Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 77

Единичная объемная сила от индуцированных токов Г (14.9) равна: Следовательно, магнитную силу г" можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых направлен против направления скорости потока ~,= ††, Н' и, а другой — вдоль вектора напряженности магнитного поля Ге= —,(о Й) Н (рис. 14.31: ( Г, ) = '-, Н' о соз О. 1Г,1=; —,Н'о, Отсюда 1й!(!61. Тогда проекция ~, на направление скорости потока: 12с (11. Поэтому прн движении электропроводящей среды в магнитном поле (0~0) появляется тормозящая сила, равная проекции результирующей силы на направлении скорости потока: й 6 Ге, — — —, Н'и ып'В.

оо 4 аьо а при конечной проводимости 2 1 еооНа Найдем отношение единичной магнитной силы при Ке )) 1 к силе инерции, отнесенной к единице объема. Сила инерции ис равна р —. Поэтому она имеет следующий порядок: Ж' 2 се аа Ро Ра с — 535— Максимальная тормозящая сила появляется при движении проводящей среды перпен- ДИКУЛЯРНО МаГНИтиОМУ ПОЛЮ Рис. 14 З.

Яака,ор магнитная си ис (0 =,-) Оценим порядок величины магнитной силы. При бесконечно большой проводимости среды (Ке )) 1) единичная объемная сила Тогда отношение единичной магнитной силы Г к силе инерции при Ке )) 1 равно Н' Н' о о 4 аида 4о 2 2 "о Раоо Ров а.а Это отношение характеризует магнитогазодинамическое взаилюдействие.

Обозначим критерий магнитогазодинамического взаимодействия при Ке )) 1 через 5: и' и, 4аРа 'о 2 (14.39) Очевидно, этот критерий можно также трактовать как отнои' Ро оо шение магнитного давления — к скоростному напору За 2 С учетом конечной проводимости отношение магнитной силы Г к силе инерции равно а — мо о са о ° о аНо Еа ~аао 2 3 Ра ооо Ра аа аа аа Отсюда видно, что Я„.„о = 5Ке . (14.40) Но о а о о а оо о ~КеааКе' аНо Ео 4а 4аа оа Г,а Ра "о аоа Но а'.

ьа Отсюда получим, что отношение магнитной силы от индуцированных токов к силам вязкости равно произведению двух критериев подобия: критерия магнитогазодинамического взаимодействия Я Ке„ и обычного числа Рейнольдса Ке. Для характеристики отношения — озб— Проявление магнитогазодинамического эффекта в случае конечной проводимости оценивается значением параметра ЯКе . Чем больше ЯКе, тем влияние магнитного поля больше.

Число Гартмана. Найдем отношение магнитной силы от индуцированных токов к силам вязкости (тЕо — р — 'Ео): аа магнитной силы к силам вязкости введем число Гартмана На„ко- торое равно На = 5Ке Ке, или ано Ьо 2 2 На= со и (14. 41) На== На Ч оаЧо со =оо~ а о = —. са Тогда из уравнения (14.30) следует, что (д1* ( Ч) 1 Ч (' + 2) + ( Ч) +йе ° — — — Чбч а из уравнения (14.25) получим — „= го1* ~~* Й'1 + — Л а Йа, где Ке= —, оо 7.о ао Н 4 сро ооа случаи движения проводящей оа 4ааоа Г,о ~~сао = с Рассмотрим некоторые частные среды. — о37— Если число На » 1, то влиянием снл вязкости на движение электропроводящей среды можно пренебречь.

Ч и с л о Г а р т м а н а является основным критерием подобия при и з у ч ен и и дв и же н и я э л е к т р о п р он од я щ е й. среды в пограничном слое. Очевидно, что чем больше число Гартмана, тем влияние магнитной силы на движение электропроводящей силы в пограничном слое больше. Пользуясь критериями подобия, напишем уравнения движения (14.30) и уравнение нндукнии (14.25) в безразмерной форме. Для этого введем следующие безразмерные величины: 14.

