Гидродинамика двухфазных потоков в системах питания энергетических установо (Венгерский Э.В., Морозов В.А., Усов Г.Л., 1982 - Гидродинамика двухфазных потоков в системах питания энергетических установок), страница 22

32) й» йх 1 1 /г— '+ г (Ъ ) 2 ((г ) 2 (гг )(+1 ((г )/ 1+ '; ' 1, / +(Ь' )! ' ' + й» ' йх (0 )1 1 1 /+ — /+— Р— Р 2 2 2 2 1 1 .г /Г 0„~ г гг 4/3 3 (6. 33) ! ! )+в г ((' г) ! ((Гг) '+г ' г +~т)Х ! /-!-— г ! !+ Х Рг (6. 34) Кроме вопросов о методике построения разностных схем существует важный аспект, который должен учитываться при обосновании выбранной разностной схемы; решение разностных уравнений должно сходиться к решениям дифференциальных чравненнй, которые они приближают.

Обладание свойством сходимости является фундаментальным требованием, которое предъявляешься к оазностной схеме при численном решении. Если оно имеет место, то с помощью разностной схемы (6.25) — (6.34) можно вычислить решение с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого значения шагов в расчетной сетке гзт и Ьх достаточно малыми. К сожалению, сходимость схемы, как правило, трудно проверить теоретически, в особенности для нелинейных задач движения многофазных сред.

Обычно для доказательства сходнмости проверяют другое свойство схемы, называемой устойчивостью, так как согласно теореме Лакса об эквивалентности [53) сходнмость следует из аппроксимации и устойчивости принятой разностной схемы. бгк ПОГРЕШНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА СЕТОК !'ешения разностиой и дифференциальной задач приближаются друг к другу тогда, когда величина )) ° )) неограниченно уменьшается при бесконечном дроблении сетки, !08 Так как использование сходнмости решений разностных уравнений (6.25) — (6.34) к решениям дифференциальных (4.24) — (4.28) состоит в получении оценок для разности между ними, то необходимо определить понятие разности между решениями дифференциальных уравнений, т.

е. функциями 1(х, т), определенными во всех точках полуполосы (х=О, х=1, т=О), и решениямн разностных уравнений )(г, определенными только в конечном числе точек разностной сетки. Для этого каждой функции 1(х, т) в рассматриваемой голуполосе плоскости х, т ставим в соответствии сеточную функцию [1(х, т)]Р, определенную только в точкак той же сетки, что и решение разностных уравпений й', Соответствие устанавливаем сопоставлением каждой непрерывной ф)нкции 1(х, т) сеточной функции ()(х, т)!!, принимающей в точках сетки те же самые значения.

Е этом случае будем считать, что функции (/(х, т)Р и лежат в одном функциональном пространстве, а разность между ними оценивается по норме этого пространства. Если соответствующую норму обозначить символом Ц ° Е то под близостью сеточной функции ),' и функции 1(х, т) ео всех точках сетки будем понимать малость величины ц ц = ц /! — (у (х, т))1 ц .

(6. 36) Заменяя дифференциальный оператор разностиым оператором, мы допуска- ем ошибку — погрешность аппроксимации, от величины которой будет за- висеть точность решения разностной задачи. Порядок точности и аппроксимацию, как это принято (53), будем оцени- вать по скорости убывания норллы 11 !1, когда число точен разбиения в разпост- ной сетке увеличивается. Зля этого искомые функции р, Ом, О„ 1'„ У„, вхо- дящие в уравнения (6.25) — (6.29), разложим в ряд Тейлора относительно ! точки с кеординатами [х= ~1 + — ~ Лх, т = удт~ согласно формулам (68)— 2 (6.14). (Естественно предполонгить, что функции в окрестности данной тбчки име- ют непрерывные частные производные всех порядков, которые встречаются в при- водимых разложениях.).

Ограничившись членами со вторыми производнымн, подставим полученные разложении в уравнения (6.25) — (6.29) и вычтем из полученных разностных уравнений соответствующие уравнения системы (4.24) — (4.28). В результате в точнах сетки с «полуцелыми» точками получим следующие разности, которые приняты за норму )! )1: 1 !4 2 г 2 гдЕ ПОд ! ПОСЛЕдОВатЕЛЬНО ПОдраэуМЕВаЮтСя 9, О„р, У, ӄà à — фуИКцин от параметров, входящих в уравнения (6.25) — (6.29); о — соотношение шагов.

а = Лт!Лх. Коэффициенты при Лт, Лх и Ьхз в этих разностях являются ограничен- ными, тан как, по предположению, входящие в них частные производныс не- прерывны. Это обстоятельство символически выражается в следующем виде: 0(бт) +0(дх), когда Лт, Лх-»О, и истолковывается в том смысле, что разиостная схема «предиктор» (6.25)— (6.29) аппроксимирует систему соответствующих дифференциальных уравнений с первым порядком точности по временной и пространственной переменнычн. Проделав аналогичные разложения в точке с координатами х= гйх, =1Лт [см.

