ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 12

Например, для графа электрической цепи, изображенного на рис. !.35. 1 2 3 4 5 6 7 ~- номера ветвей 1 0 0 0 0 0 — 1 1 2 0 — 1 0 — 1 0 ! 0 3 1 1 — 1 0 0 0 0 4 0 0 1 1 — 1 0 0 номера контуров (1.54) В этом случае матрица основных контуров не совпадает ни с одной из возможных для данного графа матриц главных контуров. Матрицу В' можно, как и матрицу В, использовать для записи системы линейно независимых уравнений баланса напряжений: Вь Хи=О. (1.55) Так, используя (1.54), можно составить систему уравнений баланса напряжений для ячеек графа, изображенного на рис. 1.35: и, 0 0 0 — 1 1 Π— ! 0 1 Π— 1 0 0 0 0 1 ! — 1 0 0 0 0 Вх,= Π— ! 1 1 0 0 иа и и6 ие и2 0 0 0 0 — и6+ и2 — и,— и„+и, и1+и2 из ив+ и6 и6 Следует подчеркнуть, что понятие ячейки (окна) было введено ранее только для плоских графов и что только для них возможен выбор ячеек в качестве независимых контуров. Дуальные графы и дуэльные цепи Два плоских графа называются д у а л ь н ы м и, если матрица узлов одного из них А равна матрице основных контуров В' другого н наоборот: Л1 = В;; А, =- В",.

(1.56) 51 7 (а) а) (О) Рнс, 1,35. К составлению ос- нонной матрицы контуров Рнс. 1.36. Построение дуального графа (заданный граф — сплошные линии) Очевидно, что дуальные графы должны иметь одинаковое число ветвей (р, = р,), причем число ветвей дерева одного из них лг должно быть равно числу главных ветвей а другого: lпг -= па; /иа ==- лы ΠΠΠ— 1 1 Π— 1 О 1 Π— 1 О О О О 1 1 — 1 О О О О А — Во— 1 1 О О О 1 1 ΠΠΠ— 1 — ! — 1 — 1 1 ΠΠ— 1 1 Π— 1 Π— 1 О О Для построения графа, дуального заданному (рис. 1.36, а), необходимо внутри каждой ячейки исходного графа разместить узел дуального графа [(1'), (2') и т.

дЛ, кроме того, один узел дуального графа располагается во внешней по отношению к исходному графу части плоскости, т. е. в базисной ячейке. Узлы дуального графа соединяются между собой ветвями так, чтобы каждая ветвь исходного графа пересекала одну ветвь дуального графа (пунктир на рис. 1.36, а). Номера узлов дуального графа совпадают с номерами контуров исходного графа, внутри которых они размещены. Узлу дуального графа, расположенному в базисной ячейке, присваивается номер О'. Пересекающимся между собой ветвями исходного и дуального графов присванваются одинаковые номера.

Ориентация ветвей и контуров дуального графа (рис. 1.36, б) выбирается таким образом, чтобы обеспечить выполнение равенств (1.56). Нетрудно убедиться, что матрицы узлов А, и основных контуров В; дуального графа (рис. 1.36, б) равны соответственно матрицам основных контуров В; и узлов А, исходного графа: Как видно из рис. !.36, ячейки дуального графа соответствуют у злам исходного графа, а узлы дуального графа — ячейкам исходного. доследовательному соединению ветвей исходного графа соответствует параллельное соединение ветвей дуального графа и наоборот. Если сформулированное правило нахождения дуальиого графа применить для построения графа, дуального изображенному на рис.

1.36, б, то получится граф, изоморфный исходному графу !рис. 1.36, а сплошные линии). Используя понятие дуального графа, легко обобщить введенное ранее понятие д у а л ь н ы х цепей. Две цепи называются дуальными, если они имеют дуалоныг графы и каждому элементу одной испи соот- !а) а) Рнс. !.37. К примеру ! 6 ветствует дуальный элемент другой. Для построения дуальной цепи сначала находят граф, дуальиый расширенному топологическому графу исходной цепи, а затем каждую ветвь дуального графа заменяют элементом, дуальным элементу, расположенному в соответствующей ветви исходной цепи.

ФФФФФ Пример !.6. Построим цепь, дуольную приведенной на рис. 1.37, а. На рис. 1.37, б сплошными линиями показан граф исходной цепи, а пунктирными — дуальнмй ему ераф !'направление ветвей исходного графа соответспмует направлению токов ветвей исходной цепи, а направление ветвей дуального графа— направленшо напрязсения ветвей дуольной цели). Цепь, дуальная исходной, изобразвена на рис. 1.37, в. Из определения дуальной цепи и равенств (1.66) следует, что уравнения баланса токов для одной из дуальных цепей будут совпадать с уравнениями баланса напряжений для другой при условии, что в соответствующих уравнениях токи ветвей одной цепи будут заменены иа напряжения ветвей другой цепи и наоборот.

Это свойство дуальных цепей иногда используют в качестве определения дуальных цепей. В заключение заметим, что непланарные графы не имеют дуальных ~рафов, в связи с чгм идеализированной электрической цепи, схема котоРой нг является планарной, не может бьипь поставлена в соопюгтствие дуальная цепь.

