Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 73

13,6 и !3.7. к, 5о ' о 1 1 5 о а аб 1 с5 1 Ф 11 Рис. 1З.б. Кривая зависимости функции у от В Рис. 13.7, Криоая зависимости функ- и Хзотр Умножая выражения (13.20) и (13.22) на массу молекулы т, получим массу газа, соударяющегося с единичным элементом поверхности: и, т, пзт.

Воспользуемся далее теоремой изменения количества движения, которая в данном случае состоит в том, что изменение суммарного количества движения молекул при соударении с поверхностью за единицу времени должно равняться импульсу сил, производимых этими молекулами за тот же промежуток времени. Напишем эту теорему в проекции на некоторое произвольное направление через ! с направляющими косинусами 1,, 1„1з. Для этого найдем силу воздействия налетающих молекул на единичный элемент поверхности.

Обозначим эту силу через )ть Проекция скорости движения молекулы на направление ! равна гя 11+ оу ~2+ ов !3' Тогда проекция количества движения молекул, имевших составляющие скорости в пределах от и„, о„, гв до о„+ Й„, ов + с(пв, — 504— се + «сх и ударяющихся об единичный элемент поверхности в единицу времени, имеет внд «[У7 — «плз(ох1,+оу 1,+ге (2), где «и — соответствующее число молекул. Проекция суммарного количества движения молекул газа, ударяющихся о переднюю сторону единичного элемента, будет равна ]р — П а Л [ ( [ О З [(се осо ее)2 с (о осе ее)2 + (ох осоее)2] Х -со Π— со Х (ох 11+ оу 12+ ох 1з) «ох «оу «иг Аналогично получим проекцию соответствующего количества движения для задней стороны элемента: о о" ( [ [ — зе[(о — о ес)2+(о,— о е )2+(о — о е )2] Х (ох 11+ пу 12+ ое 12) «ох «ос «ое' В результате интегрирования имеем 2 сосо е, 11 К1= — * —,1(е11,+е,1,+е,1,) е — о'+ 2 1 „й + )/22 [( — + р [ е, 12+ р (е, 11+ е, 1)~ [1+ ее) ([])]~ .

(1324) 2 У'со е, 1 е Кз = = — ~ез 11+ ез 12+ ев 12) е — о— 2 рс — У 22 [(2з + []) ее 12+[] (е~ 1~+ ез(з)~ [1 — ег)([))]~ . (1325) Здесь произведение лт равно плотности р. Проекция силы воздействия налетающих молекул (импульса силы в единицу времени) на направление ! равна проекции количества движения этих молекул до соударения с поверхностями Ю'1 и ]р'2 соответственно. Тогда Р1 — р ((Е111+Е2 12+Ез 12) Е + р0,' 2 + Ф'22 [[ 2з+ [) ] ез 12+[] (е 1+ее (2)~ [1+е'П[])]), (13.26) !7В.

Зоз. ЗО1 — ооз— (110) з е~ 1 — — !(е, 1,+е, 1,+са 1,) е — з*— 2 — ) ~~( — +[)) ~, ~,+[)~и,~,+~ 1)1 [1 — а Е(РН), (!3 27) 2~ Р 2 ез == — н (1) ру~ У' 2 (!3.28) 2 е = — --~ ([)) ,2 у 2 (!3.29) где н,=~ — '*+1'п~ — +й) [!+аг1([$)[, (!3.30) (2~ н, = — е — м+)~ п~ — +[)) [! — ег~(р)).

(!3.31) ! 2Р Для определения проекций касательных напряжений т,„и т,, в формулы (!3.26) и (!3.27) необходимо подставить следующие значения направляющих косинусов: для т„1,=1,=0, 1,=1; для г,, 1,=1,=0, 1 = !. Тогда (н..)~ = г,е,),(р), (>О' 2 ("м)2 = е,е,2,,ф), гг,' 2 '';!' =" .2.Е) га,' 2 (",)' = е,е,Л,(р), гО,"- 2 (!3.32) (13.33) (13.34) ( ! 3.35) Найдем величину нормальных напряжений. Для этого воспользуемся формулами (!3.26) и (!3.27), подставляя в них вместо 1,, 1„1, направляющие косинусы внутренней нормали (при определении давления рп на переднюю сторону элемента 1а= 1; 1,= =1,=0, для нахождения давления р,, на заднюю сторону 1,= = — 1; 1,=1,=0): где м Л,(Р) = + [1+ ег!'(Р)) (13.

36) ,— м Ла(р) = — [1 — ег7" (р)). (13.37) Для нахождения полной силы воздействия потока на элемент поверхности необходимо знать еще силу, возникающую под действием отраженных от поверхности молекул. Величина нормальных и касательных напряжений, вызываемых отраженным потоком, зависит от характера отражения молекул (см. рнс. 13.4). При зеркальном отражении р„= р, Тогда суммарное нормальное напряжение, действующее на элемент поверхности, будет равно р=2рг Касательное напряжение т„вызываемое отраженными молекулами, равно т = — т.

аз „з Иа = 2шг — ' озе ' з!и 0 соз ОдОйо, Г Г)7 э (13.38) 1 где 6, равна —. Р, Здесь о, — наиболее вероятная скорость теплового движения молекул в отраженном потоке. Тогда давление йр, равно про- — 507— 17В* Поэтому суммарное напряжение трения будет равно нулю: т = О. При диффузном отражении касательное напряжение от отраженных молекул равно нулю, так как при этом все направления отражения являются одинаково вероятными.