6. Установившееся движение невязного электрол роводяи4его газа Рассмотрим установившееся движение электропроводящей среды без учета вязкости, теплопроводности и массовых сил неэлектромагнитного происхождения. При этих условиях уравнение энергии (12.33) с учетом работы электромагнитных сил (Е /) запишется в следующем виде: р,— „(е+ — ') = — б!ч(р о)+(Е )), (! 4.42) где е=с,Т. Для установившегося движения д(е+ 2) д(е 1- — ) д е+ — ] 1Л~ +2) Р" дх +! У ду +Р ~ дг Тогда, учитывая, что при установившемся движении йч ро = О, получим Р де(е+ 2) = о!чйф+ 2).

(14.43) Кроме того, определяя плотность тока 1 из уравнения (14.16) (дЕ для установившегося движения ( — = О), находим (,д~ (Е !') = Š— го!Й. Используем следующее векторное тождество: с1!ч '(Е Н] = Н го! Š— Его! Й, (Е 1') = — — 6!ч '1Е Й]. (14.44) Подставляя выражения (14.43) и (14.44) в уравнение (14.42), получим о(ч~ро~е+ — )+ ро+4 — 1Й Й]) = О.

Проинтегрируем уравнение (14.45), предполагая, что векторы напряженностей Е и Н перпендикулярны к вектору скорости (14.45) — 838— где в случае установившегося движения го! Е = О, что следует из уравнения (14.17). Поэтому потока. Тогда направление векторного произведения [Е, Й1 должно совпадать с направлением вектора скорости о. Представим вектор [Е Н1 в следующем виде: [Й Й1 Де н)о)— о« Тогда Йч ( р о [е + 2 + — + 4— „„, ([Е Н1 оф = О. Следовательно, вдоль линии тока дивергенция произведения о«р с — — 1 — ~ вектора ро на скалярную величину (е+ — + — + —,)[Е Н) ооу1 2 р 4«ро« равна нулю. Используем следующее векторное тождество: йч(а, Ь) = Ьд)ча + аягаг) Ь, где а — вектор; Ь вЂ” скалярная величина.

Отсюда, учитывая, что йчро = О, получим рогстад(е+ — + — + 4,«,[Е Й) о)~ = О. Скалярное произведение вектора о и кгаа(е+ 2 + +4 «[[Е Й) о)[ запишем в следующем виде: — дА дА дА октай А= о — + о — + о — =О, «дх «ду «дх где А =е+ — +р-+4 „,),[Е ~~ о). Левая часть полученного выражения при установившемся движении равна полному дифференциалу от А вдоль линии тока. Поэтому вдоль линии тока имеем а (е+ 2 + + 4,([Е Н) о)1= О. — 539— Отсюда з+ —,+-+4 —,([Е Н~ о) =сонэ(.

Здесь е+ — = с — удельная потенциальная энергия газа. Р Р Тогда — + с +, ( [Ь Н~) о) — сопз1. (14.46) Уравнение (14.46) представляет собой уравнение энерг и и в магнитной газодинамике, когда векторы напряженностей магнитного и электрического полей перпендикулярны направлению вектора скорости потока. Подставим в уравнение (14.46) напряженность электрического поля из (14.24'). Тогда, учитывая, что — [[о Й~ ~~ о = Н' о', по- лучим 2 + с + 4 + 4 с([го(Н Н1 ) = соп51.

(!4.47) Отсюда следует, что полная удельная энергия электропроводяос щего газа, равная сумме удельной кинетической энергии потенциальной энергии с (которая складывается нз внутренней тепловой энергии и энергии давления) и магнитной энергии — —,— —,([го1 Н Н1 о), ос . Нс — + с + — = сопз(.

2 4кр (14.48) Это уравнение по форме будет совпадать с уравнением энергии обычной газовой динамики, если удельную потенциальную энергию с заменить энергией с*, равной Н~„' Р = с'+ — ". 4~ср' (14.49) — 540— вдоль линии тока сохраняет постоянную величину. Для бесконечно проводящего газа о= оо(т = 0) уравнение энергии имеет вид Если Е = 0 или векторы Е и Н параллельны, то из уравнения (14.46) следует, что поток электромагнитной энергии при этом будет равен нулю: (Е Й~ и = О.

