Лыков А.В. - Теория теплопроводности, страница 4

е. с7 — а, сЬ = ~ 1„) дгабТ г(8. дТ (5) (У) (3) Используем преобразование Остроградского — Гаусса ) 1„), ига(( Т (13 = ) (1!ч () ига(( Т) сЬ . (й (ю Тогда равенство (5) примет вид ст — сЬ = ~ Й!ч () ягабТ) сЬ, ат (6) и') откуда, ввиду произвольности объема, получаем ст — =- (1!ч () дга((Т). дТ (7) Если коэффициент теплопроводности не зависит от температуры, то нз (7) получим дифференциальное уравнение теплопроводности — = а 17' Т = а б!ч (ига(( Т) . дТ а (8) г' =ха+у'. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности (9) для бесконечного цилиндра можно преобразовать так: дТ дТ дг дТ х дТ дх дг дх дг ~ —; + —,— дг дТ дТ дг дТ у ду дг ду дг г Дифференцируя (11) по х, а (12) по у, получаем д2Т ахТ хг дТ ув — = — — +— дх~ аг~ г~ дг г' ' (12) дТ дТ у' дТ х~ — + —— ау~ дг~ г' дг (14) Для одномерного симметричного температурного поля т)х Т является функцией одной координаты.

Поясним это на примере бесконечного круглого цилиндра. Если ось такого цилиндра совпадает с координатой г, то температура в любой точке цилиндра будет зависеть только от координат х и у. При равномерном охлаждении или нагревании цилиндра в любой точке, отстоящей на расстоянии г от оси цилиндра, температура в данный момент времени будет одна и та же. Следовательно, изотермические поверхности будут представлять собой цилиндрические поверхности, коаксиально расположенные к поверхности цилиндра. Между радиальной координатой г (радиус-вектор) и координатами х и у существует связь Глава первая 20 Складывая уравнения (13) и (14) и принимая во внимание (9), получим для уравнения теплопроводности (!0) следующее выражение: (15) В общем случае, когда температура зависит от всех трех координат (х, у, г), дифференциальное уравнение теплопроводности конечного цилиндра имеет вид (16) где 6! — полярный угол (угол между радиусом-вектором г и осью х).

Дифференциальное уравнение теплопроводности в сферических координатах приведено в приложении 1И. В заключение остановимся на физическом смысле коэффициента температуропроводности. Выше было показано, что коэффициент а является коэффициентом диффузии внутренней энергии (а,.) или энтальпии (ар) в зависимости от условия сопряжений рассматриваемой системы с окружающей средой. Однако коэффициенту а можно придать и другой физический смысл. Выше было показано, что для изотермическон поверхности Т (х, у, г, к) = сопя( имеет место соотношение — +!о т1Т=О. дТ дэ (1 7) Тогда из дифференциального уравнения теплопроводности (8) будем иметь г еТ' (18) — тут Величина !7 Т1~' Т есть отношение первого дифференциального параметра ко второму; эти параметры инвариантны относительно линейной группы преобразования.

Следовательно, их отношение будет любой величиной, имеющей размерность (м '). Обозначив эту величину через А = — р Т1т7' Т, будем иметь (а = Аит. ! (19) Следовательно, коэф4ициент температуропроводности пропорционален скорости распространения изотермическои" поверхности. Вели! чина, обратная коэффициенту температуропроводности, — характеа ризует инерционные свойства тела в отношении распространения температурного поля. Одним из наиболее теплоннерционных тел является вода, коэффициент температуропроводности которой при температуре 363' (90'С) и ! ! абсолютном давлении 1 ат равен а = 1,39 1О ' м'!сек ( — = 0,67 х ~с 1О' сек!м'). Газы обладают малой тепловой инерцией, например для воздуха при тех же условиях а = 2,58 1О ' м'/сек ( — = 0,39 1О' сек!м').

! 1 Коэффициент температуропроводности зависит от температуры, а для пористых тел — от плотности и влажности тела. Поэтому только в ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА й б. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В 2 3 было показано, что при высокоинтенсивных нестационарных процессах перенос тепла описывается обобщенным законом Фурье (2). В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь иной вид. Из уравнения баланса тепла для одномерного температурного поля имеем дох дТ дх ' де Вместо с подставим из уравнения (2) 83 соответствующее выражение Ч= Лд "д дТ дав (2) Полагая Л и т, постоянными, будем иметь даТ дед „дТ Л вЂ” +с дхс с дхдс дс' с т (3) Если продифференцировать (!) по т, то будем иметь дсчх д'Т ст дхд т д сс ' (4) Следовательно, дифференциальное уравнение (3) можно написать так: дТ д Т дсТ +т,— = а —.~ дс ' дтс дхс Для трехмерного температурного поля дифференциальное уравнение теплопроводности по аналогии можно записать в виде — + т — = и тувТ.

'1 дТ д'Т дс ' дсв (б) Сделаем анализ уравнения (б), которое можно написать так: дТ Л дхТ с т — + — —, = л с7вТ, д з д' Г (7) так как, согласно соотношению (1) й 3, тс,' =а!т,. При малых давлениях газа величина ст мала (ст -в О), а средняя длина свободного пробега молекулы, от которой зависит эта величина, значительно увеличивается. Поэтому первым членом уравнения (7) можно пренебречь. Тогда получаем дифференциальное уравнение распространения тепла, совпадающее с гиперболическим волновым уравнением: — =сс т7 Т.

