Гидродинамика двухфазных потоков в системах питания энергетических установо (Венгерский Э.В., Морозов В.А., Усов Г.Л., 1982 - Гидродинамика двухфазных потоков в системах питания энергетических установок), страница 21

е. Фх У вЂ” — О О Юх О дх У вЂ”вЂ” дт О дх дт 1 дх О О (6. 4) аз дх У вЂ”вЂ” дт О дх У,—— дт О Так как мы исходим из существования решения системы (6.3), определитель ее (6.4) должен быть равен нулю для получения бесконечного множества решений А=О.

(6. 5) В этом случае кривую С на плоскости х, т называют характеристикой системы (4.24) — (4.28). Так как система (6.3) совместна, то и все определители, получаюшнеся заменой в Л Й-го столбца столбцом правых частей системы (6.3) должны также обращаться в нуль: Л=Ь,=Д =...=Л =О. (6. 6) 101 Значения частных производных на кривой С связаны соотнощени ями (6.1) и следуюшим дифференциальным соотношением (где диф ференциалы берутся вдоль кривой С): — от+ — ах=а / дг дг дт дх где вектор / содержит компоненты /= (р, й, о„У, $',). Использовав соотношения (6.2), исключим из системы уравнений (6,1) неизвестные д//дт и получим следующую систему уравнений для отыскания производных д//дх (- ) дХ ! даж — д!'ж дои . у ° 1 жк+ ж / х.

дт ) дх дх дя ( ) ' д. ~ дЬ вЂ” д!г„да„ У„вЂ” — ! — +~„— "=/ Нт ! дх дх дт дх дюж + дх да„! дх др дам + юг ! ~~р дх дт дх аз дт дх дт Нт ат дх (- ) аХ ! дна 1 — т др Я! ай~а дх / дх о дх а дз ) '+-, ах 1 д!г„т др Рт а1г„ дт / дх ет дх О„дз ) Заменив первый столбец в (6.4) столбцом правых частей, получим — уг(т — до 0 0 огИ О !г1т — г(о„ Ь'„дт — а1х 0 0 П„Ыт г(йк+ Таг —— ир — ат 1 т(х — х 0 0 ат =' Нт — И 1l яж 0 =сй (гжгИ вЂ” г1х О Юж яг 0 ~ тИ 0 1~„гИ вЂ” а'х аг 6.3. МЕТОД СЕТОК И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАИИЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД Существо метода конечных разностей состоит в том, что в рассматриваемой области плоскости х, т вместо непрерывной среды, состояние которой описывается функциями непрерывного аргумента, вводится ее разностный аналог.

При применении метода конечных разностей область непрерывного изменения аргументов х и т заменяется дискретным множеством точек, являющимся областью определения функций дискретного аргумента. Такое множество называется разностной сеткой, с координатами х=гбх, т=)бт, где ша~и сетки бх и бт являются малыми положительными приращениями переменных х и т. Здесь 1=0, 1, 2, ...,1; 1=0, 1, 2... (рис. 6.1,а), 1=1/Лх, 1 — длина магистрали. Соответственно вместо функций не- 102 (6. 7> Таким образом, на характеристике С решение р, о, о„У, У, связано двумя условиями (6.5) и (6.7), называемыми уравнениями характеристик. Условие (6.5), гдебопределяется из (6.4), называют уравнением направления характеристики, а (6.7) — дифференциальным соотношением на характеристике. Их совместное рассмотрение обеспечивает при определенных условиях получение решения, при этом дифференциальные уравнения заменяют соответствующими конечноразностными соотношениями.

Однако сложность машинной логики при реализации метода характеристик на ЭВМ, особенно когда число направлений характеристик больше двух, и невозможность его применения при отсутствии характеристических многообразий, когда режим движения среды в магистралях установившийся, является серьезным препятствием его приложения к системе (4.24) — (4.28). В последнее время для получения приближенного решения дифференциальных уравнений широко применяются методы конечных разностей или методы сеток, которые весьма универсальны и позволяют вычислять решение с заданной степенью точности.

