Лыков А.В. - Теория теплопроводности

ПРЕДИСЛОВИЕ 1 ° Процессы переноса тепла являются одним из основных разделовсовременной науки и имеют большое практическое значение в станционной и промышленной энергетнке, в технологических процессах химической, строительной, легкой и других отраслей промышленности. Например, расчет тепловых аппаратов, работающих при нестационарном режиме, расчет ограждающих конструкций в условиях переменных тепловых воздействий (теплонзоляция зданий, печей, трубопроводов), нагревание машин, температурные напряжения в мостах и многие другие вопросы связаны с решением задач нестационарной теплопроводности.

Исследование кинетики процессов сорбции, сушки, горения и других химико-технологических процессов связано с решением задач диффузии, которые аналогичны задачам нестационарной теплопроводностн. Особое значение приобретают вопросы нестационарного теплообмена в реактивной и ракетной технике, где тепловая аппаратура работаетв условиях нестационарного режима. Таким образом, аналитическая теория теплопроводности находит самое широкое применение в решении различных технических проблем. Предлагаемая вниманию читателей книга значительно отличается от предыдущих монографий автора, последняя из ноторых была опубликована в 1952 г.

В данном учебном пособии подробно рассматриваются решения задач не- стационарной теплопроводностн основных тел (полуограниченное тело, неограниченная пластина, сплошной цилиндр, шар, полый цилиндр) несколькими методами (разделение переменных, операционные, интегральные преобразования Фурье и Ханкеля).

Таким образом, чита~ель, знакомясь с особенностями каждого из применяемых методов, может в своей самостоятельной работе для решения поставленных задач выбрать наиболее простой метод, дающий наиболее эффективное решение, пригодное для инженерных расчетов. Решения даны в обобщенных переменных с использованием метода теории подобия, они иллюстрированы многочисленными графиками и таблицами.

Наличие графиков позволяет быстро производить технические расчеты, что несомненно будет способствовать внедрению решений в инженерную практику. Кроме того, решения основных, наиболее важных задач даны в двух видах, один из которых удобен для расчетов при малых значениях чисел Фурье, а второй — для больших значений чисел Фурье. Опыт преподавания автором курса теории теплопроводности в разных высших учебных заведениях показал, что необходимо приводить подробный ход решения с основными преобразованиями и расчетами, а задачи располагать по степени трудности так, чтобы последующие из них были развитием предыдущих. Поэтому в первых главах (1Ч вЂ” Н1) даны подробные решения с конкретными расчетами, с использованием графииов, а задачи классифицированы по принципу взаимодействия тела о окружающей средой, а из по принципу геометрических форм рассматриваемых тел, что с методической точки зрения является более правильным.

Болыпое внимание уделяется решению задач с граничными условиями четвертого рода, что связано с актуальными всследованипми в области не- стационарного конвективного теплообмена. Решение аадач с переменными теплофизическими коэффициентами выделено в специальную главу (гл. Х111).

В гл. Х1Ч дано краткое изложение методов интегрального преобразования Лапласа, Фурье и Ханкеля применительно к решенизо задач нестационарной теплопроводности. Длв читателей, интересующихся более глубокими проблемами теории теплопроводности (асимптотические приближении и др.), в гл. ХЧ дано краткое изложение теории аналитических функций и их приложение к решению аадач теплопроводности. В приложении даны справочные материалы в виде формул и таблиц. Основной задачей книги является обучение студентов и инженеров, имеющих математическую подготовку в объеме технических вузов, решению аадач нестационарного теплообмена, встречающихся в многочисленных инженерно-технических расчетах.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА ! В данной главе будут рассмотрены основные положения аналитической теории теплопроводности. Передачу тепла от одной части тела к другой или от одного тела к другому, находящемуся в соприкосновении с первым, обычно называют теплопроводностью. Аналитическая теория теплопроводности игнорирует молекулярное строение вещества; она рассматривает вещество не как совокупность отдельных дискретных частиц, а как сплошную среду — континуум. Такое модельное представление вещества может быть принято при решении задач распространения тепла, если размеры дифференциальных объемов достаточно велики по сравнению с размерами молекул и расстояниями между ними.

