ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 15

Определим период и частоту гармонической функции времени. Как известно, соз О является периодической функцией 0 с периодом, равным 2п. Следовательно, изменение времени на период Т соответствует изменению фазы О на 2еп (2.4) вТ = 2п. Используя (2.3) и (2.4), находим Т =- 2п/в; / = в/2п. Выражения (2.3), (2.4) позволяют определить также угловую час тату гармонической функции по заданной частоте / или периоду Т в = 2п/Т = 2п/.

(2.5) Интервал времени, в котором значения гармонической функции положительны, например — (и/ (2в)! — (ф/в) «- /( (и/ (2в)!— — (зр/в), называется положительным и о л у и е р и од о м; интервал времени, в котором значения функции отрицательны, например (и/ (2в)1 — (ф/в) < /( (Зп/ (2в)! — (зр/в), — о т р и ц ат е л ь н ы м.

Совокупность значений функции на положительном полупериоде называется и о л о ж и т е л ь н о й, а совокупность значений функции на отрицательном а/О полупериоде — о т р и и а т е л ьной полуволной. р;в в' е При построении временных диаграмм (графиков) гармонических функций обычнобывает удобпа л улж м и та7 ным откладывать по оси абсцисс чт Чт не время /, а пропорциональную та ему величину в/ (рис.

2.2). В этом случае смещение точки в/ =- 0 относительно ближайшего максимума функции равно начальной фазе зр. Если начало координат (точка в/ = 0) смещено вправо относительно ближайшего максимума гармонической функции, то начальная фаза ф является положительной, если влево — отрицательной. Если фазы О, и О, двух гармонических функций а, (/) = А, соз (в/+фа) и а, (/) =-.- А з сок (в/+ фа) отличаются на Рис 22. Гармонические фуикции с иоложительиой и отрицательной иачальыыми фазами (2.6) 'го говорят„что эти функции сдвинуты по фазе, причем функция а, (/) оп~р~жает по фазе функцию а (/), Как видно из (2.б), разность фаз этих функций равна разности их начальных фаз и не зависит отвремени Две гармонических функции одинаковой частоты совпадают по фазе если разность их начальных фаз равна нулю; находятся в противофазе, если ~р = ! 3 зак авв ь5 Среднее, средневыпрямленное н действующее значения гармонических токов и напряжений Токи и напряжения цепи, изменяющиеся по гармоническому или другому периодическому закону, наряду с другими параметрами характеризуются средними за период, средневыпрямленными и действующими значениями.

Среднее значение периодической фун кц и и а (~) з а п е р и од Т определяется выражением ц+т А, = — ~ а(~) йб (2.7) и Интеграл, входящий в выражение (2.7), численно равен площади, заключенной между кривой а (~), осью времени и ордннатами а (Г,) и а (Г, + Т), причем площади, лежащие выше оси времени, берут со знаком плюс, а площади, лежащие под осью времени, — со знаком минус. Значение А,р не зависит от выбора момента времени г,, поэтому при его определении можно полагать ~, = О.

Среднее значение гармонической функции за период равно нулю, так как площадь, ограниченная положительной полуволной и осью времени, равна площади, ограниченной отрицательной полуволной и осью абсцисс (см. рис. 2Л, а). Таким образом, среднеезначениегармонического тока или напряжения за период равно нулю. Среди евы п р ям ленным з н а ч ен нем пер и одического тока или напряжения называется среднее значение модуля соответствующей перодической функции а (т) за период: с;,т А,р, — — — ~ (а(~))ш'.

Значение Л,р „пропорционально площади, ограниченной частью кривой ~а (т) ~ и осью времени за период Т, и не зависит от выбора начального момента времени 1,. Средневыпрямленное значение гармонического тока или напряженая равно среднему значению соответствующей гармонической функции а (~) на положительном полупериоде (см. рис.

2.!, б) и ~ +т 2в э А,р,„— — — ) ~ А сов (ьк+ф)( й = — ~ А сов (ют+ф) й. 1 Г 2 т,) Т Выполняя интегрирование н полагая Т = 2пйв, находим, что средневыпрямленное значение гармонического тока или напряжения в и!2 раз меньше его амплитуды Аср.в = (2!п)А = 0,637А Действующим значением периодической ф у и к ц и и а (1) называется средиеквадратическое значение этой фуикции за период Т: м+т А = — ~ [а (1)[з й1 . 1 т (2.9) В соответствии с ГОСТ 1494 — 77 мгновенные значения токов и иапряжеиий ветвей, токов источников тока и э. д.