Тогда уравнение (14.46) совпадает с уравнением Бернулли, применяемым в обычной газодинамике; о» + ~ = соп51. 2 Э 14. 7. Плоское течение невязкого электропроводяи(его газа в перпендикулярном магнитном поле Рассмотрим установившееся плоское течение бесконечно проводящего невязкого газа (а = оо, т = 0). Предположим, что вектор напряженности магнитного поля при этом перпендикулярен к плоскости потока (х, у). В этом случае (Йт7) Н = О, и уравнение движения (14.29) примет вид Р (и р) о = — угад,(р + Н ), или, введя следующее обозначение: и' р+ з« (14.

50) получим Р (о ~) и = — агад р*. (! 4.51) Здесь р* — эффективное давление, равное сумме давления р Н» и магнитного давления Вя Уравнение (14.51) по форме совпадает с уравнением Эйлера, применяемым в обычной газодинамике, если в нем давление р заменить эффективным давлением р*. Рассмотрим деформацию жидкого элемента магнитной силовой трубки с достаточно малым поперечным сечением.

Деформация силовой трубки возникает при движении проводящей среды. Из теоремы «вмороженности» магнитных силовых линий (14.36) и закона сохранения массы следует, что Н~ = Но~о Р л' '(1 = Ро л'о а(о где Х вЂ” площадь поперечного сечения; Ж вЂ элеме длины магнитной силовой трубки; Н„ р„ Х„ Ло†величины до деформации магнитных силовых линий. Отсюда имеем — = — = соп51, и и, Роо Роаоо или и н,п Р Ро "~о При плоском движении бесконечно проводящего газа в магнитном поле, перпендикулярном к плоскости движения, длина элемента магнитной силовой линии не изменяется: й= йо= соп51.

Тогда и н, — = — о = Ь = соп51. Р Ро (14.52) Тогда для изэнтропического течения проводящего газа в перпендикулярном магнитном поле эффективное давление р* можно представить в следующем виде: Р =сР~+ Р зо где с — некоторая постоянная величина. Пользуясь этой зависимостью, можно определить скорость распространения малого возмущения в плазме. Назовем эту скорость эффективной скоростью звука и обозначим ее через а . Тогда Ф* Ф ь а = — = — + — р, Ир сТР 4о (14.54) — 842— При движении каждой частицы отношение — сохраняет пои Р /и стоянную величину ~- = Ь = соп51). Из уравнения (14.52) получим О = рЬ.

Подставим это выражение в формулы (14.49) и (14.50): Ьор Р =1+ —, 4~о ' Ь ро Р*=Р+ 8„° где 22 — = а — квадрат скорости звука в отсутствии магнитного Р 2 поля (а' = кРТ); Ь 2 4— р = ал — квадрат скорости распространения так называемой волны Альфвена (см. 1241). Подставляя сюда выражение Ь (14.52), получим (14.55) Н 2 ~Гт Следовательно, 2 2 2 а =а +ал, (14.56) или (14.57) а.= ят+ 4. Из выражения (!4.57) следует, что эффективная скорость звука в электропроводящем газе больше, чем скорость звука в отсутствии магнитного поля. Чем больше напряженность магнитного поля, тем эффективная скорость звука а„, будет больше. Это означает, что магнитное поле приводит к уменьшению сжимаемости потока. Эффективное число М„, при наличии магнитного поля, равное отношению М = —, также зависит от напряженности а, ' магнитного поля. Представим М в следующем виде: О Р а М а, аз„,' Тогда, подставляя отношение ~ из выражения (14.56), по- п~в лучим Мм= (14.58) "л 1+ —, Следовательно, для заданного значения М (скоростн потока) эффективное число М„уменьшается с увеличением напряженности магнитного поля.