Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 72

13.4, а) б) и зеркальное (рис. 13.4, б). ее При диффузном отражении молекулы газа при столкновении с телом передают всю кинетическую энергию телу, абсорбируются, т. е. поглощаются поверхностью тела на некоторое время, в течение которого происходит уравнивание температуры газа и стенки, а затем отражаются от поверхности по произвольному направлению (рис. 13.4, а).

Температура отраженного потока близка к температуре стенки. При зеркальном отражении угол отражения равен углу падения молекулы. При этом тангенциальная составляющая скорости оста- ется неизменной, а нормальная составляющая меняет направление при неизменной величине. При зеркальном отражении, когда г7Е„=-- йЕо коэффициент аккомодации е =- О, а при диффузном — он близок к единице. При обтекании тела потоком разреженного газа некоторая часть молекул отражается от поверхности по законам зеркального отражения, а остальная часть отражается диффузно.

Обозначим через 7' коэффициент отражения, представляющнн собой отношение числа диффузно отраженных молекул ко всему числу отраженных молекул. Тогда (1 — г) — доля зеркального отражения. Велич1ша коэффициента 7 завист от рода газа, материала стенки и температуры поверхности. Многочисленные измерения показали, что доля зеркального отражения мала и что молекулы преимущественно отражаются диффузно. Поэтому величина у близка к единице. Скорость скольжения газа по изотермической поверхности зависит от производной скорости по нормали к поверхности.

Для того чтобы установить эту зависимость, рассмотрим слой толщиной, равной средней длине свободного пробега молекул. Продольная скорость молекул до столкновения с поверхностью при этом равна по+7(-д ) где ио — скорость скольжения; у — координата точки, отсчитываемая по нормали к поверхности: 7 ."1 — представляет собой изменение скорости в слое с тол- ~ ду )у=о щиной Е Продольная скорость движения зеркально отраженных молекул равна скорости до столкновения с поверхностью, а при диффузном отражении она равна нулю.

Найдем среднюю скорость движения молекул в слое, учитывая при этом, что количество молекул до столкновения с поверхностью составляет половину всех молекул в слое, а количество зеркально и 1 — 7 / диффузно отраженных молекул составляет — и — от всех молекул 2 2 соответственно. Тогда для определения по можно написать следующее уравнение: "~=2 ~а~+7( д ) ~+ 2 ~по+У~ д '1 1+ 'О. Отсюда получим формулу для определения скорости ио: о ~, ду 7'у=о' 17* — 499— Следовательно, даже при полностью диффузном отражении, когда ~ = 1, скорость скольжения не равна нулю. При малой длине свободного пробега молекул этим явлением можно пренебречь, заменяя тем самым граничное условие скольжения условием прилипания к поверхности.

В общем случае для определения скорости скольжения и температуры газа у стенки получены следующие формулы: Т Т 2к 2 — с ! (дТ1 к +! с Рг ~ ду !у=о' (13.12) (13.!3) 5 13. 4. Обтекание тел свободно-молекулярным потоком Аэродинамические характеристики тела в свободно-молекулярном потоке могут быть определены с помощью кинетической теории газов. 1 В свободно-молекулярном потоке, когда отношение — „))1, можно пренебречь соударением между молекулами, отраженными от поверхности тела, и молекулами набегающего потока. Поэтому при рассмотрении свободно-молекулярного течения можно предполо- где Тр — температура стенки; с к= —; с с и Рг — число Прандтля, равное Рг = — (здесь Л вЂ” коэффициент Х теплопроводности); дТ вЂ” — производная от температуры вдоль поверхности.

дк Из выражения (13.12) следует, что градиент температуры вдоль поверхности индуцирует дополнительное течение в направлении возрастания температуры. Ввиду указанных сложностей задача по составлению дифференциальных уравнений и граничных условий для описания течения со скольжением до сих пор не решена. В насте(1щее время имеются некоторые приближенные решения, которые получены путем использования в качестве основной системы уравнений для течения со скольжением уравнений Навье — Стокса (для сплошной среды) с учетом явлений скольжения только в граничных условиях (13.12) н (13.13). жить, что тело не влияет на набегающий поток.

Тогда можно принять, что распределение скоростей молекул в набегающем и отраженном потоках подчиняется классическому распределению Максвелла, а вычисление аэродинамических сил и теплового потока можно производить отдельно от налетающих и отраженных молекул. Рассмотрим некоторый элемент поверхности тела оВ. Примем систему координат, в которой направление оси у совпадает с направлением нормали к поверхности (рис. 13.5). Обозначим направляющие косинусы вектора скорости набегающего потока (вектора ско- Рис.