с. источников иапряжеиия, являющихся гармоническими функциями времеич, изображают строчными буквами: 1 = 1 (1), и = — и (1), 1= 1' (1), е= е (1); действующие значения этих величин — соответствующими прописными буквами 1, (7,,7, Е и амплитудные значения — теми же прописными буквами с индексом т: 1, (1„„з „„Е„,. Размерность средних, средиевыпрямлеииых и действующих значений гармонических токов и напряжений совпадает с размерностью соответствующих функций и, следовательно, с размериостью их амплитуд. При протекании периодического тока 1 (1) через линейное сопротивление Д в ием в соответствии с выражениями (1.12) и (2.9) за период Т выделяется энергия ц+г И[1'(1)[зй1= К)чТ (2.10) и+т А= - — ~ [А соз(М+ф)[чй1 = и м+т ц+т — 1" ж~ [ „,и< ~~-чв1= 2Т ц !в = — т 0,707А Т72 (2.1 1) Учитывая, что большинство потребителей реагируют иа действующие, а ие иа максимальные (пиковые) значения токов и напряжений, при описании гармонических токов и напряжений принято указывать 67 Выражение (2.10) совпадает с выражением для энергии, выделяющейся в сопротивлении при протекании через него постоянного тока 1 = 1 в течение времени Т (закои Джоуля — Ленца), Таким образом, действующее значение 1 периодического тока 1(1) численно равно значению постоянного тока 1, при протекании которого за время Т выделится такое оке количеапво энергии, как и при протекании тока 1(1).

Аналогично можно определить и действующее значение У периодического напряжения и (1). Действующее значение А гармонической функции а (1) в )7 2 раз меньше ее амплитуды: нх действующие, а не амплитудные значения. Выражая в (2.1) амплитуду А через дейстаующее значение А, получаем еще одну форму записи гармонической функции а (г) = рГ2 А соз (ю! + ф).

(2.12) Линейные операции над гармоническими функциями Важнейшим свойством гармонических функций времени является то, что в результате линейных операций, производимых над ними (умножением на постоянное число, дифференцированием, интегрированием, алгебраическим сложением нескольких гармонических функций одинаковой частоты), получают гармонические функции той же частоты. Действительно, при умножении гармонической фувкцни а, (!) = АмвХ Х сов (ыт! + фт) на постоянный множитель и получаем новую гармоническую функцию а (!) = — аАьи сов (ы,!+Ч:,) = А сов (ы(+ф), угловая частота ы н начальная фаза 1р которой совпадают с угловой частотой ы, и начальной фазой фт исходной функции, а амплитуда Аы - — - гвАьм отличается от амплитуды исходной функции в м раз.

При дифференцировании гармонической функции а, (!) = А, сов (ы! + ф,) получаем о' л! — (Аю сов (ып+ фт)1= — ыАьн Мп (ю(+фт) = —..ыАьн сов (ы(+ф+ (и/2Ц = А,„сов (юг+ ф), т. е, гармоническую функцию той же частоты; ее амплитуда и начальная фаза равны соответственно Аю =. ыАмт, ф = фт + (и/2). Интеграл от гармонической функции а (!) .= Ам, сов (ыг+ ф,): ) А, сов (ыг+ ф,) Л! —.— (Аал(ы) в$п (оэг+ Ц,) = (Аю,)ы)Х Х сов (е! -!- ф, — (я/2)! представляет собой гармоническую функцию той же частоты, ее амплитуда и начальная фаза определяются выражениями (постоянная интегрирования принята равной нулю): А,.

= А /ы ф -= ф — ( '2). При сложении двух гармонических функций ав (!) н ав (!) одинаковой часто, ты получают новую гармоническую функцию а(г! той же частоты 121 а (!) — о, (г! -)- а, [!) = Аж сов (ы! + 1р), (2.!3) где Ам=- )/Ащ !+ в в+2Аам Амв сов (фв — ф,); Аьм яп фг+ Амт в!п фв ф = — агс(й А„„сов ф1 -(- Ажв сов фв Многократно применяя формулу (2. !3), можно убедиться, что результат алгебраического суммирования любого числа гармонических функций одинаковой частоты представляет собой гармоническую функцию этой же частоты. Аналогнч- ным образом можно убедиться, что линейная комбинация любого количества гар- монических функций времени одной частоты ~~~', и! Ам! сос (го! -(- ф;) = Ам соз (ы! -ь ф), !=! где и! = сопл(, является гармонической функцией втой частоты. Таким образом, линейные операции, вмполняемые над гармонической функцией, приводят лишь к изменению ее амплнтудм и начальной фазы; в результате линейных операций, вмполняемых над совокупностью гармонических функций одной частоты, получается гармоническая функция той же частоты.

Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии Рассмотрим линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, находяшуюся под и о и о х р о м а т н ч е с к и м (одно- частотным) гармоническим воздействием. Токи всех неуправляемых источников тока и э. д. с. всех неуправляемых источников напряжения такой цепи есть гармонические функции времени частоты ш. Дифференциальное уравнение этой цепи, составленное для любого из неизвестных токов и напряжений у= у ((), имеет вцд (1.61), причем правая часть этого уравнения представляет собой линейную комбинацию гармонических функций и их производных, т.