Бравинэ (Бравин Е.Л., Лунц Е.Б., Гуревич М.В., Дубнер М.С., 1941 - Стрелково-пушечное вооружение самолетов), страница 7

(48) 1 Очевидно, в период расширения пороховых газов 7 р Л,+Л ! „е Ть рь '+~ тогда на основании формул (48) н (49) получаем: з -6 ьуз — =ч" [1 — О,й6В(1 — ~,)'-') .=1 -- — — у . Х, 2д Для определения абсолютной температуры в период горения пороха имеем формулу Т 6 пуз (б1) фт' 2д ' Запас эиергни пороха равен ис е7~ асют 271 Л АЛ' 6 времени по методу проф. Бравина и в других случаях, например для построения касательной в начальной точке форсирования к кривой давлений р(8), где эта касательная является общей для двух ветвей: воспламенения заряда и двикения снаряда (см.

рис. 12). Более общие формулы дчя производной давления р по аргументу в или 1„применимы также для численного решения уравнений пиродинамики путем повышения порядка диферснцнального уравнения до второго (см. приложение 2). Остановимся теперь на возможности пользоваться существу1ощими таблицами для решения задач внутренней балистикп. Например, при пользовании таблицами проф. Н. Ф. Дроздова для получения зависимости давления от времени требу1отся некоторые до1толнительные вычисления, довольно трудоемкие.

Однако по ш1м очень просто получить все главнейшие точки кривой давлений в аргументе пути и наивыгоднейшее балистическое решение. Таблицы АНИИ, изд. 1933 г., по идее могли бы быть более универсальными, для всех случаев артиллерийской практики; однако они обладают весьма крупными недостатками, нз-за которых пригодны лишь для построения ориентировочных кривых давлений и скоростей движения снаряда в аргументах пути и времени, и то при условии, что первый участок времен, заключающий грубую ошибку, будет исправлен каким-либо способом. Таблицы АИИИ, изд. 1033 г., составлены для стандартного пороха, но опыт показал, что ими мон;но пользоваться и для приближенных расчетов стрелкового оружия. В этих таблицах давления приведены в кг)ела, или в технических атмосферах, а вместо величин скоростей и времен движения снаряда даны условныс, нли табличные, числа: и„а, — скорость в м сея; г,.з,.

— время в сек1.я, увеличенное в 10' раз, причем величина 1, — приведенная длина каморы — выражена в метрах. В расчет п,„з и (,„в„включен хоэфш~иентп фиктивностя его средним значением Ч=1,05. Поэтому величина г„з,„меньше г, в отношении 1:р'103; 1,.~ больше 1, в отношении )/1,06:10 '.

Вследствие этого при решении балистических задач по таблицам АНИИ, нзд. 1033 г., надо пользоваться следующими формуламп, нумерация которых соответствует нумерации формул, приведенных выше, но со значком штрих: е = гхьал~ р ) Ф 1= 1табп~~~ ~ зз Игхабл д 03,4 тжаэл — — — «) — р м~ е;ж2 ° пт б 1055 (:-").--, г-„,„= —" — (1 —,' [1 — 0,ба (1 — Г.)'-~ ); 9 105 Т . 6 г'-,„℠— = 1 — 1,05 — ° Т~ 1 2д табл О яг Ят 2д ~<о 2д (39') (40') (43') (48') (50') (52') й й. ПЕРЕОТРОЕНИЕ ДИАГРАММ ОТ АР1'УМЕНТА ПУТИ К АР1'УМЕНТУ ВРЕМЕНИ.

ФОРМУЛЫ КВАДРАТУР ВИЛЕРА и проф. Е. Л. БРАВИНА Диаграммы давлений пороховых газов и вообще действующих усилий или нагрузок в функции времени необходимы при решении всех вопросов динамики и прочности сооружений. Расчеты артиллерийских конструкций в этом отношении требуют особого внимания, так как здесь по большей части берутся предельные нормы допускаемых напряжений, причем достигаемая этим экономия веса служит средством для повышения маневренности установок, скорострельности системы и увеличения коэфициента использования металла. Иногда бывает удобно получить основное решение задачи в аргументе пути. Тогда это решение нужно уметь перестроизь в аргумент времени.

