преобразование и обратный переход осуществлялись по приближенным формулам. Вместе с тем возникла идея разработки метода так называемых конечных интегральных преобразований Лапласа, или, правильнее, конечных интегральных преобразований Грина Остановимся на последнем вопросе несколько подробнее.

Формулой обращения интегрального преобразования Лапласа в общем случае является интеграл Римана — М ллина (см. гл. Х!Ч). Эта формула позволяет получать решения в интересующей нас форме, в том числе в замкнутой форме. Идея метода состоит в том, чтобы вы5ор ядра интегрального преобразования К(р, х) осуществлялся в соответствии с дифференциальным уравнением и граничными условиями. т, е. с учетом геометрической формы тела и законом его взаимодейспвия с окружающей средой. Другими словами, ядром преобразования является функция Грина для данной задачи. Изображение функции Г(х) получается с помощью интегрального преобразования [~(р)[о=~ К(р, х)1(х)йх ь (33) а обратное преобразование по формуле (2), где вместо [Г (з)[ следует подставить [1" (р)[ Такой способ интегрального преобразования имеет и свое физическое обоснование.

Дело в том, что люзое интегральное прео5разование, взятое по пространственным координатам, является с физической точки зрения некоторым усреднением исследуемой физической величины. Вполне естеств~нно, что это усреднение должно быть сделано не только в соответствии с характером прсц"оса н формой тела (видом дифференциального уравнения), но и в соответствии с граничными условиями.

В этом случае решение для изображения функции будет представлять самостоятельный интерес, поскольку такое прео5разовани. в физическом отношении будет представлять переход от анализа актуальных значений исследуемых функций (дифференциальное уравнение, условия однозначности) к усредненным значениям, сделанным в соответствии с конкретной постановкой той или иной физической задачи. Таким образом, методы интегрального преобразования приобретают новое весьма суьиественное преилчуи[ество перед классическими методами, так как они дают возмоьвность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на оснгвг акали ча решения для усгедненных значений исследуемой физической величиньь (анализ решения для изобраачения).

Зто обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия. Особые преимущества интегральных преобразований обнаруживаются прн решении систем дифференциальных уравнений в частных производных. Методика решения систем уравнений при этом принципиально не отличается от методики решения отдельных уравнений и осуществляется рядом последпвательных операций. Например,,пля одномерных задач теплопроводности, зависящих от координат и времени, необходимо: 1) на основе анализа дифференциального уравнения и краевых условий выбрать подходящее интегральное преобразование или группу интегральных преобразований; 2) умножить дифференциальное уравнение и граничные условия на выбранное ядро преобразования и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по переменной, подлежащей исклю- ОСНОВНБ!Е МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 59 чению; в результате вместо системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно оригинала функций получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображений функций, которые учитывают начальные (при использовании преобразования Лапласа) или граничные (при использовании преобразования Фурье) условия; 3) решить обыкновенное дифференциальное уравнение относительно преобразованных функций.

(Если решение полученного уравнения вызывает известные трудности, то к нему следует еще раз применить подходящее интегральное преобразование относительно второй независимой переменной. В результате преобразования получаем алгебраическое уравнение, решение которого более элементарно. После нахождения выражений для дважды преобразованных функций применяют к ним обе ратное преобразование. Получаемое решение и будет являться решением искомого дифференциального уравнения); 4) уточнить выражения произвольных постоянных, содержащихся в решении уравнения, для чего используются краевые условия рассматриваемой задачи; 5) используя извесз»ные соотношения между изображением функции и ее оригиналом или формулы обратного преобразования, найти оригиналы преобразованных функций, а следовательно, и окончательное решение задачи. 5 4. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ Методы математической физики, в частности методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать сравнительно узкий круг задач теории переноса.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения. Важно отметить, что использование численных методов зачастую позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса. В настоящее время практически наиболее ценным методом приближенного решения уравнений теплопроводности является метод конечных разностей, или, как его еще называют, метод сеток. Метод конечных разностей основан на замене производных их приближенным значением, выраженным через разности значений функции в отдельньчх дискретных точках — узлах сетки.

Дифференциальное уравнение в результате таких' преобразований заменяется эквивалентным соотношением в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению несложных алгебраических операций. Окончательный результат решения дается выражением, по 'которому значение «будущего» потенциала (температуры) в данной точке (узле) является функцией времени, ее <настоящего» потенциала и «настоящего» потенциала смежных узловых точек. Повторяемость одинаковых операций при расчете полей температуры создает большие удобства для применения современной вычислительной техники, благодаря чему эффективность работы во много раз увеличивается.

Приближенную замену первой и второй производных через разностные отношения можно провести элементарно следующим образом. Пусть дана функция у = Т(х), график которой представлен на рис. 3.!. Если 60 Глана третья через а, обозначить угол, образованный с положительным направлением оси абсцисс касательной к кривой, проведенной в точке М (хг у,), то производная функция при х = х, определится по формуле у, = 1паг Возьмем на кривой две соседние точки А (х,, у,,) и Р (х,, ун,) Рис.