Гидродинамика двухфазных потоков в системах питания энергетических установо (Венгерский Э.В., Морозов В.А., Усов Г.Л., 1982 - Гидродинамика двухфазных потоков в системах питания энергетических установок), страница 18

Механика смесей строится на основе физических законов сохранения массы, импульса и энергии [43), при этом составляются балансовые соотношения массы, импульса и энергии для каждой составляющей в некотором фиксированном в пространстве объема смеси (Р, ограниченном поверхностью 5, учитывая обмен не только с внешней средой, но и соответствующий обмен массой, импульсом и энергией между составляющими внутри объема Ф"., Предположим, что в рассматриваемой области течения осуществляется переход массы из /-й в 1-ю составляющую (или наоборот) в единице объема и в единицу времени с интенсивностью 4!. Вырежем из движущейся массы участок, куда входит масса 1-й 82 рнс ( ). Иамсниемыя объем фиксированных настин среды составляющей т( (рис.

4.1). В процессе течения занимаемая массой т( область пространства Н)'(т), ограниченная поверхностью 5(т), изменяется в зависимости от времени, а прирост массы т( составит ве- личину дт( д и — — о((т) (2'Ф', дт В' (х) где (2(й — элемент объема. При переходе массы из )ьй в (-ю составляющую скорость изменения массы в объеме В'(т) будет равна ' ' = ~ 7,У(Р". (4. 4) и" (х) Так как прирост массы равен ее переходу, то из (43) и (4.4) получим д (4. 5) В'(х) В' (х) Рассмотрим интеграл в левой части (4.5), для чего обратимся к определению производной, приняв во внимание рис.

4.1: — ( .,(*)аи=н- — '1 ( ч(и+хна'- ( а,«)аи~ лт а о Ьт В'(х) 1' (х+ах) В'(х) (4. 6) Разложим выражение в квадратных скобках на два следующих слагаемых: ! "! ~)+да ) о((т) )((р' — ) о((т) И'; В' (х+Ьх) В'(ч) [о((т+ йт) — о((т)! (1Г. яХ (х+Ьх) Величину элемента пространства между областями (и" (т) и )й'(т+Лт) можно записать через векторное произведение скорости )'( и внешней нормали и к поверхности о(т): а )1)' = (х(гЫз((т, где (18 — элемент поверхности о (т).

Тогда !(ш †' = ~ О((т) Р'(л((з; а о от 3 (х) 1пп — = 1 — о((т)т(1й'. Ь2 1 д а,одт . дт В'(х) где (4. 7) (4. 8) 83 Подставив (4.?) и (4.8) в уравнение (4.6) и использовав (4.5), получим уравнение баланса масс в виде В((т)17(й(Тз+ ~ — В((т)а)р'= ~ ?((()р'. (4.9) 3 (О \Р (М Я О) Применив к первому члену (4.9) формулу Остроградского — Гаусса перехода от поверхностного интеграла к объемному, распространенному на область У(т), ограниченную поверхностью о(т), по- лучим (4. 10) Если сжать область %7(т) в точку, то при таком предельном переходе с помощью теоремы о среднем интегрального исчисления получим дифференциальное уравнение сохранения массы каждой составляющей ')" ( +б()) С)У)= ?!.

д)) Если рассматривается одномерное движение, то — + — =/ь да! да(У; д)) дх (4. 11) (4. 12) 4.2. УРАВНЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (4. 14) Я4 Уравнение изменения количества движения отражает закон, ко торый обычно формулируется так: приращение количества движения системы материальных точен на каком-либо элементарном перемещении равно импульсу всех внешних сил, действовавших на точки системы за время этого перемешения. Исходя из этого определения выразим изменение количества движения рй составляюшей, находящейся в области Ю'(т), в виде — о((т)Р(ЫИ7=Р„+Р,+ ~ /~(()Р', (4.13) %'(т) а!(~) где !'„,— массовые силы, действующие в области интегрирования Ю'(т); г',— поверхностные силы, действующие извне на поверхность 5(т); )?! — интенсивность обмена импульсом (-й и остальных составляющих.