Особо большое значение, как известно из теории колебаний„ представляет промеятуток времени 1 от момента вступления в действие нагрузки до ее максимума, который часто простирается от начальной фазы движения. Но в начале движения скорости изменяются от нуля до малых значений. Нрп остановке движения скорости изменяются в обратном отношении, что делает невозможным применение для расчета времен формулы ) Й Ниже изложены два метода квадратур, которые позволят наиболее просто и точно перестраивать диаграммы в аргумент времени, а также могут быть полезны и в других случаях, например для определения объемов, координат центра тяжести н моментов инерции различных тел. А.

ФОРмулы к11АдРАтуР нмлкРА В курсах математического анализа приводится квадратур Эйлера: ~(х) йх= — [~(6) + ~(а)! — — ЙЬ) — Йа)] + Ь Ьс 2 12 формула Ь' + — [1л(6) — ~'(а)) — .. 720 (б 3) Г Ь Ь2 Ях) дх = — Ц(Ь) + Д(а)) — — ф6) — ~(а)) + В, 2 12 где Ь' Л = — ~лг(ч); а ( Ч ( 6. (б4) 120 Покажем, каь применять формулу Эйлера к определени1о промежутков времен М Для этого напишем приближенное равенство: 1 1Я ~ 1 ° АА12 ~~; ~- ~ + г; Л+ ~ — Л (бб) 2 12 Очевидно, АЬ является одним- из корней квадратного уравнения вида: а АР+ ЬИ+ с=. О, и, следовательно, может быть найдено по формуле — Ь вЂ” )~ 6' — Фас А1 = У 2 (бо) где 1 а= (7г+л А) 12 Этой формулой выгодно пользоваться тогда, когда подинтегральная функция может быть аппроксимврована полино.

мом не выше третьей степени. Прп таких условиях в формуле (бв) остаются только первые два члена. Если подинтегральная функция будет более высокого порядка, то двучленная формула Эйлера дает приближенный результат с погрешностью, характеризуемой остаточным членом а: Пример. Рассчитать первый промежуток времени для некоторой задачи пиродинамики при следующих данных: р„=300 от; (!'У)о= 0 .а!сек; Р! = 1162 и!я; (!!!" )!= 136,7 л!!еек; Ь = 0,60 кг,'д.!!~; ~, = 0,060. Н 1 081 а= — — ' Ь! — Р.) = -- — — '862=11740; 12 а 12 060 Ь = — — (в!+ ! + !1,) = — 68,36,' е = 0,060. 1 2 Искомое время — — ' -' = 130 10-'.

68,36 — 37,78 23480 Интересно отметить, что при сохранении одного члена в формуле (63) получается известная формула трапеций: Г 1(х) !7х = — (7'(!>) + 7' (а)] . 2 Эта формула, как легко видеть, дала бы весьма неточный. результат, а именно: е 0,060 = — — = — = 101 10 й 68,36 т. е. с ошибкой почти в 30%. Б. ФОР11У111~1 БВАД1'АТУР ауоф. Б.

Л. Б1'АВВНХ Метод проф, Е. Л. Бравина в основном строится на отношениях значений аппроксимирующего полинома и его производных различного порядка на границах рассматриваемого промежутка интегрирования. Общая формула квадратур для простого интеграла пишется в виде: ь т 7(х) !1х = 1(с:)+ 6(и, и,з, Р...) 7!, (В!) 2 й где й=й — а — промежуток интегрирования; 6 (и, !!1„,) — модуль ф5!Ненни 7(х) = — Р(х), т, е. модуч! е77' !тх п р о и з в о д н о й от подинтегральной функц!ш, аппрокспмвруемой полиномом т(х).

Значение модуля 6(и, ггг...) того или иного приближения определяется по приводимым ниже формулам в зависимости от параметров и, чп, э, р,„которые равны о т но ш ен и ям значений производных от по!интегральной функции различного порядка на границах промежутка й. Дчя записи значений параметров в этом методе целесообразно ввести сокращенное обозначение слова гас(о (по-латински †отношен) в виде символа гас, который читается, как полное слово гас!о, подобно обозначению э1п — синуса и т. п.

