фудзи (Фудзи Т., Дзако М., 1982 - Механика разрушения композитных материалов), страница 8

а ри . основании приведенной выше зависимости построены графики изменения отн ошення напряжений от отношения толщнн. Величина прогиба слоистой конструкции с наполннтелем складывается нз прогиба при изгибе облицовочного материала н прогиба, обусловленного сдвигом наполнителя. При действии сосредоточенной нагрузки кт" в центре балки, расстояние между опорами которой равно 1, величина прогиба о,х будет равна 4817 + 421 (2.61) Когда же в указанном случае имеет место равномерно распределенная нагр» узка ти, рассматриваемый прогиб можно представить как 88411 + 8У ' (2.62) В и иведенных чо м формулах 11 — нзгибная жесткость слонстои балки с наполнителем. Р м.

Для определения этой жесткости можно воспользоваться зависимостью (2.64) где ттр — модуль упругости второго рода наполнителя. глава г ммглликл помполитов (И) Гибридные композиционные лгатериалы (2.17). Ранее говорилось, что при использовании в качестве армируюшего материала только стекловолокна не удалось получить композит, жесткость которого была бы выше жесткости металлов. Для повышения жесткости композитов создаются гибридные композиты, которые содержат добавки углеродного волокна, обладающего высоким модулем упругости.

Изготавливаются композиты, в которых перемежаются слои стекловолокна и слои углеродного волокна. Возможны также такие композиты, у которых слои представляют собой смесь стекловолокон с углеродными волокнами. Указанные композиции являются наиболее типичными. Рассмотрим композит, армированный в одном направлении непрерывными волокнами, у которого напряжения в направлении волокна распределены равномерно. Если воспользоваться правилом смесей, напряжение можно представить как п=ппУВ+ огхУ!х+ ... + п„,Уж, (2.65) а модуль упругости как Е=ЕРУг!+Е!хУы+ ... +Е У . (2.66) В приведенных зависимостях индексы г1 и г2 соответствуют волокнам, входящим в состав композита.

На рис. 2,20 в качестве примера приведена диаграмма «растягивающая нагрузка — удлинеинеа, полученнаи для композита, связующим материалом которого является эпоксидная смола, а армирующим элементом — смесь стекловолокна н углеродного волокна. Из приведенных данных можно видеть, что наличие углеродного волокна в композите позволяет в значительной степени повысить модуль упругости.

Следует обратить внимание на то, что в указанных волокнах разрушение Рис. 2,20. Пример диаграммы нагрузка— удлииеиие для гибридяого композита (матрица — эпоксидная смола, объемксе содержанне углеволокка 40тр, стекловолокна заур)р 1 — первый пик иапряжепий- 2 — вто- рой пик иапряжепий. 1 2 Э й 0 мы хз. мырлнмкл спомстык властии !Ба ь я! 0 0,3 0,4 ара а,а угл Рис.

2.2!. Диаграммы иапряжеяие — деформация гибридных композитов, построеииые для различиых аакоиов смесей. Рис. 2,22, Зависимость пика яапряжения от содержаииа стекловолокна: 1 — первые пики иапряжеикй; 2 — вторые пики иапряжеиий. Эксперкмеитальиые аиачеиия: ° первые пикк, О вторые пики г' — объемное содержание П углеволокиа.

(2.6Щ наступает при различных деформациях. Это обстоятельство находит отражение на диаграмме, которая в этом случае имеет сложный характер. С ростом нагрузки обычно сначала разрушается какой-либо армируюший материал. Разрушенное волокно перестает передавать нагрузку, что приводит к резкому падению фиктивного напряжения. На рнс. 2.21 схематически показано такое поведение материала. В рассматриваемом случае можно положить, что первоначально разрушается волокно гь Фиктивное напряжение пл, имеющее место перед разрушением волокна (г, может быть представлено как овг = ивы УР + (игл)а!к, У!в + (ож)ауа! У„„(2.67) где авы — РазРУшающее напРЯжение в волокне (г, вгк!— РазРУшающаЯ дефоРМациЯ волокна !'П (огт)г!«ы — напРЯжение, возникающее в волокне Гт при деформации е!ы,. (пм) е!я,— напряжение, действующее в матрице при деформации матрицы в!и!.