Обозначив тензор поверхностных сил как о( и приняв, что Р„= ~ й(уа)(7, где й — вектор ускорения свободного падения, из я'( ) (4.13), после проведения преобразований, получим †' '()(й' + ~ ()(Р(к'(((з= ~ ~;((з + ~ О;й(ЛГ + ~ )с(())()'. я'( ) 3 (~) 3 (с) я7(т) (Р (т) В общем случае течения параметры многофазной среды переменны в любой точке сечения, перпендикулярного оси трубопровода.

Но в большинстве случаев, особенно при исследовании движения по круглому трубопроводу в условиях развитой турбулентности, для упрощения без существенной потери точности пренебрегают неравномерностью по сечению величин, характеризующих поток, и уравнения движения рассматривают для средних по сечению параметров, так как интерес в конечном итоге (при определении энергетических характеристик) представляет расход среды, протекающей через все сечение в данный момент времени.

При этом допущении задача становится одномерной и искомые величины можно считать изменяющимися по двум координатам х и т. В проекции на ось х с использованием формулы Остроградского — Гаусса уравнение (4.14) может быть записано в виде ~ с(1» (й,"ь';„Р;)+ — (й;Ь'ы) —.—" — й;а — Я, ~ ИФ=О.

дт ' 'дх ят м! С помощью такого же предельного перехода, как и в предыдущем подразделе, получим дифференциальное уравнение 61~ (аХ Р;) + — (ЕХх) = — "+Ва+)7о (4. 15) которое для случая одномерного движения принимает вид — ' ЯХ) + — ' (аФ) = — "+ й;й+)ге (4. 16) дт дх дх Тензор поверхностных сил, содержащий приведенные силы давления и трения, в одномерном движении для удобства исследований часто заменяют суммой градиента давления с выражением для перепада давлений на преодоление сил трения [?4], куда входит экспериментальный коэффициент трения Л„ так -+,г (4.

17) что где йч — объемное содержание фазы; и', — диаметр трубопровода. С учетом (4.12) и (4.!7) уравнение (4.16) можно переписать в виде г рл — = — 9 — — Мт — +ЬМ+Й; — lУ, (4. 18) дх Ограничимся рассмотрением деухфазнои смеси, при этом первая фаза является несущей средой, описываемой моделью вязкой жидкости, а вторая фаза (газовая) присутствует в виде отдельных, одинакового размера включений, непосредственными взаимодействиями между которыми можно пренебречь.

В этом случае при достаточно малых объемных содержаниях -дисперсной фазы ~р, на основании результатов, изложенных в работе 143] и в гл. 2, будем полагать, что воздействие вдоль граничной поверхности выделенного (4. 20) дгуг др а~к! ж 2 г г 1 л у(1~ дт дх ' 2д, +а,а-(- —,„, р(1 — Р) У* 4ЛГ, (4. 21) где у — относительная объемная концентрация газовой фазы; )„— сила взаимодействия единичного газового пузырька радиусом га с несущей жидкой фазой.

43. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ Уравнения движения многофазной среды (4.12), (4.20), (4.21) без дополнительных зависимостей не могут быть использованы длл получения решения, так как число зависимых переменных превышает число уравнений. Для замыкания системы сложим уравнения сохранения массы (4.12) для газовой и жидкой фаз, полагая о= =о,+о [43). Рассматривая давление р как функцию двух термодинамических параметров — плотности о и энтропии смеси о, запишем следующее очевидное соотношение: При движении жидкости для упрощения процедуры исследова- объема смеси прнходи2ся на несущую фазу, а воздействие на дисперсную фазу определяется силой со стороны несущей фазы иа целое число частиц, находящихся в этом объеме. Как и в работе [43], будем полагать, что обмен импульсом между фазами Я2 в единицу времени и в единице объема может быть представлен в виде суммы двух слагаемых: 2г;=[Р,+У(УЛ вЂ” У„)] у;.

(4. 19) Здесь! (У вЂ” !',) представляет собой изменение импульса соответствующей фазы за счет фазовых превращений; г, — межфазная сила, содержащая следующие составляющие: силу трения от действия вязких сил при взаимодействии между фазами из-за разности скоростей (У вЂ” У,), силу от эффекта присоединенных масс и силу Бас. сэ, возникающую вследствие гидродинамического сопротивления при неустановившемся движении. Вывод соотношений для составляющих, входящих в уравнение (4.!9), достаточно подробно изложен в гл. 2.