дт 8 се г (8) с1Вопрос о возможности обобщения уравнения (5) на трехмерный случай рассмотрен в работе 1108 а]. качестве приближения теплофизические характеристики (коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и теплоемкости) можно считать постоянными. Глава аервая 22 % У. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА Система дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса в движущейся газовой смеси выводится на основе законов сохранения массы и энергии. Дифференциальное уравнение, отображающее закон сохранения массы й-го компонента вещества, можно написать так: др» — = — Йч р» и» + 1„ дс где р» — объемная концентрация я-го компонента, и» вЂ” скорость его движения, которая связана со скоростью и движения центра тяжести смеси соотношением 1 чс АЛ Р» И».

р (2) Источник 1» массы й-го компонента обусловлен фазовыми или химическими превращениями. Суммируя (2) по всем компонентам смеси, из уравнения (1) получим обычное уравнение непрерывности — = — б)чри, др дс так как сумма всех источников и стоков массы в рассматриваемом .с ° ° ° -.с- ° с Яс,=с). Уравнение (3) можно написать в ином виде. Так как с)1 ч р и .= и д р + р 61 ч и, то будем иметь др — = — р 61чи, а 'с (4) где — полная или субстанциональная производная, равная др ас — = — + и~р. др др де дя (5) Диффузионный поток массы й-го компонента равен (6) 3» =- р» (и» и).

Поэтому обобщенное уравнение (6) распространения тепла называют гиперболическим уравнением теплопроводности. Для распространения тепла дополнительный член в уравнении теплопроводности а д'Т ,„2 дс»' — —;, учитывающий конечную скорость распространения тепла, мал, Г так что в обычных практических расчетах им можно пренебречь.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЪ| ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА гз Суммируя (6) по всем компонентам с учетом (2), получим (7) Если обозначить через роо относительную концентрацию (р„, = р„lр), то уравнение (8) можно написать так: = — д!1 )о + 1о. "| Рао (9) Если вместо 1 подставить соответствующее выражение (4) $ 5 для бинарной газовой смеси (й = 1,2), то уравнение (9) будет иметь вид одРдо . 1 | ~т р „= а ° РР(ррдо+ ТЧТЛ!)+1,. Уравнение (10) является дифференциальным уравнением переноса массы. Дифференциальное уравнение переноса энергии имеет вид да р — „= — Йч(„, Если вместо 1„подставить выражение (12) ~ 5, то для бинарной газовой смеси будем иметь д р — (й, рдо + й ро,) = — с(!чд — б(ч()дд — й,) 3д.

(12) дао Л Обозначим удельную изобарную теплоемкость через сро (сро — — †„ -!, а изобарную объемную теплоемкость смеси через с,о, то с р=с рд+с,р,. Тогда используя (1) 9 5, получим д|Т ср р =д)!ч (Л ор Т)+д)!ч(В р Я* ор Рдо) + (Ьд — |до) 11 — (с — с а))д-~ Т. (14) Левая часть дифференциального уравнения (14) представляет собой из- дТ Л менение энтальпии смеси газа с течением времени с р — ) и перенос (Р до! ее движущейся смесью (ср р дч. Ч Т).

Первый член правой части характеризует перенос тепла теплопроводностью, второй член — перенос тепла за счет диффузионной теплопроводности (эффект Дюфо), третий член является источником или стоком тепла„обусловленным фазовым илн химическим превращением. Последний член в уравнении (14) отображает перенос энтальпии за счет диффузии. Из уравнения (6), определив величину ро дчо и подставив ее в (1), находим — + д!!ч Ра дч = — Й!ч 1о + 1о . дро (8) 24 Глава первая Обычно разность ср, — с, мала, поэтому последним членом можно пренебречь.

Если принять все коэффициенты переноса за постоянные д д~ величины, то для неподвижной газовой смеси (ю = О, — = — ) из (10) дс д4 и (14) получим следующую систему дифференциальных уравнении: д Ио 2 = ~ Ч' Роо + ~-1 г Ч Т + г ы'Р (15) дТ 1РО* (Ь| — до) — „=а д'Т+, ч'Р ° + (1б) Аналогичная система дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса описывает перенос тепла и массы в растворах.

Если пренебречь термодиффузией (яг = О, (~" =- 0), то из уравнения (1б) получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье с источником тепла. Дифференциальное уравнение диффузии массы (15) аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье. Поэтому все решения, полученные для нестационарных задач теплопроводности, можно применять к расчетам нестационарной диффузии массы. $ В. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ Т (х, у, г, 0) = ~ (х, у, г), (1) где ~ (х, у, г) — известная функция. Во многих задачах принимают равномерное распределение температуры в начальный момент времени; тогда Т (х, у, г, 0)=Т,=сопз1. (2) Граничное условие может быть задано различными способами. 1.

Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры по поверхности тела в любой момент времени, т. е. Т„() =1(), где Т„(ч) — температура на поверхности тела. Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры тела; оно математически описывает перенос тепла внутри тела. Для того чтобы найти температурное поле внутри тела в любой момент времени, т.

е. чтобы решить дифференциальное уравнение, надо знать распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие), геометрическую форму тела и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела (граничное условие). Совокупность начального и граничного условий называется краевыми условиями; начальное условие называется временным краевым условием, а граничное условие — пространственным краевым условием. Начальное условие определяется заданием 'закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени, т. е. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДА ЧИ ТЕПЛА В частном случае Тп(с) = Т, = сопз(, т.