Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 75

Для определения силы ЛГнеобходимо сложить векторы Е„по всем частицам, находящимся в объеме ЛК Пренебрегая при этом изменением Е и Йна протяжении объема Л[г, получим Лг =,'~'г '[Е+ — [о„' Й]), или ~ЛЕ = ( ~ г,)Е -'; — ~(~ г„о,) Н~ . (14.6) В этом выражении 2:г, — суммарный заряд, заключенный к в объеме Л$'. Обозначим через р, плотность заряда, представляющую собой заряд в единице объема: 2,' е„ р, =!пп — ' аг-о ои (14.7) а через 1 — плотность тока, т.

е. ток через единицу поверхности: ~„е, о„ 1' = 1!гп дг-о ар (14.8) Тогда (14.9) где — др ) = Иш — — сила, действующая в электромагнитном поле на еди-о~~ ницу объема ионизированной среды (плазмы). 14.2. Уравнения магнитной газодинамики — 519— Рассмотрим уравнения газодинамики применительно к движению плазмы, т. е.

с учетом электромагнитных сил, действующих на заряженные частицы. В этом случае уравнение неразрывности (2.3) останется без изменения: д, д (ро„) д (рот) д(ро,) ° + =0, дЕ ' дх ду дх или д,' + гВт (Ро) = О, (14.10) где 1) — оператор Гамильтона: д —.д . д Ч ='1 — +( — +( дх хду х дх' Здесь (,, („(х — единичные векторы вдоль осей координат. Для получения уравнения движения вязкой ионизированной среды в электромагнитном поле необходимо уравнение Навье— Стокса (12.32) дополнить членами, учитывающими влияние объемной электромагнитной силы.

Тогда в векторной форме уравнение движения вязкой ионизированной среды будет иметь вид: Рд(-+Р(Ч) =- — й бр+рб + + з ягас1 б(ч о+ р, Е + — 1!' Н1, (14. 12) где Л вЂ” оператор Лапласа: д~ д~ д2 Ь= — + — + —,. дх' ду' дх'- ' В уравнении энергии (12.34) необходимо дополнительно учесть изменение удельной энергии частицы газа под действием электромагнитных сил. Напишем выражение для работы объемных электромагнитных сил, действующих на элементарную частицу с объемом Л(Р.

Оиа равна работе всех сил, действующих на каждую заряженную частицу, заключенную в этом объеме, за единицу времени: ЛА,.= Хо,о„. (14. 13) х — 520— В уравнениях движения (2.12) и (12.32) необходимо учесть объемные силы электромагнитного происхождения (14.9). Напишем эти уравнения в векторной форме, при этом объемными силами неэлектромагнитного происхождения (Х, зР, Я) будем пренебрегать. Уравнение движения ионизированной невязкой среды можно получить, добавляя к правой части уравнения (2.12) силу 7 (14.9). Это уравнение в векторной форме имеет вид Р д(+ Р(оЧ) о = — Ягаб Р+ Р,Е+ —,(1' Й), (14.11) В выражении (14.

13) суммирование необходимо проводить по всем заряженным частицам в объеме Л'у'. Подставляя в формулу (!4.13) выражение (14.1) и учитывая, что ([о, Н)о,)=0, получим ЛА =ЕТе,о,. Разделим обе части равенства на объем Ыl и перейдем к пределу при Л'г'-ьО. Кроме того, введем следующее обозначение: ЬА» 1!П1 = А». ау-о ~~ Тогда работа электромагнитных сил в единицу времени, отнесенная к единице объема, будет равна (р,Е+ — [!' Н!) о; т. е. (Е») — (р,Е + — [»' Й~ ) о.

Тогда получим ,„-,=;+р~ ( —,з) + ~ —,')+2~ —,')+( —,д+ —,')+ +1 за+эх) +[за + ду) ~ — з р(д!чо) +д!ч(ХдгадТ)+ + (Е »') — ~ р, Е + — [», Й) ) о. (14.14) Наконец, в качестве последнего уравнения газодинамики напишем уравнение, состояния. В общей форме оно имеет вид (14.!5) Система уравнений газодинамики (14.10), (14.12), (14.14) (14.15), написанн ых для сплошной среды, состоящей из — 521— 1 =1(Т, р) Ау= (Е»). Заметим, что для получения уравнения энергии (12.34) из исходного уравнения (12.33) было вычтено уравнение движения, умноженное скалярно на о. Мы можем написать уравнение энергии для плазмы, движущейся в электромагнитном поле, используя уравнение (12.34). Для этого к правой части уравнения (12.34) необходимо добавить член, представляющий собой работу электромагнитных сил (Е») за вычетом произведения: заряженных частиц, ие замкнута, так как она содержит члены, связанные с электромагнитным полем (напряженности электрического и магнитного полей Е, Н, плотности тока 1 и плотности заряда р„.).

Для определения переменных, связанных с электромагнитным полем, воспользуемся системой основных уравнений электродинамики — уравнениями Максвелла. Рассмотрим уравнения Максвелла в интегральной форме: ф — „у 4» 1 ~дЕ где 4 НЛ вЂ” циркуляция напряженности магнитного поля по контуру Е: 1 — ток, протекающий через поверхность Х, равный дЕ„ — б Х вЂ” скорость изменения потока напряженности электрид1 'а ческого поля через поверхность Х, проведенную через контур Е. =- — '~7 ' где Ф Е гй — циркуляция напряженности электрического поля по контуру Е; дН» д1 й Х вЂ” скорость изменения потока напряженности магнита ного поля через поверхность Х.