Поэтому, не останавливаясь на частностях этих выводов, запишем в окончательном виде уравнение (4.!8) для движущейся двухфазной среды а — =(1 — 22) — — (1 — ч) 1, — (1 — р) У (ӄ— У )+ длУ~ др ажУЛ дэ дх 2дт 3 4Л 4лгз — "+ — "=7; д0г юг дэ дх — Р + — (д. Ь' +д„1Г„)=0; аз дж дх (4. 25) (4. 26) дюж ! ~- 1др Чж~ ж 2 — ==1Е а — (1 — ж)~ — +~, — + дх в ! ' !дх ' 2д„ +!() „— ).)+ — ', У,!1; (4. 27) 4~Зал~ ~/ ~д —, 'Р+Л,'~ +7(~ „— !.) ' ', !, .

(4. 28) дх дн„ ! 1, дУ„ ! дт ' дх аг Система уравнений (4.24) — (4.28) используется совместно с зависимостями (3.74), (3.43), (2.6!), (З.З), (2.79) для скорости фазового перехода 7, скорости звука а, силы межфазного взаимодействия )., радиуса пузырька г.. Коэффициент трения Х, определяется по известным формулам гидравлики в зависимости от числа йе и относительной шероховатости стенок трубопровода, с учетом (3.28). ний обычно пренебрегают вторым членом, входящим в правую часть (4.22), ввиду его малости (18), т.

е. (4. 23) ,дт дх Учет изменения температуры (и энтропии) и описание процес/др ! дх сов с учетом зависимости (4.22), содержащей ~ — 7! —, принци- (дЯ 7д дт пиальных трудностей не вызывает, как это показано в работе [43). Однако при рассмотрении течения рабочей среды, содержащей высококипящую жидкость с начальной температурой, равной температуре окружающей среды, без существенной потери точности может быть принято условие (4.23) для движения рабочего тела в магистралях питания реальных энергетических установок. Очевидно, это допущение оправдано для исследования нестационарных процессов запуска, когда время неустановившегося режима не превышает 1 — 2 с и теплообмениые процессы практически не успеваюг пройти. Тогда, подставив (4.23) в (4.12) и использовав уравнения (4.20), (4.21) совместно с зависимостями (2.6!), (3.43), (3.74), получим следующую систему уравнений для нахождения решений при одно мерном неустановившемся движении многофазной среды по магистрали постоянного проходного сечения: А'ж + дЮж ж 7.

(4. 24) дэ дх Глана о КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ДВУХФАЗНОГО ТЕЧЕНИЯ В МАГИСТРАЛЯХ СИСТЕМ ПИТАНИЯ В общем случае изменение параметров движущейся двухфазной среды в одномерной постановке определяется двумя независимыми переменными х и т. Взаимосвязь параметров, определяющая физический процесс, математически описывается системой дифференциальных уравнений с частными производными, которые могут иметь бесчисленное множество решений.

Поэтому для однозначной характеристики процесса и выделения необходимого частного решения к уравнениям (4.24) — (4.28) следует присоединить дополнительны. или краевые условия, конкретизирующие характер движения и со. держащие начальные и граничные условия. Начальные условия определяют конкретные значения параметров и их взаимосвязи д<.

начала движения (или до начала изменения параметров); граничные условия — задание значений функций в характерных сечениях магистрали. Формулировка начальных условий особого труда не вызывает и в соответствии с вышеуказанным их записывают в виде: при т = 0 7 = 7' (х), (5. 1) где под заданной вектор-функцией 1=)(х) подразумевается совокупность параметров р, )2, )2„, о, о„и т.

д. Граничные условия определяют, как правило, энергетическое и силовое взаимодействие движущегося потока и внешней среды, поэтому записываются либо известной взаимосвязью давлений или расходов (скоростей) иа границе, либо заданием их значений. Остальные параметры, характеризующие двухфазиость, находятся из зависимостей, приведенных в гл.