!д.д. Силы, действу~осине на элемент поверхности 1 л ,г ,г1 нг гг( с(п=п =е '"" +"." +"' о(п„о(п Йп„ гг 1 где й равно — . оо (13. 14) рости упорядоченного движения молекул) через ег, е„ег. Суммарную силу воздействия потока иа элемент о(Я разложим по двум направлениям: на направление нормали к поверхности и по касательной к поверхности. Обозначим нормальные напряжения через р, а касательные — через т, при этом напряжение от налетающих молекул обозначим индексом «Ь, а отраженных — «го.

Найдем прежде всего число молекул, соударяющихся с телом в единицу времени. Из кинетической теории газов известно, что на основании закона распределения Максвелла из общего числа молекул в единице объема л часть молекул о(п, имеющая составляющие скорости теплового движения по осям координат в интервале от о до о„+ оси„, от о„до и„-+ с(п„и от и; до и, +с(п„определяется по формуле Здесь о, — наиболее вероятная скорость движения молекул, равная о,= ~/2КТ. (13.15) Тогда выражение (13.14) можно переписать в следующем виде: Ьз -( —,', г[п =и —.=- е ~ " ~ г[о, г[о, с[о„ (!3.16) 1г-,.э где и'=-~ о„+о +о,. Из выражения (13.16) следует, что г[п зависит от отношения скоростей — и интервала изменения скорости.

Это объясняется оц тем, что не все скорости молекул встречаются одинаково часто. Молекул, имеющих скорости, намного отличающиеся от наивероятнейшей скорости, меньше. При скорости движения о + 0 на тепловое движение молекул накладывается упорядоченное движение со скоростью о (о е,, о е„о„е,). Обозначим компоненты суммарной скорости движения молекул через о,, о„, о„. При этом о„=о„.— о е,, о =от— — о е„о,=о,— о е,.

Тогда из формулы (!3.16) следует, что число молекул в единичном объеме, имеющих составляющие скорости в пределах от о,, о,, о, до о„.+до, о„+г[ото о,+Но„будет равно — а [(о — о м)2+(ю — о оо)2-~-(г — о,де )2] ! ! [ Все те молекулы, которые ударяются в единицу времени об элемент г[5, находятся в объеме г[5о 1. Тогда число молекул в объеме г[5о 1 будет равно г[по,г(5 = з =п=е "*[('х ' "1'+!'х '' ")+(" ' ")']о йо Но г[о Н5.(13.17) Для нахождения суммарного числа молекул, соударяющихся с элементом поверхности тела г[5 в единицу времени, полученное выражение надо проинтегрировать по всевозможным значениям о,, о,, о,. Для определения числа молекул, соударяющихся с передней стороной элемента й5 (со стороны набегающего потока), необходимо интегрировать в следующих пределах: — со < о,.

яс -]- оо; 0 (о, -- со! — со -.. о, < со. Молекулы, имеющие отрицательную составляющую скорости вдоль нормали к поверхности (ог(0), не сталкиваются с поверхностью. Обозначим через и, число молекул, соударяющихся с единичной поверхностью. Тогда — о— ~ 1[о.,:1:!оу «о.. В результате интегрирования получаем 2 2 — Й' и~„,ез п,=п + [1+ ег7 (!1о е,)), (13.18) 2 ф'11 а где ее[(11о е,) — интеграл вероятности, равный Ле, е, ег) (йо е,) = — ~ е — 'й. о 1 О Е1 В выражении (13.18) й= — и йо е, = ов ов Введем следующее обозначение: о е, =по е,, ов Тогда п,=п — ' [е — М+~' пр [1+ег[ ф)[), 21' г.

(13.19) нли п1 — -п ",-Х1Ф), 21' (13.20) где у„, ф)= е — м+) 'пр [1+ее) (р)1. ' (!3.21) ( ~ ~' — л' [(о — и<о е01+ [и — и е,)1-~- [с — г е,)11 г 11,) х о И 1[о,1[о,. — эоз— Аналогично можно определить число молекул п.„ударяющихся о заднюю сторону единичного элемента поверхности. Для этого выражение (13.17) нужно проинтегрировать в следующих пределах: по о и о, по-прежнему от — оо до оо, а по ох — от — оо до О. Кроме того, учитывая„что объем цилиндра прн этом равен — о, Н5, получим со О сс В результате интегрирования будем иметь , — х(1) (13.22) где тз((1)=е — М вЂ” )сзт р (! — ег1 (р)1 (13.23) КРивые зависимости фУнкций )!, и )1в от паРаметРа 1) пРиведены на рис.