фудзи (Фудзи Т., Дзако М., 1982 - Механика разрушения композитных материалов), страница 9

гвеее е. ресчет еомпозитое меюдом конечных ееементое ЗЛ.4. Мвтрица нвпряжений — деформаций Рассматриваемая матрица записывается в таком виде: гтатрица [е)'] есть матричное выражение уравнения состояния, устанавливающего связь между напряжениями и деформвциямн. Поскольку матрица [Вр] устанавливает зависимость между напряжениями и аеформвциями для упругого случая, то она, строго говоря, должна носить название матрицы упругих напряжений — деформаций. 3.15.

Матрица жесткостей Рассмотрим внешние силы, действующие нв элемент. К таким силам прежде всего следует отнести объемную силу элемента, которую можно представить в виде )р)=[,-]. Кроме того, на элемент действуют эквивалентные узловые силы, приложенные в вершинах элемента, которые соответствуют поверхностным силам на границах элемента. Для узловых сил можно записать следующее: Х, у. х УТ Хе Используя принцип виртуальных работ, который должен удовлетворяться для рассматриваемого элементе, из уравнения (3.1) для произвольного виртуального перемещения (8) получим (8)т (Р) = ~ $ ((е)т (и) — (])т (Р))1)(х т)у, (316) о Подставляя (3 !7), (3.18) в уравнение (3.!6), получим )Р) )Р) )Е )]])В) ) )РР Рр — ]])Р) )р)РР* р) )Р!Р) О и Поскольку уравнение (3 !9) справедливо для любого виртуального перемещения (8), запишем (Р) = Ц [В]т (а) ! )(хе!у — Ц [)т']т(р) 1)(х е(у (3 20! о о Из уравнений (3.12) и (3.13) имеем (Г) = [ВР]((е) — (ц))) = [В'ПВ] (8) — [1)е] (Е)).

(3.21) Подставим (3.21) в уравнение (3.20), тогда (Р)=['Ц [В]т[В'][В]!т!х !у] (8) — Ц[В]т[1У'[(е,)!Е(хе!у— ~о / ь — Ц М Ы(т(хе(у, (3.22) о Полученное уравнение можно записать в следующей форме: (Р) =[К](8)+(Рре)+(Р ), (3.23) [К] = Ц [В]т[В ИВ] р т!хт!у„ о (Р,е) = — Ц [В]т [В'Иее) 1 г(х т!у, (Ре) = — Ц [Ж]т (р) 1е!х е!у; о [К] представляет собой матрицу жесткостей элементов.

Если воспользоваться уравнениями (3.6) для функции пере. мещений и проинтегрировать выражения (3.24), то можно получить [К] = т' Ь [В]т [ВР] [В]. (3.26) Здесь Ь обозначает площадь треугольного элемента. Если положить, что узлы 1, 1, к расположены против часовой стрелки, то плошадь треугольного элемента равна 3.2.1. Мнкроподход и арь. глава 3.

РАсчет коыпозигов методам конечных элементов Величины 1г,о) и 1Рр) представляют собой силу в узле, соответствующую начальным деформациям, и эквивалентную узловую силу, обусловленную объемными силами. Уравнение (3.23) является уравнением жесткостей, составленным для треугольных конечных элементов сплошного тела. 3.2. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Композиты, в частности слоистые пластмассовые пластины, армированные стекловолокном, обладагот следующими свойствами: 1) являются ортотропными; 2) имеют очень узкие диапазоны нагружения, в которых постоянные материала не зависят от напряжений (или деформаций), т. е.

материал является нелинейным. Поэтому при рассмотрении слоистых пластин, армированных стекловолокном, необходимо принимать во внимание указанные выше обстоятельства. При расчете композитов можно пользоваться как микро-, так и макроподходами. При микроподходе композит разделяют на матрицу н армирующий материал и, исходя нз особенностей соединения матрицы и армирующего материала, рассматривают механику поведения композита. В случае макроподхода наполнитель и связующий материал рассматривают как одно целое. В рассматриваемом случае задача состоит в том, как правильно охарактеризовать разнородные материалы, совокупность которых образует композит.

Это означает, что для каждого компонента необходимо иметь исходные данные, которые характеризуют постоянные материалов. Получение таких данных представляет собой довольно трудоемкую задачу, и это является существенным препятствием при проведении расчетных работ. При рассмотрении конечных элементов используются различные методы.

При применении метода конечных элементов для композитов с учетом указанного выше обстоятельства эффективным оказывается блочный метод, В блочном методе при разбиении выделяются целые области, которые затем разбиваются на элементы. Для каждой такой области полагают, что постоянные материала являются неизменными. Следовательно, если имеются разнородные з.з, пгимахы использовании мггода конечных аламангов материалы, то в таком случае разбиение на области жела- тельно проводить по материалам. Остановимся на этом более подробно. 1.