Во всех расчетах и примерах тело предполагается однородным и нзотропным. й 1. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ Всякое физическое явление, в том числе и процесс теплопередачи, происходит в пространстве и времени. Поэтому аналитическое исследование теплопроводности сводится к изучению пространственно-временного изменения основной физической величины — температуры, характерной для данного явления, т. е. к нахождению зависимости Т=~(х, у, г, «), где х, у, г — пространственные координаты в декартовой системе, время. Совокупность мгновенных значений температуры во всех точках изучаемого пространства называется температурным полем. Так как температура есть величина скалярная, то и температурное поле является скалярным полем.

Различают стационарное н нестационарное температурные поля. Нестационарным температурным полем называется такое поле, температура которого изменяется не только в пространстве, но и с течением времени, или, как образно говорят, «температура есть функция пространства и времениз (неустановившееся состояние).

Уравнение (1) есть математическая запись нестационарного температурного поля. Стационарным температурным полем называется такое поле, темпе- Глава первая ратура которого в любой его точке не изменяется во времени, т. е. является функцией только координат (установившееся состояние): Т = Ф(х, у, 2), — = О. (2) В некоторых задачах нестационарное температурное поле переходит асимптотически в стационарное, когда т-г. Температурное поле, соответствующее уравнению (1) или (2), является пространственным '(трехмерным), так как Т есть функция трех координат.

Если температура есть функция двух координат, то поле называется двухмерным: е), — =О. дТ де т-ет ьгл Рнс. 1.1. Изотермы температурного поля Т=Р(х, у, Если же температура есть функция одной координаты, то поле называется одномерным: дТ дТ Т = ср(х, ), — = — = О. ду де где 1„— единичный вектор, направленный по нормали в сторону возра- дТ стания температуры (см. рис. 1.1), — производная температуры по да направлению нормали гг к изотермической поверхности.

Следовательно, градиент температуры численно равен первой производной температуры по нормали к изотермической поверхности. Градиент обозначается так- Примером одномерного температурного поля может служить поле неограниченной пластины (пластина, ширина и длина которой очень велики по сравнению с толщиной) при распространении тепла перпендикулярно к ее поверхности. Если точки поля, имеющие одинаковую температуру, соединить, то получим изотермическую поверхность. Пересечение изотермической поверхности плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм (линии, соответствующие одинаковой температуре).

Изотермические поверхности и изотермические линии не пересекаются между собой и при непрерывном поле не обрываются внутри него, На рис. 1.1 показаны изотермы, проведенные через точки, температуры которых отличаются на ЛТ. Вдоль изотермы температура не изменяется, в любом другом направлении температура изменяется.

Наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности. Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры (игаб Т). Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры, т. е. йгабт =1„—, дТ (3) ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДА ЧИ ТЕПЛА же символом Ч. Составляющие градиента по осям декартовых координат равны соответствующим частным производным, так что ЯшдТ=ЧТ=1к дк + У ду + к дг дТ дТ дТ где 1„, 1, 1,— ортогональные между собой векторы единичной длины, направлейные по координатным осям.

Это соотношение обусловлено тем обстоятельством, что любой вектор можно представить как векторную сумму трех векторов, направленных по координатным осям. Можно ввести понятие напряженности температурного поля по определению Е = — йгад Т. (5) Вектор Е называется вектором напряженности температурного поля. $ г. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕППОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ Необходимым условием распространения тепла является наличие температурного градиента. Опыт показывает, что передача тепла теплопроводностью происходит по нормали к изотермической поверхности от мест с большей температурой к местам с меньшей температурой. Количество тепла, проходящее в единицу времени и отнесенное к единице площади изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока; соответствующий вектор определяется соотношением ц=( — 1) —— д! 1 и дг где — — количество тепла, проходящего в единицу времени, или ско- дЯ вк рость теплового потока, 5 — площадь изотермической поверхности, ( — 1„) — единичный вектор, направленный по нормали к поверхности 5 в сторону уменьшения температуры.

Следовательно, вектор ц называется вектором теплового потока, направление которого противоположно температурному градиенту (оба вектора направлены по нормали к изотермической поверхности, но в противоположные стороны). Проекция вектора ц на любое избранное направление 1 есть также вектор цо скалярная величина котогого равна ц соз(п, 1), Линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора ц, называются линиями теплового тока. Линии теплового тока перпендикулярны к изотермическим поверхностям в точках пересечения с ними. Касательная к линиям теплового тока, взятая в обратном направлении, указывает направление градиента температуры (рнс.