Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 76

пряженностп электрического поля. При большой проводимости плазмы вторым членом в правой части уравнения (14.16) в задачах магнитной газодинамики можно пренебречь. Для этого оценим порядок этих членов 1 дЕ 1 Ес 4х 4" с а с дс с 1с' с ' с Тогда 1 дЕ с дс 4х . 4хс Ес — 1 с Поэтому при большой проводимости плазмы, когда — ' (( 1, сс Ес уравнение (14.16) можно написать в следующем виде: 4х —.

го1Н = — 1. с (14.23) Уравнения электродинамики (14.17), (14.22) и (!4.23) можно свести к одному уравнению для напряженности магнитного поля Н. Для этого в уравнении (14.23) заменим плотность тока ! выражением (14.22). Получим го(Н == —,"(сЕ+ [о Й]). (14.24) сс Введем обозначение т = 4†. Величина т обратно пропорциональна проводимости и характеризует электрическое сопротивление среды.

Коэффициент т имеет размерность кинематического коэффициента вязкости (м'!сек) и называется к оэфф и ци е нтом магнитной вязкости. Из уравнения (14.24) следует Е = — (т го! Н вЂ” [о Й)). (14.24') Прн постояннои проводимости среды а=сонэ(, используя известное векторное тождество, найдем го!(т го! Н) = т го!го! Й = — т„,ЬЙ, где дх дх дс б = — + — + — — оператор Лапласа. дх' ' дух дхх — 526— Подставляя выражение (14.24') во второе уравнение Максвелла (14.17), имеем — — го! [О Н~ — го!(т го! Н). Тогда — = го! '!и Н~ + ти Л Н. (14.25) Уравнение (14.25) является одним из основных уравнений магнитной газодинамики. Это уравнение устанавливает связь между напряженностью магнитного поля и полем скоростей в электро- проводящей среде и называется у р а в н е н и е м и н д у к ц и п. Оценим порядок членов правой части уравнения индукции (14.

25): ио Но ги! !и, Н! Ео ио Ео Но оо оо— е2 о 'т ЬН Безразмерное число ' ', составленное аналогично обычному ио Ео ооо числу Рейнольдса с использованием коэффициента магнитной вязкости, называется магнитным числом Рейн ольдса: Ке ио Ео ооо (!4.26) Отсюда следует, что, если Ке )) 1 (при малой магнитной вязкости), то вторым членом в правой части уравнения (14.25) можно пренебречь. Тогда при Ке )) 1 уравнение индукции запишется в следующем виде: ~~ = го! 1 Н1. (14. 27) д~ =' йН (14.27') Заметим, что магнитное число Ке представляет собой отношение напряженности индуцированного магнитного поля Н' к напряженности наведенного поля.

Действительно, при движении плазмы в магнитном поле в ней индуцируется ток, определяемый по закону Ома. Индуцированный ток вызывает магнитное поле. Напряженность этого поля связана с плотностью индуцированного тока уравнением (14.23). Суммарная напряженность магнитного поля при этом будет равна Й+ Н'. Оценим порядок напряженности индуцированного поля. Из уравнения (14.23) следует, что 4и Н- — 1Е, — 527— Если же Ке ((1 (при болыпой магнитной вязкости) уравнение индукции можно написать в виде где плотность тока на основании закона Ома ! па Но Тогда или а,Ее о.

Отсюда и — — Ке . и ее' Преобразуем уравнения движения (14.11), (14.12). Для этого оценим порядок величин электрической и магнитной силы. Используя уравнения (14.18) и (14.23), получим выражение для — ! электрической силы р, Е = — Е б(ч Е и магнитной силы [1 Йе 4 [го1 Н Не Отсюда Е2 р Š—— о е е Н' ! ! [ 2 Й 1 ! и 0 Из уравнения (14.24') следует, что Тогда 2 2 2 Ео Но ( ае ! ае "о ) ье !.е ( 4ла ье Ке 2ее ье с' / При большой проводимости (малой магнитной вязкости) — '«1„ ее.е ,2 а Ке» 1.

