фудзи (Фудзи Т., Дзако М., 1982 - Механика разрушения композитных материалов), страница 6

(2.32) В этой зависимости 1) определяется величиной гт'. Приближенное значение этой величины можно установить расчетным путем по следующей зависимости: бп, 2п ЕГ АГ1п !Д/тэ) полученной для случая большого числа параллельно расположенных волокон, имеющих круглое поперечное сечение радиуса го и постоянную длину 1. Здесь 2)7 — среднее расстояние между центральными осями волокон.

Следует также привести зависимость Нильсена [2.10) Е, РЕ!У!+ Е 17ко (2.34) в которой первое слагаемое линейного аддитивного закона помножено на коэффициент Р, представляющий собой коэффициент эффективности упрочения волокном. Величина Р зависит от объемного содержания волокна н отношения модуля упругости волокна к модулю упругости матрицы. Характер изменения этого коэффициента показан на рис. 2,10. Помимо изложенного существует также метод, позволяюший определять средний модуль упругости композитов, армированных дискретными волокнами и дисперснымиу частицами [2.11]. На рис.

2.11 показан элементарный куб, в котором заключена одна дисперсная частица. В некотором сечении, соответствующем координате х, плошадь поперечного сечения дисперсной фазы равна АГ, а площадь сечения матричной фазы равна А . Положим, что в рассматриваемом сечении деформация а является постоянной. Куб имеет ребра„длина которых равна единице, и находится под действием сил Р. Для такого единичного куба можно записать Р=п!А1+ пмА =е(Е!А! + Е А ) (2.35) 7.6.

КОМПОЗИТЫ, АРМИРОВАННЫЕ ДИСКРЕТНЫМИ ВОЛОКНАМИ Удлинение б единичного куба можно представить как 1 б=) ВТ(х=Р~ Е +(Š— Е )А ' (230) и и Следовательно, средний модуль упругости Е можно найти из соотношения ! 1 [ ок (2.37) Е ) Е» + !ЕГ ЕТК) А! Если задано изменение площади дисперсной фазы А! в направлении х, то средний модуль упругости Е можно определить. Например, если дисперсиая фаза имеет правильную кубическую форму, то Е, Е!. (2.38) Е! + (Š— Е!) (1 — )7!))~ ЕГ+ (Š— Е!) 1! — Р!)"'[1 — а — У!)' ) Для волокон площадь А! является постоянной, Поэтому средний модуль упругости равен Е=Е +(Еà — Е ))7!. (2.39) Для пластпнчатого строения с последовательными связями ЕГŠŠ— — +Е (2.

0) гялвл х мвхрчрякА вомпозятов ! — чщ — 2чч ч овщ Е е, 1 — ч — 2ч щ щ (2А !) чщ — 'р чвщ ,Еа о,, 1 — ч — 2ч щ щ щ щ л (2.42) чт ч пвл т Еле=а „ 1 — чл — 2ч,! т„„,! тввл т„л О. чн . рв. 2.7. ОЦЕНКА ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ГРАНИЦ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Рассматриваемый метод носит название метода верхних и нижних границ. Этот метод предложил Поль (2.!2), который полагал, что при заданных модулях упругости исходных материалов, из которых состоит композит, можно, используя энергетический метод, определить верхнюю и нижнюю границы модуля упругости. Действительный модуль упругости заключен между этими границами. При определении верхней границы модуля упругости следует считать, что энергия деформации„полученная интегрированием по всему объему при перемещении, удовлетворя1ошем заданным граничным условиям, будет нметь минимальное значение, соответствующее действительному распределению перемещений.

Рассмотрим в качестве примера однородное растяжение в направлении оси к. Составляющие деформации в этом случае можно представить как е~=е, е„=е,= — че, Т„„=увр=у„=О. Для составлярощях напряжения, соответствующего рассматриваемой деформации, в случае матричной фазы, обозначенной индексом пт, можно записать ля дисперсной фазы, которой соответствует индекс !(, мо о установить й 1 — чл — 2ч тр ощт = л Еле„ 1-чл-2чл Энергию (7, соответствующую указанным выше напряжениям и деформациям, можно представить в виде вт Г 1 — ч — 4ч ч+ 2чт 1 — чл — 4члч+2чт 3 ~ 1 — чщ — 2чщ 1 чл 2ч,т (2.4З) ВК Оцвнвв вв хнвя и яижнвя трвяиц модчлв чпрттости зт Обозначим через Е действительный модуль упругости всего компознта.

Выраженная через этот модуль упругости энергия равна !/вЕевУ. В таком случае для модуля упругости композита можно записать Г 1 — ч — 4ч ч+2чв 1 — ч — 4ч ч+ 2чт 1 — чщ — 2чт 1 — ч,т — 2ч,~ (2.44) Используя приведенную выше зависимость, можно определить верхнюю границу модуля упругости Е. Поскольку ч является произвольной величиной, желательно, насколько это возможно, определить наилучшее значение этой величины. Необходимо найти такое значение ч, при котором правая часть рассматриваемой зависимости оказалась бы минимальной.

В случае когда ч и чл меньше О,б и дЧ//дчв ) О, при условии д0/дч = О для ч имеем чл(1+чщ)(! 2ч )длттл+чщ(1+чл)(! 2"л)(! 14) Я ( + .и -".) л+( + "и — ")( — .) . (2.45) Перейдем теперь к определению нижней границы модуля упругости. С этой целью воспользуемся принципом минимума дополнительной энергии. Согласно этому принципу, в каждой точке рассматриваемого тела удовлетворяются условия равновесия. При этом энергия деформации, полученная из распределения напряжений, уравновешивающих внешние силы, и соответствующая истинному распределению напряжений, является минимальной. Для составляющих напряжений ов ..., т~„..., и энергии деформации (!в для одноосного напряженного состояния можно положить„что Ф =о, а другие составляющие равны нулю.