Анвпнз напряжений в компознте, армированном волокнами Для армирования используют как непрерывные волокна, так и волокна, которые имеют ограниченную длину. В случае волокон ограниченной длины (коротких волокон) возникают проблемы, связанные с концентрацией напряжений на концах волокна, что оказывает большое влияние на прочность связи на поверхности, разделяющей волокно и матрицу.

Задачам такого рода уже посвящено несколько исследований ')3.4, З.б). В рассматриваемом случае воспользуемся моделью, приведенной на рис. 3.5. На этом рисунке показана четвертая часть области модели с одиночным волокном. На рис. 3.6 дано разбиение на треугольные элементы, используемое для определения напряжений Рассматриваемый композит состоит из двух разнородных материалов: матрицы и армирующего материала. Поэтому необходимо выделить по меньшей мере два блока. Одним из блоков является армнругоший материал.Для этого блока полагают, что все постоянные материала являются неизменными.

Это позволяет в существенной рнс. з.б, )г)олель пластмассы, армированной волокном: г — матрипа (смола) х — армиругощий элемент (волокно), Рнс. Зб. Разбиение на треугольные элементы. Рис. 3.10. Рааоненне на треугольные алемекты. Рис. 3.9. Модель пластмассы, армированной стеклянными тпарккамнр т' — матрица (смола); л — армируюптнй влемеит (стеклянный рпарик). ГЛАВА Е. РАСЧЕТ КОМПОЗИТОВ МЕТОЛОМ КОНЕЧНЫХ ВЛЕМЕНТОП степени упростить исходные данные для расчета.

Для проведения расчетных работ необходимо воспользоваться уравнением состояния, которое имеет следующий вид: (доГ = (Ц (г(е), (3.27) (б] — матрица напряжений — деформаций. Для элементов упрочняюшего материала указанная матрица обозначается через Щ, а для упрочняемого материала — через (Е7 1. Матрицы (0Д и (тр ) определяются механическими свойствами соответствующих материалов. В расчетах считают, что комцозит под действием нагрузки равномерно деформируется в направлении упрочняющих волокон.

Воспользуемся здесь допуытением о том, что сцепление волокна с матрицей является идеальным. Можно также допусгпть, что рассматриваемый материал обладает следующими механическими свойствами: Ег — — 7040 кгс/ммт, Е,„= 320 кгс/мне, Ог = 2885 кгс/мм', 6 = 119 кгс/мм', т( = — 0,22, т = 0,35. Индекс / соответствует упрочняющему материалу, а т — мат. рице. Рис 3.7. Расвределеине касательных напряжений, действуюпгих на поверх ности волокна. Рнс. 3.3.

Распределение эквивалентных напряжений на конце волокна вх примгры использования методА конечных эягментов На рис. 3.7 и 3.8 представлены результаты расчета. На рис. 3.7 показано распределение касательных напряжений на поверхности волокна. В анализе разрушения н текучести при растяжении упрочняющего волокна важными факторами являются условия разрушения н текучести. Если в рассматриваемом случае воспользоваться эквивалентным напряжением и, то можно установить распределение напряжений, показанное на рис.

3.8. При построении распределения напряжений использовалась безразмерная величина а/и , в которой п„— ереднее напряжение. Следует обратить внимание на заштрихованные области. Зги области соответствуют элементам„ в которых имеет место текучесть. 2. Расчет напряжений в номполите, армированном частицами Изучению упрочнения частицами посвящены исследования Дерунца и Хоффмана (3.6~, а также исследования ()попки и др. (3.7). Представляет интерес работа (3.8(, в которой расчетным путем получено распределение напряжений при помощи использования функции напряженийдля осесимметричного случая в полярных координатах, как ранее предлагали Гудьер и др. Следует отметить, что по сравнению с исследованиями, посвященными упрочнению волокнами, исследования упрочнения частицами не являются столь многочисленными, несмотря на то что в настоящее время на практике находят широкое применение материалы, армированные частицами.

К таким материалам следует отнести спеченные алюминиевые 0 0 0 тхл Ех ту„ 1 Еу О 0 0 0 0 0 . (3.29) 1 Ех 0 тхх бу, О О О б,„О О 0 б„, 0 0 0 О 0 (3.30) 3.2.2. Манроподход В Ьркв ГЛАВА 3. РАСЧЕТ КОМПОЗИТОВ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рис. 3.11. Распрелелеиие эквивалентных напра жеиий. порошки 41, Т11-никелье1 (% — Т!тОЭ) и др. Одним из примеров применения микроскопического подхода является расчет распределения напряжений в пограничной области матрицы у стеклянного шарика, который является армирующим элементом (рнс.