Из приведенной на рис. 2.21 диаграммы напряжение— д еформация можно видеть„что в рассматриваемом случае имеет место резкое падение (1-р. 1 ): д = (огз)агк! У!х + (пар)е!я! Уж. и мрь. ВО ГЛАВА Х МВХАИИВА ВОМПОЗИТОВ и„, =и „2)ГГВ+(и ),г,д)2 . (2.69) После этого падения происходит возрастание (!'-~-2) Фиктивное напряжение ав2, соответствующее разрушению второго армирующего материала, можно представить зависи- мостью На рис. 2.22 построены графики, нэ которых видно, каким образом в зависимости от содержания волокна изменяются первое и второе пиковые значения иа диаграмме напряжение — деформация. Использование в качестве армируюших элементов в композитах смеси разнородных волокон, обладающих высокими модулялти упругости, оказывается очень эффективным [2.!8[, В последнее время в этом направлении проведено большое число исследований, Глава 3.

РАСЧЕТ КОМПОЗИТОВ МЕТОДОМ КОНЕЧНЬ!)( ЭЛЕМЕНТОВ 3,1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В методе конечных элементов сплошное тело, имеюшее бесконечное число степеней свободы, разбивают на элементы ограниченной протяженности и, используя характеристики отдельных элементов, описывают поведение системы в целом. Метод конечных элементов получил значительное раз витие с !950-х годов, когда появились большие ЭВМ. В иастояшее время этот метод находит широкое применение прн решении различных технических задач, к которым можно отнести задачи сопротивления материалов, гидромеханики, теплотехники, электротехники и др. При рассмотрении конечных элементов используются различные методы: метод перемещений, метод напряжений, комбинированный метод н т.

д. При исследовании механизма поведения композитов методом конечных элементов обычно ограничиваются анализом двумерной задачи. Ниже будет рассмотрена двумерная задача методом перемещений. Для более детального ознакомления с методом конечных элементов следует обрашаться к специальной литературе [3.1„3.2). 3.13. Принцип виртуальных работ [3.3) Для установления характеристик элементов используют энергетические принципы. Выбор соответствующего энергетического принципа зависит от используемого метода. Здесь изложен принцип виртуальных работ, который находит довольно широкое применение и лежит в основе метода перемещений.

Для двумерной упругой задачи принцип виртуальных работ можно представить таким образом. ~ ~ (а„ба + вэба„+ т„„бу„„) ! Г(х Г!у— и — ~ ~ (Л' бп + у бп) ! Г(х Г(У вЂ” ~ (й'„би + Ут бп) ! Иа О, (3. ц Йрк Мйтод КОНЕЧНЫХ ЭНЕМЕНЕОЕ (3.2) Рис 3.1. Анироксимвпия конечными елементвмн. (3.4) и=а, +аех+аеу, и =а4+ аех+ аеу.

(3.5) Ч 1.рьр гллел э. влечет комповнтОК метОдом конечнык элементов где 1 — толщина пластины; л — длина дуги на границе С, би и бп — произвольные виртуальные перемещения, для которых можно полагать, что на границе Ьи =О н бп =О. Используя би и Ьп, можно установить виртуальные деформации Ьа,, бе„, Ьу„е.. Уравнение (3 1) преобразуется к виду — ~~~( — „" + ™ +Х)би+( „" + — "+У)бп)гг(хг(у+ о + 1 ((Մ— Х,) Ьи+ (У, — У„) Ьп)1 (е = О. (3.3) с Так как уравнение (3.3) справедливо при произвольных аиртуальных перемещениях Ьи и бп, то можно получить уравнение равновесия и уравнение, характеризующее механические граничные условия.

Следовательно, уравнение (3.3), в котором находит отражение принцип виртуальных работ, можно использовать для упругих материалов. 3.1.2. Матрица жесткостей элементов При решении двумерных плоских задач методом конечных элементов прежде всего необходимо рассматриваемую область (рис. 3.1) разбить на конечные элементы. Вершины элементов носят названия узлов.

Выберем на рис. 3.1 для рассмотрения какой-либо элемент (рис. 3.2). На этот элемент действуют внешние силы Х, н у„под действием которых происходит деформация элемента, рассматриваемого как упругое тело. В данном случае можно соответствующим образом установить узлы конечных элементов и определить усилия, действующие в узлах, полагая, что внешние силы, действуюшие на элементы, передаются лишь через узлы.