Для этого случая можно записать следующее: Используя действительный коэффициент упругости композиционного материала Е, запишем энергию в виде Я2Е)г(тУ. Тогда справедливо неравенство (2,4 ! ГЛАВА Х МЕХАНИНА ХОМЗИЗЭИГОВ Следовательно, 1Гм — < — + —. Е Ем Ен ' Отсюда Етрл Е)у Е+,е (2.48) (2.30) 1 — 2тр (гз Е, 1+о„, (2.52) где (2.53) 7!О 0,0 ср З,О '*' 2,0 0 0,2 аА 0,0 а,в 1,0 уи Рис 2д2.

Приближенное опраделанне коэффициента упругости по матоду всрхисб и нижнсй границ !2У, Π— экспериментальные точки для компоанта: частицы — карбид вольфрама, матрица — кобальт); ( — ннжннн граница; У вЂ” нриблнжеинос реГпеииа (кубические пклизчаиии!! Э вЂ” верхняя границе. и мрз. На рис. 2.12 приведены результаты определения модуля упругости первого рода для компознта, составленного иэ кобальта н карбида вольфрама. Этн результаты получены иа основании изложенной выше методики, которую можно распространить н на случай композитов, состоящих из п фнз. Для этого случая можно установить, что р ~ (Е(~ ~ ЕГ7!. (2.49) УТ(Е! ! ! (1 При определении модуля упругости второго рода можно по- ступить аиалогично-„ Коэффициент Пуассона, соответствующий рассматриваемым величинам, определяется зависимостью и = Е('26 — 1. (2.51) На рнс.

2.13 для двух компоэитов с дисперсными частицами показаны зависимости отношения модулей упругости от объемного содержании частиц. В качестве связующего материала использована эпоксидная смола. Матрица содержит дисперсные частицы, средний диаметр которых составлял Р Т. ОЦЕИ1ГА ВеРХНей и' нижней ГРАНиц мОДМЛя уПРУГОсти 30 30 мкм. Один из композитов армирован полыми стеклянными частицами (мнкробаллонами) толщиной стенки ! мкм. В другом компознте использованы сплошные стеклянные частицы (микродробь).

На рассматриваелзом рисунке по оси ординат отложено отношение модуля упругости композита к модулю упругости матрицы. Пунктирными линиями показаны результаты, полученные по зависимости (2.37). Отметим, что на рис. 2.12 представлены результаты, полученные по методу Поля, иэ которых можно видеть, что значения для верхней границы могут существенно отличаться от соответствующих значений для нижней границы. Аналогичный результат имеет место и в рассматриваемом случае. Следовательно, используя предложенный в данном разделе метод, можно получать лишь приближенную оценку для модуля упругости, точное же значение получить трудно.

1!а рнс. 2.13 сплошные линии соответствуют расчетам, проведенным по указанной ниже зависимости (2.32) при использовании подхода Уитни — Райли [2.6) применительно к композитам с дисперсными частицами. Результаты экспериментальных исследований довольно хорошо совпадают с результатами расчетов )2.13) ! Но = — (т(2, (У (ф — 1) + а ~ф+ Ь ) А— ( Эз 1)~ ЭГ+ 2!Узн) 20 ~ з + Мр) ( з 1) р 2тр О=НŠ— 2А, Лт = '", (!(Р= —," „ ги 1+ ' р и, = и (стеклянные микуобаллоны), у = К т + )Р'у' (стеклянная микродробь). Индексы т и р обозначают соответственно матрицу и дисперсную фазу (частицы).

Величина а представляет собой ннутреяний диаметр полого шара, который соответствует объему армирующего элемента, рассматриваемого как шар единичного радиуса, Ь вЂ” внешний диаметр шара. В случае сплошных частиц а = О, а объемное содержание Кг = ЬВ. Символом р обозначено гидростатическое давление, дейтвующее на армирующий элемент. Аналогичным образом 4а т,з. механика слОистых плАстин ГЛАВА т. мехАникА ЕОмпОзитОВ Уррур тю Рис.

2Д4. Двухслойная пластина. У м1 Рис. 2ДЗ. Изменение 'удельного модуля упругости компознта с дисперсными частицами в зависимости от объемного содержания частиц. Экспериментальные значения: ° мелкие сплошные сгеклянкые частицы, рассеянные в зпоксидиоа смоле; мелкие полые стенляниые частицы в зпонсидяоа смоле.

можно поступить и при определении модулей упругости в случае полимерного бетона и полимерного строительного раствора. 2.8. МЕХАНИКА СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН Слоистые композиционные материалы можно разбить иа две группы. Первую группу составляют простые пластины, которые состоят из дисперсной и матричной фаз. Во вторую группу входят слоистые составные пластины, представляюгдие собой сочетания простых пластин. Слоистые пластины используются при изготовлении стоек, балок, панелей и дру. гих конструктивных элементов, которые являются основными силовыми элементами и должны обладать малым весом, коррозионной стойкостью и другими многими важными свойствами. Для получения необходимых свойств следует наиболее рационально распределять и сочетать дисперсные фазы.