ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 11

Так, графу, изображенному на рис, 1.26, а соответствует полная матрица инциденций 1 2 3 4 5' 6 7 -номера ветвей (1) — 1 (2) О (3) О (О) номера узлов — 1 1 1 ΠΠΠΠ— 1 — 1 1 Π— 1 ΠΠΠ— 1 1 1 1 ΠΠΠ— 1 О (1.43) Нетрудно убедиться, что эта же полная матрица узлов (!.43) соответствует н всем графам, изоморфным графу, изображенному иа рис.!.26, а, в частности графам, приведенным на рнс. 1.26, б, в. Таким образом, все изоморфныг графа описываюпгся одной и той жг полной матрицвй узлов. Имея полную матрицу узлов, всегда можно восстановить исходный граф с точностью до изоморфизма. Число ненулевых элементов в каждой строке матрицы А, равно числу ветвей, инцидентных соответствующему узлу, т.

е. степени узла. В каждом столбце имеется только два ненулевых элемента: +1 н — 1, так как каждая ветвь инцидентна двум узлам и направлена от одного из ннх к другому. Сумма всех элементов каждого столбца, а следовательно, и сумма всех строк полной матрицы узлов А, равна нулю, т. е. строки полной матрицы узлов являются линейно завйснмыми. На практике обычно используют с о к р а ще н н у ю (редуцированную) м а т р и ц у у з л о в А, которая получается из полной матрицы узлов путем отбрасывания любой нз ее строк*). Обычно отбрасывают строку, соответствующую узлу с номером О, который будем называть б а з и с н ы м у з л о м.

Так, отбрасывая строку с номером О у полной матрицы узлов (1.43), получаем сокращенную матрицу узлов А цепи, граф которой изображен на рис. 1.26: †! — 1 1 1 О О О А == ΠΠ— 1 — 1 1 Π— 1 . (1.44) ΠΠΠΠ— 1 1 1 '> В дальнейшем будем использовать только сокращенную матрину узлов А, которуш дла краткости будем называть м а т р и к е й у з л о в. В теории графов доказывается, что все строки сокро«ценной матрц1 узлов линейно независимы.

Зная сокращенную матрицу узлов, соответствующую некоторому графу, всегда можно найти его полную марицу узлов, для чего необходимо дополнить А одной строкой так, чтобы сумма всех строк матрицы А. равнялась нулю, В связи с тем что каждая строка матриц А, и А несет информацию атом, какие ветви и с какой ориентацией подключены к определенному узлу цепи, эти матрицы можно использовать для записи уравнений по первому закону Кирхгофа. Действительно, умножая полную матрицу узлов А, на матрицу-столбец токов ветвей 1, получаем аг! ам,.

а,р «, а„(,+ага!',+...+игр «„ аг, ам...агр «г ат «,+агг «г+...+игр (р А, х1= ав, аее...а„р «р ав, 1,+авг !,+... +авр(р Каждая строка этого выражения есть алгебраическая сумма токов ветвей, подключенных к соответствующему узлу цепи, причем если ветвь направлена от узла, то соответствующий ток имеет знак плюс (аы = +1), если ветвь направлена к узлу, то знак минус (аы — — !).

Если же ветвь не инцидентна рассматриваемому узлу, то соответствующее слагаемое равно нулю (а;1 О). Тогда в соответствии с первым законом Кирхгофа окончательно имеем А,х!=0. (1.45) В связи с тем что строки полной матрицы узлов являются линейно зависимыми, система уравнений (1.45) также будет линейно зависимой. Для получения системы линейно независимых уравнений, состав.

ленных по первому закону Кнрхгофа, можно воспользоваться сокращенной матрицей инциденций, строки которой являются линейно независимыми: Ах«=0. (1.45) Таким образом, для любой цепи можно составить т = «( — 1 линейно независимых уравнений баланса токов, и, следовательно, любые т узлов графа представляют собой сиоп«ему независимых узлов. ° $ ° $ ° Пример 1.4. Составим сиипему линейно неювисимв«х уравнений баланса токов для цели, ера«(«которой изобраасен на рис. 1,26.

Подсоювляя в (!.461 сокраи(енную матрицу узюв втой Чели (!.44), находим 1« Ц вЂ” «В — «в+«в — «7 = 0 à — ! — 1 ! ! 00 01 АХ(=~ 0 Π— ! — 1 ! Π— 1~ 0 0 0 Π— 1 1 ! (в « « (1.47) Для матричной записи уравнений баланса токов в обобщенных узлах цепи и уравнений баланса напряжений используют матрицу главных сечений и матрицу главных контуров. Матрица главных сечений Я (матрица сечений) представляет собой таблицу, число столбцов которой равно числу ветвей графа р, а число строк — числу главных сечений т =- д — 1 (номера столбцов совпадают с номерами ветвей, а номера строк с номерами главных сечений, т. е. с номерами соответствующих ветвей дерева). Каждая строка матрицы главных сечений характеризует состав ветвей графа, входящих в данное сечение.

Элементы 1-й строки с)гг принимают значение + 1, если /-я ветвь графа входит в состав 1-го сечения, причем ее ориентация совпадает с ориентацией сечения, т. е. с ориентацией соответствующей ветви дерева относительно линии сечения; д;1 =--- — 1, если 1-я ветвь входит в 1-е сечение, а ее ориентация противоположна ориентации сечения; д„. = О, если 1'-я ветвь не входит в 1-е сечение. Матрица главных сечений, соответствующая графу, приведенному на рис. 1.34, а, имеет следующий вид: 1 2 3 4 5 б 7 н — номера ветвей 1 1 1 ΠΠ— 1 О 1 0=3 О О 1 1 — 1 О 6 ΠΠΠΠ— 1'1 1 (1 48).