53 $ Е5. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ЦЕПЕЙ Основные задачи теории цепей Рнс, ЕЗВ. Представление элентрпческой цепн в виде системы с М входами в М выходами Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одиим или несколькими входами и одним или несколькими выходами (рис. Е38). Если к входам цепи приложить внешнее воздействие х (~) = (х, Я, ха (~), ..., хи (~)), то иа выходах можно обнаружить реакцию или отклик у (~) =- (у, (~), ух (~), ..., Ум (1)), где ту и М— число входов и выходов соответственно. В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две группы задач: задачи анализа и зал,(П дачи синтеза.

(Н хт (~) ятФ ' Задача анализа элек- элехтди трической цепи состоит в х(с "„;";; у(с) определении реакции цепи у (г) иа х„(с) ум(э) заданное внешнее воздействие х ((). Задача синтеза цепи заключается в нахождении цепи по заданной реакции цепи у (1) иа некоторое внешнее воздействие х (1). Исходными данными в задаче анализа являются эквивалентная схема цепи с параметрами всех входящих в иее элементов и описание внешнего воздействия х (1), задаваемого в виде совокупности токов и напряжений идеализированных неуправляемых источников. В результате анализа определяется отклик у (1) в виде совокупности токов и напряжений всех или некоторых ветвей пепи.

В частном случае задача анализа может сводиться к определению соотношений между реакциями цепи иа отдельных выходах ут (1) и воздействиями х, (1), приложенными к определенным входам. Такие соотношения иазываются х а р а к т е р и с т и к а м и (с и с т е м и ы м и ф у и к ци ям и, ф у и к и и я м и) ц е п и. В зависимости оттого, какая величина— частота или время — является аргументом в выражениях, описывающих соотиашеиия между откликом и внешним воздействием, различают частотные и временные характеристики ц е п и. Определение и исследование частотных характеристик представляютсобой задачу анализа цепи в частотной обл а с т и; нахождение времеииьтх характеристик — з а д а ч у а и ализа цеп и во времен нб й области. Исходными данными в задаче синтеза являются описания виешиега воздействия к (~) и ее отклика д (~).

В результате синтеза необходима найти эквивалентную схему цепи и параметры всех входящих в иее элементов. В частном случае задача синтеза может сводиться к иахождеиию цепи, обеспечивающей заданные соотношения между внешним воздействием иа цепь х; (~) и ее реакцией пт И), т. е. к нахождению цепи по ее характеристикам. Лиалиэ и синтез электрических цепей в определенной степени взаимосвязаиы, в частности методы синтеза базируются иа использовании общих свойств характеристик различных классов цепей, которые изучаются в процессе анализа.

Поэтому изложению методов синтеза цепей будет предшествовать рассмотрение общих методов анализа цепей и знакомство с характеристиками некоторых классов цепей при различных внешних воздействиях. Понятие об уравнениях электрического равновесия. й4атематически задача анализа электрической цепи сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений, в которых в качестве неизвестных фигурируют токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Уравнения, решение которых позволяет определить токи и напряжения ветвей электрической цепи, называются у р а внениями электрического равновесия цепи.

Очевидно, что число уравнений электрического равновесия должно быть равно количеству неизвестных токов и напряжений. В общем случае в цепи, содержащей р ветвей и д узлов, имеется 2р неизвестных токов и напряжений ветвей. Используя законы Кирхгофа, для такой пепи можно составить т = д — 1 независимых уравнений баланса токов и и =- р — д + 1 независимых уравнений баланса напряжений.

В сочетании с компонентными уравнениями (уравнениями ветвей) получаем 2р линейно независимых уравнений, что достаточно для определения неизвестных токов и напряжений ветвей. Если в рассматриваемой цепи имеется ряч ветвей, в которых содержатся идеализированные источники тока (токи этих ветвей заданы, а напряжения неизвестны), и р„„ветвей, составленных только из идеализированных источников напряжения (напряжения этих ветвей известны), то общее число неизвестных токов и напряжений уменьшается до 2р — р„, — р„„. Для определения этих неизвестных нужно составить лишь 2р — р„, — р„ч линейно независимых уравнений (т + и =- р уравнений на основании законов Кирхгофа и р — р„,— — р„„ компонентных уравнений для ветвей, не содержащих указанных источников).

Таким образом, используя компонентные уравнения и топологические уравнения, составленные на основании зшсонов Кирхгофа, всегда можно сформировать систему уравнений электрического равновесия, число уравнений в которой достаточно для определения всех неизвестных токов и напряжений. Будем называть такую систему уравнений о сновной системой уравнений электрического равновесия пепи.

На практике для анализа цепей используют различные методы составления уравнения электрического равновесия, в частности методы токов ветвей, напряжений ветвей, контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния. Все они базируются на использовании различных приемов, позволяющих преобразовать основную систему уравнений электрического равновесия и уменьшить по сравнению с 2р или 2р — р„, — р„„число одновременно решаемых уравнений. Как было показано ранее, уравнения (1.37) и (!.40) являются алгебраическими, а компонентные уравнения идеализированных пассив- , (У/ Рнс.