Рис. б.!. Разиостиаи сетка Г прерывных аргументов /(х, т) рассматриваются функции дискретных аргументов /21 =/21 (1АХ, /бт), определенные в узлах сетки 1'-/а ((бх, //2т и называемые сеточныааи функциями. Кроме основной сетки рассмотрим также вспомогательную сетку с узлами [х= (1+0,5)йх, т= (/+ д 1 +0,5)ехт[. Многочисленные 2 2 исследования [53, 56, 58[ показывают, что несмотря на кажущуюся, простоту вопрос о выборе сетки заслуживает внима- ния.

С одной стороны, следует стремиться к уменьшению шагов в расчетной сетке и брать большое число узлов. С другой стороны, возможности ЭВМ по быстродействию и объему памяти вынужда- ют исследователей пользоваться сетками со сравнительно неболь- шим числом узлов. Поэтому выбор разумного компромисса, как правило, определяется опытом и интуицией тех, кто проводит счет. Основные конечно-разностные формулы для частных производ- ных, как правило, получают при помоши разложения в ряды Тейло- ра. В предположении непрерывности производных формы односто- ронних разиостных представлений для первых производных д//дх н д//дт можно вывести разложением в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа относительно точек с координатами «[(2+ 1) йх, 1йт] = «';+! — — «', + — ( — ), + !+2 — 2 [, дх 1ьи ~ 2 + ! (ах)2( Д2«)1 +0 („ (6.

10) !03 [х=(2+ — ) Ьх, т=-/дт1, [х=(/+ — )Ьх, т=(1+ — ) ат1, [х= =2'Ьх, т=1Ьт[: 1 «[(с — ! 2 )Ьх, (1+ — )Ь21= — «! — — «! + — ( — ) ! + 2 — 0 (аха); (6. 9) (6. 11) (6. 12) где 0(Лхз) и 0(Лтз) — остаточные члены порядка Лхз и Лтз относящиеся к членам, содержащим множители Лхз, Лх', Лхз, ..., Лт', Лт', Л' Разрешив (6.8), (6.14) — (6.16) относительно д//дт и д//дх получим у/+г у/ дт г — г ат / д~т )' 0(ьтг). дт Ьт 2 ~ дтг /; дх зх 2 1дхг/; 1 1 г / г дх Ьх 2 1 дхг /ьь' г Ограничившись членами первого порядка малости по шагам сетки, получим разностные аналоги первых производных 104 /~~/+ — ')Лх, /Лт~— = /",з =~' г +Ах('~)', + г + Дхг( — ), +0(ьхз); где 1/ 2 ~ дхг /г+ ' г /~~ )(Лх,/ит ~ /' Л ~ ) + г 2 1дхг/г г г /'~(/+ — ) Ьх, (/'+1) Лт] = /'~ьг =/'/, +Лт ~ — ), + '+ г Лтг ( д г )/ ( 0(дтз).

(6. 18) г /" [(/ — ) (/+ ) ~ — //+ — У+ ( д ) + г г '+ г ! 1 г дгУ з/~г— .+ — Ьхг ~ — ~, — 0 (Ьхз); (6. 14) 2 1 дхг ~;+~ г /. 1/Лх, (/+1) Лт) = //+'=уз+ ат(' ду ~'+ — 'дтг (~— '')'+0(атз); 1 дт /; г 1 дтг /, (6. 15) /!(з+1)Лх, /Я в = //+, — — /гг+ Лх ~ — ) + — Зхг ~ — ~ -1-0(Зхз), ~ дх )г 2 (дхг~: (6. 16) (6. 18) 1 д~ - 2+2 дъ ат)2 Конечно-разностные схемы могут быть двух существенно разных типов. К первому из них относятся так называемые явные или локальные схемы, которые для дифференциального уравнения ду(х, т)+дУ(х, т) 0 (6. 21) дт дх в каждом узле сетки (и1х, )бт) могут быть записаны в виде Ь,~~+ +Ь2У1+Ьзу> ~+Ь~~~~~-2=0, (6.