номера главных сечении Используя матрицу главных сечений, можно в компактной форме записать систему из и = (1 — 1 уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа для главных сечений графа, соответствующих выбранному дереву: (1.49) 0 Х 1= О, где 1 — вектор токов ветвей. Уравнения (1.49) являются линейно независимыми, так как каждое из них отличается от остальных, по крайней мере, одним током— током ветви дерева, входящей в данное главное сечение. Как и следовало оагидать, система уравнений (!.47) совпадает с системой уравнений (1.дд), составленной на основании первого закона Кирггофа длп 1,2 и 3-го углов рассматриваемой цепи. Подставляя (1 48) в (1.49), получим систему линейно независимых уравнений баланса токов для главных сечений графа (рис. 1.34, а).

1а 1ч 1в ~1+12 ~э+ 7 1з+ 1ч 1ь+ 1ч ~6+ ге+ ~т 1100 — 101 0011 — 101 0000 — 11! 7 - номера ветвей О 1 2 3 4 5 6 1 0 0 1 1 1 1 0 0 В 3 0 0 1 — 1 0 4 0 0 О 0 1 номера главных контуров (1.51) Матрицу главных контуров можно использовать для записи уравнений, составленных на основании второго закона Кнрхгофа. Пусть исследуемая цепь содержит р ветвей, д узлов и п р--- о, ! главных контуров. Умножая матрицу главных контуров В на матрицу- 49 (!.50) Если какое-либо из главнык сечений графа является каноническим, то уравнение баланса токов для этого сечения с точностью до знака совпадает с уравнением баланса токов для соооюетствуюи(его изолированного узла. Так, в системе уравнений (1.50) второе и третье уравнения, составленные для канонических сечений 3 и б, совпадают со вторым и третьим уравнениями в системе уравнений (1.47), составленными соответственно для узлов 2 и 3 той же цепи.

Если все главные сечения графа являются каноническими, то матрицы узлов А и сечений 11 совпадают с точностью до знака элемента строки. Матрица главных контуров В представляет собой таблицу, в которой число столбцов равно числу ветвей графа р, а число строк — числу главных контуров, т. е. числу главных ветвей графа л =-- р — д + 1 (номера столбцов совпадают с номерами ветвей, а номера строк — с номерами главных контуров).

Элементы 1-й строки Ьы могут принимать значения 1-1, — 1 и 0; Ьн -- 1-1, если 1-я ветвь входит в состав 1-го контура, причем ее ориентация совпадает с ориентацией контура; Ьы -- — 1, если ориентация 1чй ветви, входящей в 1-й контур, не совпадает с ориентацией контура; Ьы — - О, если!-я ветвь не входит в 1-й контур.

Например, матрица главных контуров В графа (см. рис. 1.26), соответствующая дереву графа, приведенному на рис. 1.31, в, имеет следующий вид: столбец напряжений ветвей и, получаем Ь,Ь ...Ь, Ьм Ьт "° Ьар Ьм и,-(- Ьая ив+ ... + Ь,р ир Ь„и,+Ьм иг-( ... +Ь,„ир и„ Ь„, Ьн,... Ь„р ир Ь„,и,+Ьти,+...+Ь„рир Каждая строка этого выражения представляет собой алгебраическую сумму напряжений ветвей, входящих в а-й главный контур, причем правило суммирования напряжений ветвей совпадает с соответствующим правилом, установленным для записи уравнений баланса напряжений в контуре (1.40). Так как в соответствии со вторым законом Кирхгофа сумма напряжений ветвей, входящих в каждый контур, в любой момент времени равна нулю, то окончательно имеем В Х и = О.

(!.52) Выражение (1.52) является матричной формой записи уравнений баланса напряжений для главных контуров цепи, Уравнения, входящие в (1.52), являются линейно независимыми, так как каждое из них отличается от остальных, по крайней мере, одним напряжением— напряжением главной ветви, замыкающей данный контур. Таким образом, система из и = р — о + 1 главных контуров, сооажтствуюецих выбранному дереву, является системой независимых контуров.

Следовательно, для каждой цепи можно составить и не. зависимых уравнений по второму закону Кирхгофа. ° ФФФФ Пример 1.5. Рассмотрим применение матрицы контуров для формирования системы линейно неэовисимык уравнений баланса напряжений для цели, граф ко. торой приведен на рис. !.лб. Умножая митрицу главная контуров этой цели (!.51) на матрицу-столбец напряжений ветвей и, поливаем и ! ОО 1110! О!О 1!!О ОО! -1000~ 000 0101 на + на+ иа 1' иа иэ 1 иа 1-иа-1'иа 446 иа аа 1.'46 !1 ВХи= (1. 53) ив е и Следует отметить, что при выборе системы независимых контуров было использовано достаточное условие независимости уравнений, заключакицееся в том, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из уравнений содержало, по крайней мере, одну независимую переменную величину, отсутствующую в других уравнениях.

Так как это условие не является необходимым, то для каждой цепи можно найти и другие системы незаписимых контуров, которые в ряде случаев могут не совпадать ии с одной из систем главных контуров. В частности, ячейки плоского грдфа, число кото. рых оказывается равным и - р — ц -1 1, представляют собой систе- му независимых контуров, Их состав может быть описан м а т р и ц е й ос н он н ы х к опту р о в В', которая строится аналогично матрице главных контуров (контуры, соответствующие каждой из ячеек, нумеруют от 1 до и, каждому из ннх приписывают произвольную ориентацию).