Форма элементов, на которые разбивают тело, может быть самой разнообразной. Часто используют элементы треугольной формы, трн вершины которых выбираются в качестве узлов (рис. З.З). В обшем случае изменение формы внутри элементов, на которые разбито непрерывное тело, носит сложный характер. Это обстоятельство вынуждает ввести допущение о том, Рис. Зд. Конечный Рис. 3.3.

Треугольный влеелемент. мент. что перемещения внутри элементов являются простыми. В та- ком случае на основании использования перемещений узлов элемента (Ь) можно определить перемещения и и и в произ- вольной точке (х, у) рассматриваемого элемента: Величины и и и, характеризуюшие перемещения, получен- ные с учетом введенного допущения, носят название функ- ций перемещения, а матрица (4у) называется матрицей фор- мы.

3.1.3. Функция перемещений и матрица деформвций— перемещений Для треугольного элемента, представленного на рис.3.3, воспользуемся следующим доцушеннем для функции перемещения: Согласно этому допущению, прямая линия, соединяющая дне произвольные точки в элементе, остается прямой линией после того, как элемент изменит свою форму.

На рис. 3,4 показана некоторая совокупность элементов, границы которых представляют собой прямые линии, проходящие через вершины элементов. После деформации не происходит наложения соседних элементов друг на друга н повсюду перемещения носят непрерывный характер. Используя выражения (3.5) для перемешений и, значения перемещений з.ю. метод конечнык эпементоз в котором а +сух+с» йую = йз ау+ дух+ сур АУу —— ае + Ьзх + сеу йуз = (3.И) (3,6) (е) = аз ию а, = хууз — хзуу, Ью =Уу Уь с,=хз — ху, ау = хзу, — хюум Ьу=уз Ую аз = хюуу хуую> Ьз = Ую — Уу, (3.8) с„= ху — х,.

дхю — 0 дх О д» ддз длз ду дх дЛюу 0 ду дЛ' дЛУ( дх дЛ>ю 0 ду дЛ>ю дЛ>ю ду дх су — — х, — хм ию ь, о ь о ь о О с, О су 0 сз сю Ью су Ьу сз Ьз = (В) (Ь). (3.12) оу из = (ЛУ) (б), (3.10) тдкзз з. ексчет компознтов методом конечных элементов Рие. ЗЛ. Непрерывность.перемещений. ию, иь из в вершинах треугольного элемента можно записать в виде и,=а, +с хю+а~ую> ау=а +а х;+ у из = а, + оех, + аз уз. Если решить приведенные уравнения относительно неизвестных а,. аь аз н полученный результат подставить в первое уравнение системы (3.5), то получим 1 л ((аю + Ьюх+ сюу) ию + (ау + Ьух + суу) и, + + (аз+ Ьзх+ сзу) из). (3.7) Здесь через А обозначена плошадь треугольного элемента; а, Ь н с находят из выражений Аналогичным образом, используя перемещения узлов пю, »у, о* для перемещения и, получим выражение 1 о = —, ((аю + Ьх + су) и, + (ау + Ьух + суу) пу + + (а„+ Ьзх + сеу) оз).

(3,9) Совместная запись (3.8) и (3.9) дает матричное выражение и ЬУю О Ату О ЬУз 0 иу оу Уравнение (3.10) представляет собой функцию формы элемента, полученную на основе допущения о линейности перемещений. Если теперь воспользоваться выражением для деформации н подставить в это выражение уравнение (3.10), то найдем следуюошую зависимость между перемещениями узлов и деформациями элементе: Здесь [В) представляет собой матрицу деформаций — перемещений, устанавливающую связь между перемещениями )узлов и деформациями элемента. ЕЕ МЕТОД ЕОНЕЧНЫХ ЕЛЕМЕПОЕ (и) пе ) р 1 т 0 т) 1 О ее ее [1)Р] (е) (3 13) 'гхе 1 — и О О я где (3.2.1) (3.!6) х) у) хр' Ут 1 хе уе где Ь =— ! 2 (е) = [В] (8), (1) = [)У] (8). (3.17) (3.18) р . рм .*рь.