22) где Ьь Ь2, Ьз, Ь, — коэффициенты, зависящие от Лх и бт. Как видно, если известны значения функций на временном слое номера), то по формуле (6.22) легко определяются от слоя к слою дискретные значения У; во всех узлах сетки ((бх, )бт). Ко второму типу относятся неявные схемы, которые приводят к необходимости решать системы большого числа алгебраических уравнений. Для уравнения (6.21) неявную схему можно представить в виде (6.

20) Ь, г 1'", +Ьзг,'"+ Ьзг)+, '+ Ьд', =0. Неявные схемы обладают лучшей устойчивостью по сравнению с явными схемами, особенно когда критерий Куранта — '" ~<1,0 (6. 23) ах нарушается для значительной области сетки 153, 55). Однако применение таких схем существенно осложняется как алгебраическими трудностями, возникающими при линеаризации систем разностных уравнений, полученных из (4.24) — (4.28), так и чисто техническими обстоятельствами, обусловленными большой загрузкой памяти 105 ч у(" — П.

(6. 11) дУ П,— г(. дх ах 1, 1 2 2 2 у 2 ! ! (6. 19) дх ах Использовав разложения (6.9) и (6.10) для определения функции из (6.8) получим еще одно приближение первой производ- 2 иой, которое используется при решении дифференциальных уравнений' движения, ЭВМ.

Поэтому если критерий Куранта нарушается только на сравнительно небольшой области сетки, то для одномерных задач выгоднее применять явные схемы, преимущественные по своей простоте. Практика показывает, что для получения решения уравнений движения (4.24) — (4.28) приемлемо использовать явную схему с пересчетом типа «предиктор — корректор», аналогичную схеме, использованной в работе (58), которая для модельного уравнения (6.21) с учетом (6.!7) — (6.20) записывается в виде 1 2 у,' — —, (усс„н у() Дх дт 2 (6, 24) 1 1 !+ 2 )+С у!я+ /! 2 Дт Дх 2 (6. 26) 0,5Дт 1 2 с( г)с+ с+ 2 + (Ог(' г);+1 (ег(' г)с с,.+ +), ! ! 2 (6. 26) 0,5Дт 1 С+2 '- — Ж. с1 с+- (а2)с + (а2)! 2 (еж!' ж+Ог!' г)сж! (Ож~ ж+Ог~ г)с ' — О;) 0,5дт Дх (6.

27) 1 с+ 2 1 2 1(~ ж)С+! +(~ ж 2 (~ ж)С«1 + (~ ж)С 05д 2 (~ ж);.11 (1' ж)С Д» 106 Прн использовании схемы (6.24) вначале по известным величинам на 1-м временном слое производится определение функций на полуцелом слое !+1/2 из первого уравнения системы (6.24). Далее используется второе уравнение и определяются окончательные величины на !+1-м временном слое. В конечно-разностиой форме уравнения движения по схеме «предиктор> принимают вид ! (~ж) ! 2 ((жж)С+1 (Ож)ГС~ (Ож('ж)'+ — (Ож"'ж)' !'+ + " . + + 2 ( )/ + (- )/ К 2 ( ж) — + / (гг +7(Ь „— Ь.)+ (6.

28) 1 (('.)/,' — — [О',)/„, + ((',),'1 ~~ 2 + (ггг)!41 + (1' г)! (1 г)!.г1 — О' г)! 0,5йт 2 йх ~-'(( —;;),'„- (+П -.." = —,'(( —;;),'„[™; 4/Злгг 1 1 ! ег г! 2г/ (1 — т) г* 4/Злгг (6. 29) !07 Уточнение параметров на «целом» временном слое /+ 1 производится по схеме «корректор» )второе уравнение (6.24)): 1 ! (ажг'ж) 1 (ажг ж) + ' — 1' (6 30) й» йх 1 1 (0,,)",' -(0,~,)'"', (аг)! ('")' ) ' ' г/. (6 31) й» йх 1 1 1+ 2 2 (Южиж + Яг(' г) — (ажггж + гГгаг) /+1 / '! г +(пг)' — 0; (6.