Второе уравнение Максвелла означает, что циркуляция напряженности электрического поля пропорциональна скорости изменения потока напряженности магнитного поля через поверхность».. 3. ~Е»бХ = 4п ~р дг Поток напряженности электрического поля через поверхность Х пропорционален суммарному заряду, сосредоточенному в объеме, охватываемом этой поверхностью. 4.

1 Н„б Х = О. Поток напряженности магнитного поля через замкнутую поверхность Х равен нулю. Это означает, что магнитные силовые линии либо замкнутые, либо уходят в бесконечность. — 522— Напишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме, предполагая при этом, что векторы напряженности электрического и магнитного полей — непрерывные и дифференцируемые функции координат.

На основании теоремы Стокса получим ф Н г11 = ') (го1 Н и) и' Х, где го1 Й вЂ” вектор с составляющими по осям координат: (го1 Н), = — — д (го1Н)» = — до» дНу дН, дН, — дН„ дН (го1 Н), — — — —. Переходя от контурного интеграла к поверхностному, первое уравнение Максвелла можно переписать в следующем виде: ) (го1 Н п) и' Š— — ~ () и) с) Х + — ~ с) Х, Е й '3 или — 4и -. 1 дЕ1— (го1 Н вЂ” — ') — — — ) ис) Х = О. с с дг, Учитывая, что Х вЂ” произвольная поверхность, проведенная через контур Е, получим го)Й = — ') +— (14.16) — 1 дй го1 Е = — — —. с ду (14.17) Третье и четвертое уравнения Максвелла преобразуем, пользуясь теоремой Остроградского — Гаусса, позволяющей переходить от поверхностных интегралов к объемным: ~ Е„с) Х = ) с)1ч Е с))У, — 523— В результате аналогичного преобразования второго уравнения имеем Тогда получим следующие уравнения: ) (д!чŠ— 4пр,) ~Л/ = О, ~б!чНЛ1=0, или йч Е =- 4лр„ д!чН =- О.

(14.18)' (14.19) В семи уравнениях Максвелла (14.16) †(14.18) десять электрических и магнитных неизвестных величин: напряженности Н(Н„, Н„, Н,), Е(Е„, Е„, Е,), плотность тока !(1„ 1„, 1,) и плотность заряда р,. Поэтому для однозначного определения электромагнитного поля из уравнений Максвелла необходимо уравнение, которое связывает плотность тока с остальными величинами, входящими в уравнения.

Используем для этого закон Ома, устанавливающий связь между величиной плотности тока и напряженностью электромагнитного поля, скоростью движения и свойством электро- проводимости плазмы: 1 = о~ Е+ — (о Н~)+ р,о, (14.20) — 524— где о — проводимость плазмы. Проводимость ионизированной среды сильно зависит от температуры. Например, при Т = — 6000' К проводимость воздуха почти в три раза больше, чем при Т = 5000' К.

При температурах порядка миллиона градусов проводимость плазмы приближается к проводимости металлов. Кроме того, небольшие добавки из щелочных металлов, имеющих низкий потенциал ионизации, могут значительно повысить проводимость среды. Из закона Ома (14.20) следует, что в проводящей среде ток может возникнуть только в том случае, если она движется под некоторым углом к магнитному полю. Если же направление скорости движения плазмы совпадает с направлением силовых линий магнитного поля (о)! Н), то [о, Н1 = 0 и плотность тока будет равна нулю. В выражении (14.20) член р,п равен плотности тока, возникающего вследствие переноса заряда в направлении потока.

Произведениер,о называетсякон вективным током. Таким образом, полная система основных уравнений магнитной газодинамики состоит из уравнений газодинамики (14.10), (14.12), (14.14) и (14.15), написанных с учетом электромагнитных сил, и Э 14. 3. Преобразованная система уравнений магнитной газовой динамики В задачах магнитной газодинамики применяются несколько упрощенные уравнения Максвелла и уравнения газодинамики. Для того чтобы упростить уравнения магнитной газодинамики, оценим порядок величин, входящих в уравнения. Для этого введем следующие характерные величины: напряженности магнитного Н, и электрическогоЕ,полей, скорости потока о„длиные,и времени Г,.

Оценим порядок величины конвективного члена в законе Ома (14.20): 1 = и '1 Е + ' —;+ —, [. Н]) Из уравнения (14.18) следует, что плотность заряда р, порядка отношения †. Тогда отношение — имеет порядок ', а Ео зев Ео во Е а аЕ плотность тока / — и (Е, (1 -~- — ) -1- — о, Н,~ . ! ОЕО) Отсюда видно, что при большой проводимости плазмы конвективным током можно пренебречь, когда (14.21) Условие (14.21) выполняется при большой проводимости для большинства задач магнитной газодинамики. В этом случае .закон Ома имеет вид )к= о~ Е + — [о Н]). (14.22) Второй член правой части уравнения (14.16) представляет собой ток смещения, возникающий при быстром изменении во времени на- — 525— десяти уравнений электродинамики (14.16), (14.17), (14.18) н (14.20).

Эти уравнения содержат шестнадцать неизвестных величин, из которых шесть газодинамических параметров (составляющие скорости потока о„о„, о„давление, плотность и температура) и десять электродинамических величин (напряженности магнитного Н„, Н„, Н, и электрического полей Е„Е„, Е„плотности тока!„! „, 1, и ил отности заряда р,). Уравнения газодинамики и электродинамики должны быть решены совместно, так как уравнения газодинамики содержат электромагнитные величины Е, Н, 1, р„а в уравнения электродинамики входит вектор скорости потока.