Примем, кроме того, что и,« с, — ~ << 1. При этих условиях Е' « Н', и электрической силой в выражении (14.9) для определения единичной объемной силы по сравнению с магнитной силой можно пренебречь. Тогда — 528— Подставляя сюда выражение 1 из (14.23), получим — (йй], (14.28) или, используя векторное тождество: [го1Н Н] = — ягаб — +(й тр)Н, имеем 1= — 8га" в + 4. (Йк) Н (14.28') Тогда уравнения движения (14.11) и (14.12) запишутся в следующем виде: р д" + р(о ~р) о = — Игаг( р+ 4 [го(Н Н] (14.29) р —," + р (о р) о = — ягаг( р + рЛо + + В ИГаГ( (о(Ч О) + 4 [ГО! Н, й], (14.30) или р " +р(о Ч) о =- — агап'(Р+ в 1+ 4 (Н Ч)й, да и'~ Р д, +Р(о ч)о.= — вгаг([Р+ в,]+ Рбо+ + в агап (о! ч,) + 4 (Н ч) й (14.29') (!4.30') где и' — — магнитное давление; в~ и~ р + — — эффективное давление. В уравнении (14.14) преобразуем скалярное произведение (Е 1).

Используя уравнения (14.22) и (14.24'), получим (Е 1) = — — — ([э Н] 1) = — (го(Н) — 4 ([о Н]Г01Н). — 529— !вз .вш Следовательно, скалярное произведение (Е, 1) можно выразить через Н и о. Подставляя выражение (Е 1) в уравнение (!4.14), заменяя электромагнитную силу Р,Е+ — [1 Н] выражением (14.28) и учитывая при этом, что ([го1Нй] о) = — [о Й] го1 Н. получим рср — „, — — —, + и!ч (Л кгао Т) + 4" (го! Н) + Ф, (14.31) где Ф вЂ” диссипативная функция, учитывающая выделение тепла вследствие трения. Таким образом, предполагая выполненными условия †' (( 1, «й, ов(( с и Ке„)) 1, систему уравнений газодинамики и электро- динамики, описывающую движение электропроводящей среды в электромагнитном поле и поведение магнитного поля 1(14.10), (14.30'), (14.31), (14.15) и (14.25)], можно записать в следующем виде: — + рд!чс = 0 вр в» р в +р (с »р) с = — угад (р + — ) + )»С»п + + ф дгас) (с(ряс) + — (Н т7)Й (14.32) рср — „, — — — ~+«!1ч(Лйгад Т)+ 4 (го!Й) +Ф 1 = 1(Тр) — — го! '(с Н! + — ЬН Система девяти уравнений (14 32) представляет собой с и с тему основных уравнений магнитной газодинамики для определения девяти неизвестных величин: составляющих скорости потока о и напряженности магнитного поляйи трех параметров состояния — давления р, плотности р и температуры Т.

После определения Н и с напряженность электрического поля Е, плотность тока 1' и плотность заряда р, можно найти соответственно из уравнений (14.24'), (14.23) и (14.18). э 14. 4. Свойство «вмороженности» магнитных силовых линий Из уравнения (14.25) следует, что напряженность магнитного поля в некоторой точке среды с проводимостью о (магнитной вязкостью ч ) при с = 0 зависит от положения точки и времени. Если исключить внешние источники, создающие магнитное поле, то магнитное поле в плазме исчезает не сразу. Скорость изменения Н зависит от магнитной вязкости ч .

Найдем характерное время 1„за которое изменяется магнитное поле. Для этого оценим порядок величин, входящих в уравнение индукции: дН Оо — Но — — Лн со то о Тогда из уравнения индукции получим бо со вт Следовательно, если магнитная вязкость т мала (проводимость среды и велика), то магнитное поле с течением времени после исключения внешних источников изменяется очень медленно. Тогда при бесконечно большой проводимости среды магнитные силовые Ел линии оказываются как бы связанными 1в со средой («вмороженными» в проводящую среду).

Свойство вмороженности ой1 магнитных силовых линий объясняется Ез тем, что изменение магнитного потока через любой проводящий контур, вызывает ток. Индуцированный ток в свою очередь образует магнитное поле, котоРое и пРепЯтствУет изменению внеш- Рис. 1л.о. К до отел тву него магнитного потока. свойства лвиорожеииостил Изменение по времени магнитного ааеиитиьил соловьев линий потока через жидкую поверхность, проведенную через некоторый проводящий контур при и = О, на основании уравнения (14.27') равно При малой магнитной вязкости д à —,10„(В=О.- й Следовательно„при большой проводимости среды (малой магнитной вязкости) магнитный поток через любую жидкую поверхность не изменяется в течение практически бесконечного интервала времени.