(6.15), (6.16)) и подставив их в разностные уравнения (6.30)— (6.34), получим, что соответствующая норма разности дифференциальных операторов системы (4.24) — (4.28) и разностных (6.30) — (6.34) будет равна 0 (Лт) + 0 (Лх2). То есть разностные уравнения (6.30) — (6.34) уточняют систему (6.25) — 16.29) и аппроксимируют дифференциальные уравнения (4.24) — (4.28) с первым по- рядком точности по временной переменной н со вторым порядком точности по пространственной переменной.

Очевидно, что определенные преимушества от разиостной схемы (6.25) — (6.34) лгожно получить в задачах установления движения либо при исследовании стационарных течений, когда пропадают чле- ны, содержащие производную по временной переменной. 6.5. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ Устойчивость какой-либо принятой приближенной схемы в широком смысле слова состоит в том, что существуют пределы, которых ие могут превзойти фуннции, преобразуюшиеся в процессе вычислений. Поэтому, когда говорят об устойчивости нонкретного решения относительно малых возмущений, то имеют п виду, что эти возмушения, вносимые начальными и граничными условиями, бчдут затухать при Лт, Лх — »О. Полагают, что исследуемые уравнения являются устойчивыми тогда и только тогда, когда это условие удовлетворяется для всех рассматриваемых х и т.

Это предположение основано на наблюдении, что в известных случаях неустойчивости быстрые колебания (как в пространстве, так и во времени) локально развиваются в окрестности той области, где вышеупомянутое условие нарушается, а затем со временем возрастают, на что указано в работе [53). При исследовании в качестве критерия устойчивости к задачах движения сплошных сред, каь правило, польз)ются критерием Неймана, выражающимся в том, что все собственные значения матрицы перехода 47(Лт, ы) при Лт О, Лх-ьб при всех действительных значениях ы будут лежать внутри единичного круга или на его границе, если система разностных уравнений (6.25) †(6.34) устойчива. Принятая на практике процедура исследования устойчивости уравнений типа !6.25) — (6.34) заключается в цепи упрощающих предположений, которые в конечном итоге завершаются гармоническим анализом устойчивости (56), при этом рассмотрение вопроса устойчивости связано с характерам отношения величин Лт и Лх при их стремлении к и|лю.

Для системы дифференциальных уравнений (4.24) — (4.28) предварительно получают линейные уравнения в вариациях, полагая вместо 9, йг, р. Уч, У, сумму р+р, р. Ч-рм и т. д., где величины со знаком суть малые величины!-го порядка, а р, р„, р и т. д. — постоянные значения и в уравнениях играют роль коэффициентов. Для системы уравнений (6.1) обобщенное уравнение в вариациях запишем в виде ду ду — +А — =В, да дх (6.36) где А — вектор-функция, включающая коэффициенты Рм, Уь аз, (! — ф)/йм, ° г"'йг;  — вектор-функции правых частей уравнений (6.1).

Применим к линеаризованным уравнениям (6.36) разностную схему (6:24) и умножнм полученные зависимости на Лт. Отбросив члены порядка 0(Лт) как бесконечно малые и оставив члены первого порядка, получим следующие выражения для связи величин на !-и и (/+1)-и временных слоях; 1 /+— 27/ = 7/ -|- г+— 3 Ач(у/ 3 ( 2 2/ (6.37) 7/" =- 77' — Аа мдх ( = 1 — 2(Ач)з а(пз — — )' — |ч а|п мдх, 2 (6.39) откуда шах [(1 = йг| — 2 (Аа)з [1 — (Аа)з). Условие устойчивости по Нейману требует, чтобы шах [С| < 1,0. Очевидно, что неравенство удовлетворяется тогда, когда Лх Лт К вЂ”.

2А (6.40) (6.4!) !10 Следуя результатам работы [53[, будем считать, что точное решение разиостных уравнений (6.37) может быть представлено в виде рядов Фурье, так 1то в точках сетки (х=(Лх, т=/Лт) это решение будет 7/ = с/ ехр [йг:1м/дх), (6.38) где ь н ы — некоторые константы, причем ез — целое число. Подставим в (6.37) выражение (6.38). Выбрав ь так, чтобы уравнения (6.37) при этом удовлетворялись, получим При нахождении решения уравнений (6.25) — (6.34) в задачах движения мпогофазной смеси следует руководствоваться условием (6.41) для выбора шагов в расчетной сетке. 6.6.

АППРОКСИМАЦИЯ КРАЕВЫХ УСЛОВИИ ПРИ ИССЛЕ/(ОВАНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ (4.25) — (4.28) конечно- заменяются совокупно- в точках (к=/йх, т=О) При замене дифференциальных уравнений (4.24), рззностными (6.25) — (6.34) начальные условия (5.1) стью дискретных значений вектор-функции /(/йх, /Лт) сетки (х=13х, т=/Ьт): /(/дх, О) = (Р, йм, Ог, Уап У„и т. д.],. (6.42) В принципе абсолютно аналогичная аппроксимация применима была бы н для граничных условий, если бы они выражались полиномиальными зависимостями типа при х = 1ж у (1 ч т) = а! + атт + азтз + ...