Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 6

Рис. 1.4. Различные способы задания условий на поверхности Гаева аервая л к прилежащему катету — соответствующего прямоугольного трел угольника. Прилежащий катет — является величиной постоянной, а а противолежащий катет (Т„(т) — Т,) непрерывно изменяется в процессе теплообмена прямо пропорционально 1д у„. Отсюда следует, что направляющая точка С остается неизменной. В задачах с граничными условиями четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в теле и в среде на границах их раздела (см.

рис. 1.4, г): 1ЕФ„, Л ~е(,=л = — = сопз1 (19) с учетом совершенного теплового контакта (касательные у поверхности раздела проходят через одну и ту же точку). Дифференциальное уравнение совместно с начальным и граничным условиями полностью определяют задачу, т. е., зная геометрическую форму тела, начальные и граничнляе условия, можно дифференциальное уравнение решить до конца и, следовательно, найти функцию распределения температуры в любой момент времени.

Таким образом, в результате решения должна быть найдена функция Т (х, у, г, т) = Г" (х, у, г, я) . (20) Функция г (х, у, г, т) должна удовлетворять дифференциальному уравнению (при подстановке ее вместо Т в дифференциальное уравнение теплопроводности оно должно обращаться в тождество), а также начальному и граничному условиям. По теореме единственности решения (доказательство теоремы дано в приложении), если некоторая функция Т (х, у, г, т) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи. $ Р. МЕТОДЫ РАСЧЕТА РАСХОДА ТЕПЛА В процессе нагревания или охлаждения тело воспринимает или отдает определенное количество тепла.

Существуют три способа определения расхода тепла в процессе теплообмена. 1. К элементу поверхности НЯ за время е( т подводится тепло, равное — л~ —,„) (з( . Для нахождения количества тепла ЛЯ, воспринимаемого телом за промежуток времени Ьт = тя — яп нужно соотношение (1) проинтегрировать по всей поверхности 8 и интервалу времени Лел ло= ~ ~л( —,) ю(. (2) (Я) Обычно температура н температурный градиент одинаковы вдоль поверхности; тогда расчетная формула (2) упрощается: ~ ~ат) е ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА 2. Элемент объема ((и = ((х с(у с(г за время Л т = т, — т, нагревается от Т, до Т,; он воспринимает количество тепла, равное сТ (Тз — Т() (Ь.

(4) Общее количество тепла с(Я, которое пошло на нагревание за время Лт, найдем, если проинтегрируем по всему объему У, т. е. 1 Ь(с' = ((з — Ят = сТ ) (Т, — Ть) ((о = сТУ вЂ” ) (Т,— Т,)((о. (5) Т = — ) Т((и, (и) тогда можно написать: Лд=д,— д,=~ТУ(т, — Т,), (6) так как в процессе нагревания Т, ) Т, Расход тепла Я вЂ” 9з) на нагревание за время т от начала (т, = О) процесса будет равен (,') — Оз=сТЬ (т — Т,), (7) где Т,— средняя (интегральная) начальная температура. Если началь- ная температура одинакова во всех точках тела, т.

е. Т, = Т, = сопи(, то удельный расход тепла равен Л Я, = сТ '17' — Т,). (8) Следовательно, основная задача в этом методе расчета сводится к определению Т (т). 3, Элемент поверхности с(Я за время с(с воспринимает из окружающей среды количество тепла, равное (9) (х (Т, — Т„) ((Е((т. Для нахождения общего количества тепла ЛЯ, воспринимаемого по всей поверхности тела, нужно проинтегрировать по всей поверхности и промежутку времени б(т = т, — тм Если температура поверхности тела одинакова во всех точках и коэффициент а не зависит от температуры, то будем иметь: (10) Рассмотрим несколько примеров. 1.

Лана пластина толщиной 2)(. Ширина (2й) и длина (20 пластины значительно больше толщины, так что градиент температуры подлнне и ширине пластины равен нулю (случай одномерной задачи). Тогда температура в любой точке пластины будет зависеть от х и т, т. е.

Т (х, т). Обозначим среднюю (интегральную) температуру по всему объему тела через Т, т. е. 32 бо = гз з(п ВНЫ(ч(г. 3, Дан цилиндр радиусом 1г и длиной 1. Длина цилиндра значительно больше диаметра (1 » 21т)„ поэтому цилиндр можно считать неограниченным, а температура внутри него есть функция г и т, т.