Если же скорость потока плазмы не равна нулю, то изменение магнитного потока определяется не только переменной по времени напряженностью Н, но и изменением самого контура 1, при движении среды (рис. 14.2). 18* Пусть в момент времени Г, = ~ контур Е, ограничивает площадку Е,. Поскольку каждая точка контура Е, движется с некоторой скоростью о, то к моменту времени Ц = 1, + Ж получим контур Е, и поверхность В,. На основании уравнения Максвелла для каждого момента времени магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю. Тогда ) Н„(1з)НХ вЂ” ) Н„(1,) г(Х+ ) Н„(1,) с(Е = О.

(14,33) гь з, Здесь Х, — боковая поверхность, а ~1 Вз — ~(з о~(1 Н„= (Н и). Учитывая, что направление нормали к боковой поверхности совпадает с направлением векторного произведения направленного элемента контура г(з и вектора скорости о, получим Н„иг(з й = й Н ~~Ь о~. Тогда 5 Н„У,) 1~ = (Г ф Н ~Мз о1. Перепишем выражение (14.33) в следующем виде: ~ Н„(1,) ~1  — ~ Н„(1,) 1 В+ ) Н„Р,) 1 Х вЂ” (' Н„(1,) ( Х + Е з Е, 3 +Жф Н(г(з о~ =О. В этом выражении первые два члена характеризуют полное изменение магнитного потока вследствие изменения напряженности Й и деформации контура с течением времени, а третий и четвертый члены — изменение магнитного потока при постоянном контуре 1.

(поверхности Х,). Разделим полученное выражение на Ж. Тогда получим или (! 4.34) 532 где Преобразуем первый член правой части выражения (14.34). пользуясь уравнением индукции (14.27) при Ке)) 1: ) — аХ= ) — (Н п)аХ вЂ” ') — пйХ =) (го1[о Н)п)йХ. Переходя от интеграла по поверхности к интегралу по контуру Ем получим ') (го1 [о Й~ и) е! Х = ф [о Й~ Б. (14.35) Подставляя выражение (14.35) в уравнение (14.34), имеем юп — = О, или ~Н„йЕ = сопз(. (14.36) Следовательно, при Ке» 1 магнитный поток через любую жидкую поверхность в потоке плазмы с течением времени не изменяется.

Отсюда вытекает, что магнитные силовые линии движутся вместе со средой (евморожены» в нее). Поскольку в действительности проводимость плазмы не бесконечна, то силовые линии отстают от среды. 14. б. Критерии подобия в магнитной гаэодинамике (14.37) — 533— Предположим, что оо Н„Е„У-о, ро рю ч„о,— некоторые характерные величины скорости потока, напряженностей магнитного и электрических полей, длины, плотности, динамического и кинематического коэффициентов вязкости, проводимости. Установим критерии подобия, применяемые в задачах магнитной газодинамики. Магнитное число Рейнольдса. При движении плазмы в электромагнитном поле в ней индуцируется ток. Суммарную плотность тока 1 (14.22) можно представить в виде суммы плотности тока от внешнего электрического поля 1 = оЕ и плотности индуцированного тока: Индуцированиый ток создает магнитное поле. Напряженность индуцированного поля Н при большой проводимости среды можно определить, пользуясь уравнением (14.23): го!Й=4 1.

с Как было показано в 3 14.3, отношение напряженности индуцированного магнитного поля к напряженности внешнего магнитного поля равно магнитному числу Рейнольдса: ~о ьо 4~~эого Ке ч„, С~ (14.38) При бесконечно большой проводимости плазмы Ке )> 1, выражая плотность индуцированного тока через Н по формуле (!4.23), получим 1 ) =4— „, [го!Н Н1. При конечной проводимости 1,=, [о Н~. Поэтому 1 = —,В Цо Й! Й1, или Г= — —, Н' о + —, (о Й) Й. — 534— При Ке (( 1 (при малой проводимости плазмы) магнитным полем от индуцированных токов по сравнению с внешним полем можно пренебречь и рассматривать течение плазмы только во внешнем магнитном поле. При Ке » 1 магнитное поле определяется в основном индуцированными токами.

Критерий магнитогазодинамического взаимодействия. Движение электропроводящей среды в присутствии магнитного поля приводит к возникновению индуцированного электрического тока, который, взаимодействуя с магнитным полем, создает магнитную силу. Эта сила оказывает влияние на течение газа. Таким образом, при наложении магнитного поля происходит магнитогазодинамическое взаимодействие.