Ильин, Позняк - Линейная алгебра

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В А ИЛЬИН, Э.Г ПОЗНЯК ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ Яолущена Министерством общего и лрофессионаяьного образования российской Федерации в качестве учебника дяя студентов высшим учебны~ заведений обучающихся ло специальностям «Физика и «Прикладная мап|ематика» МОСКВА НАУКА ФИЗМАТЛНТ 1999 УДК 512.8 ББК 22.143 И 46 Издание осуществлено при. содействии 000 «Фирма "Издательство ДСТ> УЧЕБНИК УДОСТОЕН ГОСУДАРС'! ВЕ1ШОЙ ПРЕМИИ СССР ЗА 1980 ГОД КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМА'!'ИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ з Той редею!пел А. Н. ГЛГГОНОВА, НА ИЛЬИНА, А. Г.

С ВЕШНТ!ЛОВА О В А Ильигг, В!'Но>из~и 1998 дл Наука Физмазлит, оформление. 1998 ТП-98-П-1б9 !ЯВИ 5-02-015230-7 1БВН 5-02-015235-8 (Вып.4) ВЬВ1УСК 4 ИЛЬИН В.А., Г!ОЗ!ИК Гкр. Линейная алгебра Учеб. Для нузоа 4-е изд. —. М. Наука. Физматлит, 1999 —. 29б с. !Курс высшей математики и мат. физики) . — 1ЯВН 5-02-015235-8 !Вьгп 4) Один из выпусков <гКурса аысшей математики и математической физики> под редакцией А.Н.Тихонова, В А Ильина, А Г.Саешникона Учебник созлан на базо леггций, чигаишихся авторами и течение многих лет на физическом факультете Московского государственного университета Содержание книги составляют теория матриц и определителей.

коночномерных линейных и саклидоиьш пространств и линейных оператороа и эзих пространствах, билинейных и квадратичных форм, тензороа, аопросы ю~ассификацигг поаерхноешй аторого поря>тки и георигг представления групп Вгюпроизаоднгся с 3-го изл !!984 г). Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по спецгтазьностям «Физика» и «Нрикладнал згатеьгагиюзгг Ил ! ОГЛДВ)Б)ННБ Прелисловнс к четвер гаму шланню 7 Продисловие к первому изданию 7 Введение ) Гвена 1. Матрицы и определители 10 Б 1.

Матрицы 10 1. По<изме ма трицы (10) 2. Основные операции <ыд чазрнцачи и нт свойства (11). 3. Бло <ныс ь<азрицы (15). Б 2. Определизени 16 1. Понятие определителя (17). 2. Выражение определителя непосредственно через ею элементы (23). 3 Теорема Лашыса (24). 4. Свойства определителей (27). 5.

Примеры вычисления определителей (30). 6. Опретглнтель суммы н произведения матриц (34). 7. Понятие обратной матрицы (36). 8 3 Теореьм о базисном чнноре матрицы 37 1. Понятно линейной зависим<юти сзраь (37). 2. Теорема о базисном миноре (38). 3. Необходимое и достато <нос условие равенства нуяю определителя (40).

Глава 2 Линейные просзраисгеа 41 8 1. Понятие линейшно прасцкшства. 41 1. Определение линейного лросзранства (41). 2. Некоторые свойспа произвольных линейных пространств (44). й' 2. Базис и размерн<югь линейного пространства 46 1. Позитив линейной мвисимосгл жюмеизов линейною пространспм (46). 2. Базис н координаты (48). 3. Рюмерность линейного просзранстш (49). 4. Понятие шоморб<изма линейных пространств (51). 8 3. Подпросзрансзщ линейных лространстн 53 1.

Понятие подпрастранства и линейной оболочки (53). 2. Ншюе оп(юделение ранга матрицы (56). 3. Сумма и пересечение подпространств (56). 4. Разложение линейного пространства в прямую сумму поллрос <ране < в (58). 'ч 4. Преобразование коорлинат прн преобразовании бюнса л-мернопг линейного пространства 60 1.

Прямое и абрап<ое преобразошние базисов (60). 2. Связь между пр«образоааниеч базисов и нреобра<оианнем соотве<сзвующнх координа<(62) Глава 3. Системы линсйньс< уравнений 64 й 1. Условие савместносзи линейной системы 64 1. Понязие системы линейных уравнений и ее решения (64). 2. Н«<риенальная ссвьиюшость однородной сисшмы (67) 3.