е. Т (г, т). Тогда средняя температура цилиндра будет равна я зч г д 1 ГГГ 2 Г Т(т) = з ) ) ) Т(г, т) гбгйдйа = ~з ) гТ(г, т) г(г, (13) о о о так как бо = гбгбйбг. В дальнейшем одновременно с нахождением температуры Т тела в задачах будет определяться н Т. Зная величину Т, можно определить теплосодержание 1г тела и расход тепла на нагревание(Я вЂ” 1Гэ) илн потерю тепла (Оа — 1Г) прн охлаждении тела. В тех случаях, когда определить Т затруднительно, расход тепла может быть подсчитав по формуле (3). Если начало координат находится в центре пластины, то средняя интегралыши температура будет равна +я+с+а +и 1 Г 1 Г Г Г 1 Г Т(т) = у Т(х, т) Ио = 2)(2123 Т(х, т) плг(у па= — Т(х, т) па = (У) — Й вЂ” г — 'ь -Я Я 1 = — ~ Т(х, т)Йх.

(11) о 2. Пусть температура сферического тела (шара) будет функцией г и т, т. е. Т (г, т) (сферичеснн-симметричная задача) . Тогда средняя (по объему) температура Т (т) будет равна Л зч и и 3 1 1 1 з 3 Г Т(т) = з ~ ~ ~ Т(г, т) гзгбп949Ифбг= — з ~ гзТ(г, т) бг, (12) о э=о э=о так как элемент объема равен ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 1 В связи с развитием машинной вычислительной техники многие задачи математической физики решаются в виде конкретных числовых соотношений. При этом с целью уточнения и приближения задачи к реальному процессу вводится большое количество переменных. Однако привести результаты расчетов в определенную систему, найти скрытые связи между переменными очень трудно.

Поэтому весьма ценным является использование методов теории подобия, которая в настоящее время может быть названа теорией обобщенных переменных. В втой теории на основании общих физических соображений доказывается, что множество связей не является собственным свойством исследуемых задач, обусловленным их физической природой. В действительности влияние отдельных факторов, представленных различными величинами, проявляется не порознь, а совместно. Поэтому надо рассматривать не эти отдельные величины, а их совокупности или комплексы, имеющие определенный физический смысл.

Методы теории подобия позволяют на основе анализа дифференциальных уравнений и граничных условий находить эти комплексы, которые можно назвать обобщенными переменными. Для каждой проблемы существует совокупность характерных для нее переменных, в которой ее надо рассматривать. Переход от обычных физических величин к величинам комплексного типа, которые составле. ны из тех же величин, но в определенных сочетаниях, создает важные преимущества. Прежде всего происходит уменьшение числа переменных. В этих величинах более отчетливо выступают внутренние связи, характеризующие процесс.

Кроме того, новые переменные обладают и другим преимуществом. Заданное значение комплекса величин может быть получено как результат бесчисленного множества различных комбинаций величин, входящих в этот комплекс. Следовательно, фиксированным значениям новых переменных отвечает не одна определенная совокупность первоначальных величин, а бесчисленное множество таких совокупностей. Это значит, что при рассмотрении задачи в новых переменных исследуется не единичный случай, а бесчисленное множество различных случаев, объединенных некоторой общностью средств. Таким образом, новые переменные по своему существу являются обобщеннымн. Замещение обычных переменных обобщенными является основной задачей теории подобия нли теории обобщенных переменных.

2 заюз м 640 34 Глава вторвл Совершенно очевидно, что теория подобия наиболее плодотворно может быть использована в том случае, когда невозможно проинтегрировать дифференциальное уравнение и найти зависимость между переменными в явном виде. Если дифференциальное уравнение может быть решено, то надобность в теории подобия по существу отпадает. Однако теория подобия приносит н в этом случае определенную пользу.

Если решения представить в форме связи относительных переменных, то число переменных существенно сократится. Кроме того, решение в такой форме позволяет установить внутренние связи между переменными и параметрами, входящими в безразмерныг комплексы, а тем самым более глубоко вскрыть физический смысл полученных решений. й 1.

КРИТЕРИИ И ЧИСЛА ПОДОБИЯ Дифференциальные уравнения, описывающие процесс, отражают наши представления о физической сущности процесса. Например, дифференциальное уравнение теплопроводности яв.чается частным случаем закона сохранения энергии и сводится к утверждению, что изменение внутренней энергии элементарного объема тела равно количеству теплоты, которым он обменивается с остальной массой тела. Основные уравнения исследуемой задачи представляют собой специальную форму общих физических законов. Развитие процесса определяется соотношениями между отдельными членами уравнений. Такие соотношения и должны вводиться в качестве переменных, характерных для рассматриваемой задачи.

Однако во многих случаях каждый из членов уравнения представляет собой сложные дифференциальные выражения, в состав которых входят основные переменные задачи. Следовательно, необходимо установить правила перехода от дифференциальных выражений к выражениям в конечной форме. Теогия подобия дает общий метод непосредственного преобразования выражений, содержащих диффг) енциальные опе) аторы, к простейшим алгебраическим выражениям. Суть этого метода состоит в том, что реальный процесс заменяется пгостейшей условной схемой, в которой ьсе дифференциальные операторы сохьаняют постоянное значение е прост>анстве и во чремени.