При таком обозначении отношений поясно вырззить параметры гг, гп... формулами: гг=гас Ях)),=!"(Ь): !(а); (68) »и=гас (!(х)(",=)г(Ь):!(а) и т. д.~ Заметим, что некоторые виды квадратур проще вычислять с помощью модуля 0(ь р., е, х...), зависящего от обрагг(еииггх иараиегпрое: =-'=-с Фх)С=6 ):Ж р= — =гас [М))„"=Па):М) !с т д (59) Оказывается, что модули Ь(и,ги...) и 6(», р...) легко выраясаются при помощи параметров и, иг...

или», р... так: 6 (и, гп) = 1 — !с (и, гп) = 1 + х (ч, рЛ; 6 (ч, р.) = 1 — х (», !г) = 1 + В (и, ги). Следовательно, длн опроделения величины модуля достаточно вычислить значение лишь вспомогательной функции й (гг, чп) илн х(ч, и) по формулам: при одном параметре (60) 1 и — 1 1 ч — 1 гг (и) — — — — — — х (ч); 3 и+1 3 ч+1 (61) при двух параметрах !с (и, ги) —— (и — 1) (ги + 1) 2 т (и + 2) + (2»г+ 1) ( — 0(р+1) 2 р (ч + 2) + (2 ч + 1) х(ч, р). (62) Эти вспомогательные функции будем называть вараачаялга .ио дуля. Другие, более слогкные, общие выражения для вариаций модуля о трех параметрах и выше здесь не приводятся, так как на практике ими не пользуются, кроме некоторых частных случаев, когда один из параметров равен нулю нли бесконечности.

Значения вариаций модуля можно брать таки е непосредственно пз таблиц прилогкейия 3. Для определения промежутка времени ггг на любом участке по методу проф. Бравнна напишем квадратуру пути: гг е г ЬЛ= г' г(г, = гг,.+9(и,т) — ~ Ы. ао1 (63) 9 Решая зто линейное уравнение относительно аг, найдем: М= >11 (64) г,. +6(п, вг)— 2 Пример. Решим предыдущую задачу зтнм методом при следующих данных: Лг = 0,069; р, = 1162; Р, — 10,16; гг,=136>7> р =300; Р,= 3,64; й=3,872; яг= 2,870. По таблицам прило:кения 3 находим: 9 (и, гп) = 1 — гг (и, гв) = 1 — 0,216 = О, 784, Отсюда 2Л> 0,1380 (69) 6 (гг> пг) г, 0,784 136,7 Этот пример показывает, что формула проф. Бравина с модулем 6(п,гп) о двух параметрах дает результаты, почтя зквнвалентные формуле Эйлера, но для етого необходимо располагать ггр значениями производных Р = на границах рассматриваеггг мого участка.

Правда, начальное значение Р, в момент форсирования желательно пметь прн всех обстоятельствах для правильного построения диаграммы давлений. Что же касается величины Р, в первой точке, то ее можно рассчитать более грубо по формуле с модулем первой степени, например: ар ар ах,гр( а|1 Р, = — = — — = — ~юг+ 6, (гг) — ~ = ггг аЛ И >гЛ~ 21 998 (136,7 + 0,930 68,3) = 10,46. (66) 0,1146 Однако при рассмотрении формул (64) и (66) легко приттн к такому заключению, что при расчете промежутков времени ггг по методу проф. Бравнна далеко не всегда необходимо пользоваться модулем о двух параметрах, а только лишь при расчете первого промежутка вблизи особенной точки, соответствующей началу движения, когда в формуле (64) скорость ег=о.

Б этом слУчае полУчаетсЯ фоРмУла (66), точность которой зависит исключительно от значения модуля. Па остальных же участках движения наличие вечичины г,. в знаменателе формулы (64) повышает относительную точностг результата, а потому дальнейшие расчеты можно делать с помощью модуля первой степени: 6 (гг) = 1 — 1г (гг) =: 2 гг+2 (67) 3 гг+1 И= — —— ЬЛ Мг о,. + 3(н)— 2 По этой формуле для первого участка получили бы значение тг=126 10 —:, т. е.