Условие совместности общей линейной системы (68). 8 2. Отыскание реп<ений линейной системы 69 1. Квадратная система линейньж уравнений с определителем основной ма<рнцьь озличным от нуля (69) 2 Отыскание всех решений общей линейной систсмм (73). 3. Свойства совокупности решений однородной системы (75). 4.

Заключительные замечания а решении линейных сыпем (80). г ГЛЛПЛВНИП Глава 4. Евклндовы прссзрансгва 82 б 1. Вещественное евкгидаво просгрансгво и еш просгойшне свайсгш 82 !. Определение вещесгвениого евклидова просзрансгш (82). 2. Просгейшие свойсзш произвольного евклидош просзрансгш (85) 8 2. Орзонармирошнный базис ьонечномсрнаго евклидова просгрансэм 89 1. Папягие орзонормирошннаго базиса и его сзщссгвование (89), 2 Свойсгяа орюнормированного базиса (92) 3. Разложение в-мерного евклидова пространства на прямпо сумму подпрасзранства и его орзогонального пополнения (94). 4 Изоморфизм п-мерных евкнилавых просгрансгв (94). 8 3. Комплексное свкдидово просзрансгво 95 1.

Определение комплексного евкщзоиа просзрансгва (95). 2. Неравснсэю Копгн — Буняковского. Поиягис нормы (98). 3. Оршнормнрованиый базис и еш свойсзва (99). 8 4 Менад ры уляризацин для отыскания норьыльного решения линейной сисземы 100 'лава 5 Линейные операторы !07 3 1. Пошпне линейного оператора. Основные свойства 107 1. Определение линейного оператора (107).

2. Дейсгвия над линейными аперазсрами. Просзрансзво линейных онерашров (!07). 3. Свойства множеств Б (14 1) линейных операторов (108). 82. Мазричная запись линейных операторов П4 1 Матрицы лиггеиных операшров в заданном оазисе линейною просзрансгш Г (П4) 2.

Прсобразощние мазрицы лияеиноэз опсразора при переходе к новому бшнсу (117) 3. Харакшристичссьий миагочлен линейного оператора П19). 3 3. Собственные значенпч в собственные векзоры линейных операторов 120 8 4. Линейные и пол\ горщиисйнме формы в евклщовом пршлрансзие 123 1. Специальное предсгавзонне линейной формы в евклидовом прасгрансгве (123). 2 Палтшралниейные формы в евкзидовом просзрансзве Споциальвое предсзаьление таких форм (! 24) б 5. Лннейныс са еасопряжсииые операторы в евкчидовом просгранстнс 126 1. Понятие сопряженного операгора (126) 2.

Самосопряженные операэзры Основные свойсзщ (128) 3 Норма линейнош опершора (129). 4. Далыгейплго свойсзва самосопряжониых опсрщорав ИЗ!), 5. Спскзральное разложение самосопряженных операзоров Теореиа Гамильтона Кали (!37). 6 Положизсвьныс операзоры Корни и-й степени из оператора (138) 8 6. Приведение каалраэггной формы к сумме кщдразов 140 б 7. Унизарные н нормальные операторы 143 б 8. Канонический вид линейных операторов 147 в 9 Линеиные операторы в вещссзвенном емлизговозг просзрансггы 151 ! . Общие замечания (15 П. 2. Орзогональные операторы (157). 'лава 6 Итерационные методы решения линсйньег систем и задач на собственные значения 160 8 ! Изсрационныемезоды решения линейных систем 161 1 Метод просзай итерации (меюд Якоби) (161) 2, Общий неявный метод простой итерации (!64).

3. Молифицированный метод простой изсрации (171). 4. Метод Зейдсля (174). 5. Меэзд верхней релаксации (174). 6. Случай несиммезричной матрицы А (175) 7. Ишрационный мезод П Л. Чебышевы (175) 8 2 Решение полной проблемы собственных значений моголом врапмний 180 186 186 190 192 форм 198 ОГЛЛВДПНИ0 'лава 7. Билинейные н квадратичные формы б 1. Билинейные формы 1. Понятие билинейной формы (186). 2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве (187) 3. Прсобразоюние матрицы бплинейнои формы прн переходе к новому базису. Ранг бнлиненной фармъг (188). 8 2. Квадратичные формы 8 3.