Выведем формулу для определения давления р„, оказываемого на элемент поверхности диффузно отраженными молекулами. В условиях свободно-молекулярного потока можно предположить, что в отраженном потоке скорости распределяются по закону распределения Максвелла, соответствующему равновесному состоянию газа с температурой, равной Т,.

Обозначим через п„число молекул отраженного потока, заключенных в единице объема, а через г!и, — количество молекул в единичном объеме, имеющих скорости в пределах от о до о + до и отражающихся в результате соударения с единичной поверхностью по направлениям, составляющим углы с нормалью к поверхности в пределах от 0 до 0 + йО, т. е. рассматриваются такие молекулы, которые после отражения от поверхности располагаются между двумя конусами с углами полураствора, равными 0 и 0 + дО.

Из кинетической теории газов известно, что г[л„равно екции секундного количества движения этой группы отраженных молекул на направление нормали: аз э др =тйп асоз0=2пп — 'то~ е "' ' з(пОсозз0 НОНО. Для определения давления р„, действующего на элемент поверхности, необходимо полученное выражение проинтегрировать по всевозможным значениям о и 0 в пределах от о=О до о=со и от 0=0 до 0 = —: 2 ' СО 2 р = 2пп —.' и ') о'е "' ' до ') з(пйсоззОНО. г г — ~ ) о о В результате преобразований имеем а~/П 2 р = — о~.

(13.39) Выразим п, через число молекул п в единичном объеме наи е, бегающего потока и параметр (1 = —. Для этого достаточно ~в приравнять число отраженных от единичной поверхности тела молекул У, соответствующему числу молекул и, (13.20) или и, (13.22), соударяющихся с поверхностью. Для определения У, проинтегрируем выражение (13.38) в пределах от о=О до о=со и от 0=0 до 0 = —. Тогда У = 2ни =" озе "' ' йо ) з(пОсозО с(0.

"у" з,1 о о В результате интегрирования получим г я "— г (13.40) Приравнивая выражения (13.40) и (13.20) или (13.22) имеем (п,),=ну, ф) — ', (п,) =пХ.(р) „— ', (!3.42) ~Г (13.41) где (и,), и (и,), — количество молекул, отраженных от передней и задней сторон элемента, в единице объема.

Подставляя выражения (13,41) и (13.42) в формулу (!3.39) и учитывая, что р=пт, получим 2 х1(()' (1~~)1 ! в 0~ 2 (13.43) (13.44) где функции 1(, и у, определяются по формулам (13.21) и (13 23). С учетом воздействия налетающих и отраженных молекул полное давление на элементе поверхности можно представить в следующем виде: 2 2 + ( Р~~со ~~м 2 2 ев, е0 2 2 (13.45) г ео, 2 е0,', 2 (13.46) В выражениях (13.45) и (13.46) напряжения р, и т, в зависимости от ориентировки элемента поверхности по отношению к скорости набегающего потока определяются по формулам (13.28), (13.32), (13.34), если столкновение молекул с элементом поверхности происходит со стороны набегающего потока и по формулам (13.29), (13.33) и (!3.35), когда соударение налетающих молекул с поверхностью происходит с противоположной стороны.

2 13.5. Определение подъемной силы и сопротивления плоской пластинки в свободно-молекулярном потоке Пользуясь формулами, выведенными в 2 13.4, можно определить нормальное и касательное напряжения, действующие на плоскую пластинку в свободно-молекулярном потоке (рис. 13.8). где первый член в правой части представляет собой отношение давления вызываемого налетающими молекулами к скоростному напору, второй и третий члены соответствуют зеркально и диффузно отраженным молекулам соответственно.

Касательное напряжение равно В рассматриваемом случае направляющие косинусы вектора скорости набегающего потока равны 1,=сова; 1е=з(пи; 1,=0. о э!па При этом р = ов Примем, что отражение молекул с поверхности пластинки полностью диффузное (1=1).

Найдем давление на нижней поверх- Рис. !З.д. К определению коэффициентов подоенной сивое и сопротивления ности пластинки рт Для этого в формулу (13.45) необходимо подставить вместо р, и р, выражения (13.28), (13.43) соответственно. Тогда (13.47) 2 Подставляя в формулу (13.47) выражения для д,(р) (13.30) и )(,ф) (13.21), получим Ра Э1П " 1 ) -а1 +)Лс (1 1 И) (1 1 Е.Е(Н))) 2 + ~ — ' " — '(е е'+ )Гетр(1+ ег7'(р))). (13.48) Аналогично можно определить давление на верхней поверхности.

Для этого в формулу (13.45) нужно подставить вместо р, и р„выражения (13.29) и (!3.44) соответственно: (13.49) — 510— Коэффициент нормальной силы с„равен: Р» Рв с„= ~0' 2 Подставляя сюда выражение для —" (13.48) .и — „,' (13.49), рз" 2 2 получим с„= '— '"= — ~е — з* + ф' и (~ + — ) ег~ ([))~ + ~/и — ' — ' р. (13.50 — (е — з*+ ргй[) [1+а~~(р)[) У р 2 — (е — з* — р йр[1 — е~~ ф)1) 2 (13.51) Тогда суммарное касательное напряжение вдоль пластинки будет равно — — з — — " з ' — — 2 ' "" "[е — з'+ г'й[)ег~(Р)). (13.52) з" и" У > 2 2 Здесь — з = с,— коэффициент тангенциальной силы.