Приведение квадратичной формы к сумме кюдратов 1. Меюд Лыращка (193) 2. Мезод Якоби (195) 8 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квалратячных 228 228 1. Закон инерции кюдратичных форм (198). 2. Классификация юыдразнчных форм (200). 3 Критерий Сияьвесзра знакоопрсдслснности квадратичной формы(202). 8 5. Полилинсйныс формы 203 8 6. Билинейные и кюдратнчные формы в евклидавоы пространстве. 205 1 Предвариюльные замечания (205) 2 Приведение кюдрзтичной формы к сумме квадратов в ортогональноы базисе (206).

3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме кюдраюв в лииейнач пространстве (207). 4, Экстремальные свойсгю «вадрагичной форчы (208) Б 7. Гиперповсрхноспт второго порядка. 211 1. Понятие гипсрповсрхностп взорого порядю (2П) 2. Параллельные переносы в евюидовоы пространстве. Прсобращванне ортопорыированных базисов в Ортснорыированные (213).

3. Пресбразоюнис обптега уравнения гипсрповерхности второго порялка при параллелъном переносе (214). 4. Преобразование общего уравнения гиперповсрхности възрого порядка при переход«ст ргонорыиров нн го бюи ь орзонорчироваинаму (216) 5 Инварианты общыо уравнения гипсрповерхностн второго порядка (218). 6.

1(снтр гиперповерхности второго порядка (220) 7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхиости второго порядка путем преобразования ортонорыирсванною базиса (221). 8 У'прощение зравнсния центральной гипсрповсрьностн второго порядка. Классификация центральных гиперповерхностей (222). 9. Упрощение уравнения нецещральной гипсрповерхностн второю порядка. Классификация иецентральныь гипсрловсрхно тей(224). лава 8.

1епзоры й 1. Прсобразо юлие базисов и координат 1 Определим»и Грана (228). 2. Взаимные базисы Ковариантные и контравзриантныс координаты велюров (229) 3. Прсобрюсюния базиса и координат (232). 8 2. Понятие юмора. Основные оперании над тензорами 234 1 Позитив тензора (234). 2 Приыеры гензоров (236) 3 Основныс операции над гсюораыи (239). Б 3. Метрический тснзор. Оснавныс операции векторной алгебры в тензорных обсзючсииях 243 1 Пощни«ыетрическою ююора в евктидавом пространстве (243) 2.

Операция подти гня н опзсьанпя нпд ксов поы щыо мезричсскога тснзара (245). 3. Ортонорыпроюнньгс базисы в Г' (247). 4. Днскриыинантный тензор (248), 5. Ориентированный объем (250) 6 Векторное произведение (251) 7. Двойное векторное произведенно (252) 8 4. Метрический тензор пссвдоевклвдова прасзрансзю. 1. Понятие псевдаевклидова пространстю и метрического гензорз псевдоевкдидава пространства (252). 2.

Галилеевы коор- ОГЛЛП Л81 ПЗП диназы. ПреобразованияЛоренца(254) 3 Преобразования Лоренца пространства Грг, з! (255). 8 5. Теизор момента инерции 258 Глава 9. Эяементы теории групп 260 8 1, Понизив группы Основные свойства г рупп 260 1. Законы композиции (260) 2 Понятие группы. Некоторые свойства грызи (261). 3. Изоморфизм групп Подгруппы (264). 4, Сносные классы Норьгатьньге делители (265). 5. 1"омоморфизмы. Фактор-группы (267) й 2 Грзппы преобразований 271 1. Невырожденные линейные преобразования (271).

2. Группа линейных преобразований (272). 3. Сходимость зиемегпов в группе ПЕ(п). Подгруппы грутгпы ПЕ(п) (273). 4. Группа ортогональных преобразований (274) 5. Некоторые дискретные и коночные подгруппы ортогональной группы (276). 6. Группа Лоренца (278) 7. Унитарные группы (281). й 3. Представления групп 281 1. Линейные представления групп. Терминолопзя (282). 2. Матрицы линейных представлений.